代数形式の分極

数学、特に代数学において、分極化とは、より多くの変数を結合することで同次多項式をより単純な形で表現する手法である。具体的には、同次多項式が与えられた場合、分極化によって一意の対称多重線形形式が生成され、特定の対角線に沿って評価することで元の多項式を復元できる。

この手法は一見単純ですが、抽象数学の多くの分野、特に代数幾何学、不変量理論、表現論に応用されています。分極と関連手法は、ワイルの不変量理論の基礎を形成しています。

基本的な考え方は以下のとおりです。を変数の多項式とします。が次数の同次であるとします。つまり、 ${\displaystyle f(\mathbf {u} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right).}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d,}$$${\displaystyle f(t\mathbf {u} )=t^{d}f(\mathbf {u} )\quad {\text{すべてのtに対して}$$

を不定値の集合とし、全体で変数が存在するものとする。の極形式は、 それぞれについて個別に線形であり（ つまり、は多重線形）、およびについて対称であり、 ${\displaystyle \mathbf {u} ^{(1)},\mathbf {u} ^{(2)},\ldots ,\mathbf {u} ^{(d)}}$${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)}=\left(u_{1}^{(i)},u_{2}^{(i)},\ldots ,u_{n}^{(i)}\right),}$${\displaystyle dn}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle F\left(\mathbf {u} ^{(1)},\mathbf {u} ^{(2)},\ldots ,\mathbf {u} ^{(d)}\right)}$$${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)},}$$${\displaystyle F\left(\mathbf {u} ,\mathbf {u} ,\ldots ,\mathbf {u} \right)=f(\mathbf {u} ).}$$

の極形式は、次の構成で与えられる。 言い換えれば、は、の展開における係数の定数倍である。${\displaystyle f}$$${\displaystyle F\left({\mathbf {u} }^{(1)},\dots ,{\mathbf {u} }^{(d)}\right)={\frac {1}{d! }}{\frac {\partial }{\partial \lambda _{1}}}\dots {\frac {\partial }{\partial \lambda _{d}}}f(\lambda _{1}{\mathbf {u} }^{(1)}+\dots +\lambda _{d}{\mathbf {u} }^{(d)} )|_{\lambda =0}.}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{d}}$${\displaystyle f\left(\lambda _{1}\mathbf {u} ^{(1)}+\cdots +\lambda _{d}\mathbf {u} ^{(d)}\right).}$

二次形式の例。およびが二次形式であると 仮定すると、 の分極化はの関数であり、によって与えられ ます。 より一般的には、 が任意の二次形式である場合、 の分極化は分極恒等式の結論と一致します。 ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle f(\mathbf {x} )=x^{2}+3xy+2y^{2}.}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(1)}=(x^{(1)},y^{(1)})}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{(2)}=(x^{(2)},y^{(2)})}$$${\displaystyle F\left(\mathbf {x} ^{(1)},\mathbf {x} ^{(2)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}+{ \frac {3}{2}}x^{(2)}y^{(1)}+{\frac {3}{2}}x^{(1)}y^{(2)}+2y^{(1)}y^{(2)}。}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

立方体の例。 とすると、の分極は次のように表される。 ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+2xy^{2}.}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle F\left(x^{(1)},y^{(1)},x^{(2)},y^{(2)},x^{(3)},y^{(3)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}x^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(1)}y^{(2)}y^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(3)}y^{(1)}y^{(2)}+{\frac {2}{3}}x^{(2)}y^{(3)}y^{(1)}.}$$

次数の斉次多項式の分極は、が単位である任意の可換環上で有効である。特に、特性がゼロの任意の体、または特性が より大きい体上で有効である。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d!}$${\displaystyle d.}$

簡単にするために、 を特性 0 の体とし、 を上の変数の多項式環とします。すると は次数で次数化されるため、 となります。すると代数形式の分極により、 が- 番目の対称冪で ある各次数で ベクトル空間の同型性 が誘導されます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle A=k[\mathbf {x} ]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k.}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle A=\bigoplus _{d}A_{d}.}$$$${\displaystyle A_{d}\cong \operatorname {Sym} ^{d}k^{n}}$$${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{d}}$${\displaystyle d}$

これらの同型性は、基底とは独立に次のように表現できる。 が有限次元ベクトル空間で、 が同次次数を持つ上の - 値多項式関数の環である場合、分極により同型性がもたらされる。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle A_{d}\cong \operatorname {Sym} ^{d}V^{*}.}$$

さらに、分極は 上の代数構造と互換性があるので、 上の完全対称代数は${\displaystyle A}$$${\displaystyle A\cong \operatorname {Sym} ^{\bullet }V^{*}}$$${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{\bullet }V^{*}}$${\displaystyle V^{*}.}$

• 正特性体の場合、次数代数が次数で切断されている場合、前述の同型が適用される。${\displaystyle p,}$${\displaystyle p-1.}$
• が無限次元位相ベクトル空間である場合、一般化が存在します。${\displaystyle V}$

• 同次関数 – 乗法的なスケーリング動作を持つ関数

• Claudio Procesi (2007) 「リー群：不変量と表現によるアプローチ」、Springer、ISBN  9780387260402。