重み関数

重み関数は、合計、積分、または平均を実行するときに、一部の要素に同じセット内の他の要素よりも多くの「重み」または結果への影響を与えるために使用される数学的デバイスです。この重み関数の適用の結果は、加重合計または加重平均です。重み関数は、統計と分析で頻繁に使用され、測定の概念と密接に関連しています。重み関数は、離散設定と連続設定の両方で使用できます。重み関数は、「加重計算」 ^[1]および「メタ計算」と呼ばれる計算システムを構築するために使用できます。^[2]

離散設定では、重み関数は離散集合（通常は有限または可算）上で定義される正の関数です。重み関数は、すべての要素の重みが等しい重みのない状況に対応します。この重みをさまざまな概念に適用できます。 ${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle w(a):=1}$

関数が実数値関数である場合、の重みなし和は次のように定義されます。 ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a);}$

しかし重み関数 が与えられた場合、重み付き和または円錐結合は次のように定義される。 ${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a)w(a).}$

加重和の一般的な応用例の 1 つは、数値積分です。

BがAの有限部分集合である場合、 Bの重み付けされていない基数| B |を重み付けされた基数に置き換えることができる。

${\displaystyle \sum _{a\in B}w(a).}$

Aが有限の空でない集合である場合、重み付けされていない平均または平均値を

${\displaystyle {\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)}$

加重平均または加重平均によって

${\displaystyle {\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.}$

この場合、相対的な重みのみが関連します。

重み付き平均は、統計学において、偏りの存在を補正するためによく使用されます。分散で複数の独立した時間に測定された量の場合、信号の最良の推定値は、重み ですべての測定値を平均することによって得られ、結果として得られる分散は、独立した各測定値よりも小さくなります。最尤法は、適合値とデータ間の差に同じ重みを使用して重み付けします。${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$${\textstyle w_{i}=1/{\sigma _{i}^{2}}}$${\textstyle \sigma ^{2}=1/\sum _{i}w_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$

ランダム変数の期待値は、その変数が取り得る値の加重平均であり、重みはそれぞれの確率です。より一般的には、ランダム変数の関数の期待値は、その関数がランダム変数の可能な値ごとに取る値の確率加重平均です。

従属変数が独立変数の現在の値と遅延（過去）値の両方によって影響を受けると想定される回帰では、分散遅延関数が推定されます。この関数は、現在の値とさまざまな遅延独立変数値の加重平均です。同様に、移動平均モデルは、進化する変数を、ランダム変数の現在の値とさまざまな遅延値の加重平均として指定します。

重量関数という用語は力学から生まれたものである。レバー上に、重量（重量は物理的な意味で解釈される）と位置を持つ物体の集合がある場合、レバーの支点が質量の中心にあるとレバーはバランスが取れている。${\displaystyle n}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

これはポジションの加重平均でもあります。${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$

連続設定では、重みは、ある領域のような正の測度であり、これは通常、ユークリッド空間のサブセットであり、たとえば、区間になります。ここで、 はルベーグ測度であり、は非負の測定可能な関数です。この文脈では、重み関数は密度と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle w(x)\,dx}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle w\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle w(x)}$

が実数値関数である場合、重みなし積分${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ dx}$

加重積分に一般化できる

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx}$

この積分が有限であるためには、 重量に関して絶対積分可能であることを要求する必要があり得ることに注意してください。${\displaystyle f}$${\displaystyle w(x)\,dx}$

Eが の部分集合である場合、Eの体積vol( E )は加重体積に一般化できる。${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{E}w(x)\ dx,}$

が有限の非ゼロ加重ボリュームを持つ場合、加重平均を置き換えることができる。${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx}$

加重平均によって

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,w(x)\,dx}{\displaystyle \int _{\Omega }w(x)\,dx}}}$

とが2つの関数である場合、重み付けされていない双線形形式を一般化することができる。${\displaystyle f\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$${\displaystyle g\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx}$

加重双線形形式に

${\displaystyle {\langle f,g\rangle }_{w}:=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)\ dx.}$

重み付き直交関数の例については、直交多項式の項目を参照してください。

• 重心
• 数値積分
• 直交性
• 加重平均
• 線形結合
• カーネル（統計）
• 測定（数学）
• リーマン・スティルチェス積分
• 重み付け
• ウィンドウ関数