ラプラシアンがゼロである多項式
数学 では 、 ラプラシアン がゼロである 多項式を 調和多項式と 呼ぶ 。 [1] [2]
p
{\displaystyle p}
調和多項式は、 与えられた 体上の多項式の ベクトル空間 の部分空間を形成します。実際、調和多項式は 次数付き部分空間 を形成します。 [3] 実数体 ( ) の場合 、調和多項式は数理物理学で重要です。 [4] [5] [6]
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
ラプラシアンは、各変数に関する 2 次偏微分の合計であり、回転 群 を介した 直交群 の作用の下で 不変な 微分演算子 です。
標準的な 変数分離定理 [ 要出典 ] は、体上のすべての多変数多項式は、放射状多項式と調和多項式の積の有限和として分解できることを述べています。これは、多項式環が 放射状多項式の環上の 自由加群であるという主張と同等です。 [7]
例 1次多項式
を考える 。調和多項式であるためには、この多項式は次式を満たす必要がある。
d
{\displaystyle d}
p （ x ） :=
∑
け = 0
d
1つの
け
x
け
{\displaystyle p(x):=\textstyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}}
単位円上にグラフ化された、6 次までの 2 変数の実調和多項式。
0 =
∂
2
∂
x
2
p （ x ） =
∑
け = 2
d
け （ け − 1 ）
1つの
け
x
け − 2
{\displaystyle 0={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x)=\sum _{k=2}^{d}k(k-1)a_{k}x^{k-2}}
すべての点 において となります 。特に、 のとき、 条件 を満たす 多項式 が存在します 。したがって、1 つの (実) 変数の唯一の調和多項式は、アフィン関数 です 。
x ∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
d = 2
{\displaystyle d=2}
p （ x ） =
1つの
0
+
1つの
1
x +
1つの
2
x
2
{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}}
1つの
2
= 0
{\displaystyle a_{2}=0}
x ↦
1つの
0
+
1つの
1
x
{\displaystyle x\mapsto a_{0}+a_{1}x}
多変数の場合、調和多項式の非自明な空間が見つかる。例えば、実係数が2変数の2次多項式を考えてみよう
。 この多項式のラプラシアンは次のように与えられる。
p
(
x
,
y
)
:=
a
0
,
0
+
a
1
,
0
x
+
a
0
,
1
y
+
a
1
,
1
x
y
+
a
2
,
0
x
2
+
a
0
,
2
y
2
,
{\displaystyle p(x,y):=a_{0,0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+a_{1,1}xy+a_{2,0}x^{2}+a_{0,2}y^{2},}
a
0
,
0
,
a
1
,
0
,
a
0
,
1
,
a
1
,
1
,
a
2
,
0
,
a
0
,
2
{\displaystyle a_{0,0},a_{1,0},a_{0,1},a_{1,1},a_{2,0},a_{0,2}}
Δ
p
(
x
,
y
)
=
∂
2
∂
x
2
p
(
x
,
y
)
+
∂
2
∂
y
2
p
(
x
,
y
)
=
2
(
a
2
,
0
+
a
0
,
2
)
.
{\displaystyle \Delta p(x,y)={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x,y)+{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}p(x,y)=2(a_{2,0}+a_{0,2}).}
したがって、が調和的であるためには 、その係数が関係式 を満たしていればよい 。同様に、すべての（実）2次2変量調和多項式は、多項式の線形結合である。
p
(
x
,
y
)
{\displaystyle p(x,y)}
a
2
,
0
=
−
a
0
,
2
{\displaystyle a_{2,0}=-a_{0,2}}
1
,
x
,
y
,
x
y
,
x
2
−
y
2
.
{\displaystyle 1,\quad x,\quad y,\quad xy,\quad x^{2}-y^{2}.}
任意のベクトル空間と同様に、この同じ多項式空間に対して他の基底の選択肢があることに注意してください。
6次までの実二変量調和多項式の基底は次のように与えられます。
ϕ
0
(
x
,
y
)
=
1
ϕ
1
,
1
(
x
,
y
)
=
x
ϕ
1
,
2
(
x
,
y
)
=
y
ϕ
2
,
1
(
x
,
y
)
=
x
y
ϕ
2
,
2
(
x
,
y
)
=
x
2
−
y
2
ϕ
3
,
1
(
x
,
y
)
=
y
3
−
3
x
2
y
ϕ
3
,
2
(
x
,
y
)
=
x
3
−
3
x
y
2
ϕ
4
,
1
(
x
,
y
)
=
x
3
y
−
x
y
3
ϕ
4
,
2
(
x
,
y
)
=
−
x
4
+
6
x
2
y
2
−
y
4
ϕ
5
,
1
(
x
,
y
)
=
5
x
4
y
−
10
x
2
y
3
+
y
5
ϕ
5
,
2
(
x
,
y
)
=
x
5
−
10
x
3
y
2
+
5
x
y
4
ϕ
6
,
1
(
x
,
y
)
=
3
x
5
y
−
10
x
3
y
3
+
3
x
y
5
ϕ
6
,
2
(
x
,
y
)
=
−
x
6
+
15
x
4
y
2
−
15
x
2
y
4
+
y
6
{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{0}(x,y)&=1\\\phi _{1,1}(x,y)&=x&\phi _{1,2}(x,y)&=y\\\phi _{2,1}(x,y)&=xy&\phi _{2,2}(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\\phi _{3,1}(x,y)&=y^{3}-3x^{2}y&\phi _{3,2}(x,y)&=x^{3}-3xy^{2}\\\phi _{4,1}(x,y)&=x^{3}y-xy^{3}&\phi _{4,2}(x,y)&=-x^{4}+6x^{2}y^{2}-y^{4}\\\phi _{5,1}(x,y)&=5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}&\phi _{5,2}(x,y)&=x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\\\phi _{6,1}(x,y)&=3x^{5}y-10x^{3}y^{3}+3xy^{5}&\phi _{6,2}(x,y)&=-x^{6}+15x^{4}y^{2}-15x^{2}y^{4}+y^{6}\end{aligned}}}
参照
数学ポータル
参考文献
^ Walsh, JL (1927). 「調和関数の調和多項式による展開について」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 13 (4): 175–180. Bibcode :1927PNAS...13..175W. doi : 10.1073/pnas.13.4.175 . PMC 1084921. PMID 16577046 . ^ Helgason, Sigurdur (2003). 「第3章 不変量と調和多項式」. 群と幾何学的解析: 積分幾何学、不変微分演算子、球面関数. 数学調査とモノグラフ、第83巻。アメリカ数学会 。pp . 345–384。ISBN 9780821826737 。 ^ Felder, Giovanni; Veselov, Alexander P. (2001). 「m調和多項式とKZ方程式に対するCoxeter群の作用」. arXiv : math/0108012 . ^ ソボレフ、セルゲイ・ルヴォヴィッチ （2016）。数理物理学の偏微分方程式。純粋および応用数学の国際モノグラフシリーズ。エルゼビア 。pp.401–408。ISBN 9781483181363 。 ^ Whittaker, Edmund T. (1903). 「数理物理学の偏微分方程式について」. Mathematische Annalen . 57 (3): 333–355. doi :10.1007/bf01444290. S2CID 122153032. ^ バイアリー、ウィリアム・エルウッド (1893)。「第 6 章 球面調和関数」。 フーリエ級数、球面調和関数、円筒調和関数、楕円調和関数に関する初等論文、および数理物理学の問題への応用 。ドーバー。pp. 195–218。 ^参照： Axler, Sheldon、Ramey, Wade (1995) 『調和多項式とディリクレ型問題』 の系 1.8 バートラム・コスタント 著 「多項式環のリー群表現」は、 アメリカ数学誌 第85巻第3号（1963年7月） に掲載された 。doi :10.2307/2373130
