量子力学における角運動量の計算に使用される定理
ウィグナー ・エッカートの定理は、 表現論 と 量子力学 の 定理 である 。これは、 角運動量 固有 状態の基底における 球面テンソル演算子 の 行列 要素が、2つの因子の積として表現できることを述べている。2つの因子のうちの1つは角運動量の方向とは独立しており、もう1つは クレプシュ・ゴルダン係数 である。この定理の名前は、物理学者の ユージン・ウィグナー と カール・エッカート に由来しており、彼らはこの形式論を空間の対称変換群（シュレーディンガー方程式に適用）とエネルギー、運動量、角運動量保存則との関連として発展させた。 [1]
数学的には、ウィグナー・エッカートの定理は一般に次のように述べられます。テンソル演算子 と 2 つの角運動量状態 、および が与えられたとき、 すべての 、、および に対して次の式が満たされるような 定数 が 存在します 。
T
（ け ）
{\displaystyle T^{(k)}}
じゅう
{\displaystyle j}
じゅう ′
{\displaystyle j'}
⟨ じゅう ‖
T
（ け ）
‖
じゅう ′
⟩
{\displaystyle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle }
メートル
{\displaystyle m}
メートル ′
{\displaystyle m'}
q
{\displaystyle q}
⟨ じゅう メートル
|
T
q
（ け ）
|
じゅう ′
メートル ′
⟩ = ⟨
じゅう ′
メートル ′
け q
|
じゅう メートル ⟩ ⟨ じゅう ‖
T
（ け ）
‖
じゅう ′
⟩ 、
{\displaystyle \langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle =\langle j'\,m'\,k\,q|j\,m\ rangle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle ,}
どこ
T
q
（ け ）
{\displaystyle T_{q}^{(k)}}
は、ランク k の球面テンソル演算子の q 番目の成分である 。 [2]
T
（ け ）
{\displaystyle T^{(k)}}
|
じゅう メートル ⟩
{\displaystyle |jm\rangle}
は、全角運動量 J 2 とその z 成分 J z の固有状態を表します。
⟨
じゅう ′
メートル ′
け q
|
じゅう メートル ⟩
{\displaystyle \langle j'm'kq|jm\rangle }
はj ′ と kを結合して jを 得る ための クレプシュ・ゴルダン係数 である 。
⟨ じゅう ‖
T
（ け ）
‖
じゅう ′
⟩
{\displaystyle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle }
[3]は m 、 m ′ 、 q に依存しない値を 表し、 簡約行列要素 と呼ばれる 。 ウィグナー・エッカート定理は、確かに、 角運動量固有状態に対してランク k の球面テンソル演算子で演算することは、その状態に角運動量k の状態を追加することに等しいと述べています。球面テンソル演算子の行列要素は、2 つの角運動量の加算を検討する際に生じるクレプシュ・ゴルダン係数に比例します。別の言い方をすると、ウィグナー・エッカート定理は、ベクトル演算子がサブスペース内でどのように動作するかを示す定理であると言えます。特定のサブスペース内では、ベクトル演算子の成分は、角運動量演算子の同じ成分に比例して動作します。この定義は、 Cohen–Tannoudji、Diu、および Laloe の
著書 「Quantum Mechanics」に記載されています。
背景と概要
動機付けの例: 4d → 2p 遷移の位置演算子行列要素 水素原子の 4d 軌道から 2p軌道 への電子遷移の 遷移双極子モーメント 、つまり の形式の行列要素 を計算したいとします 。ここで、 r i は 位置演算子の x 、 y 、または z 成分の いずれかであり 、 m 1 、 m 2 は 2p または 4d サブシェル内の異なる軌道を区別する 磁気量子数 です 。これを直接行うと、45 個の異なる積分を計算する必要があります。m 1には 3 つの可能 性 (−1、0、1)、 m 2 には 5 つの可能性(−2、−1、0、1、2)、 i には 3 つの可能性があるため、合計は 3 × 5 × 3 = 45 になります。
⟨ 2 p 、
メートル
1
|
r
私
|
4 d 、
メートル
2
⟩
{\displaystyle \langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle }
ウィグナー・エッカートの定理により、 45 個の積分のうち 1 個を 評価するだけで同じ情報を得ることができます( ゼロでなければどれでも使用できます)。次に、 クレプシュ・ゴルダン係数の助けを借りて、波動関数を書き留めたり積分を評価したりすることなく、最初の積分から他の 44 個の積分を推測できます。 クレプシュ・ゴルダン係数は 、表で簡単に調べたり、手作業やコンピューターで計算したりできます。
証明の質的要約 ウィグナー・エッカートの定理が成り立つのは、これら 45 の異なる計算すべてが回転によって互いに関連しているからです。電子が 2p 軌道の 1 つにある場合、システムを回転させると、通常、電子は 別の 2p 軌道に移動します (通常は、3 つの基本状態すべての 量子重ね合わ せ、 m = +1、0、-1 になります)。同様に、電子が 4d 軌道の 1 つにある場合、システムを回転させると、電子は別の 4d 軌道に移動します。最後に、位置演算子についても同様のことが言えます。つまり、システムを回転させると、位置演算子の 3 つの異なるコンポーネントが効果的に交換または混合されます。
45 個の値のうち 1 つだけを知っていて (たとえば、 がわかっている )、システムを回転させると、 K は の回転バージョン、 の回転バージョン 、 の回転バージョン の間の行列要素でもあると推測できます。これにより、 K と 44 個の未知の行列要素の一部またはすべてを含む代数関係が得られます 。システムの異なる回転は異なる代数関係につながり、この方法ですべての行列要素を理解するのに十分な情報があることがわかります。
⟨ 2 p 、
メートル
1
|
r
私
|
4 d 、
メートル
2
⟩ = け
{\displaystyle \langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle =K}
⟨ 2 p 、
メートル
1
|
{\displaystyle \langle 2p,m_{1}|}
r
私
{\displaystyle r_{i}}
|
4 d 、
メートル
2
⟩
{\displaystyle |4d,m_{2}\rangle }
(実際には、この数学を実行するときは、状態を回転させるのではなく、状態に 角運動量演算子を適用するのが一般的です。しかし、 回転と角運動量演算子の間には 密接な数学的関係があるため、これは基本的に同じことです 。)
表現論の観点から これらの観察をより正確に述べ、証明するには、 表現論 の数学を利用すると役立ちます。たとえば、すべての可能な 4d 軌道 (つまり、5 つの状態 m = −2、−1、0、1、2 とそれらの 量子重ね合わせ ) の集合は、5 次元の抽象 ベクトル空間 を形成します。システムを回転させると、これらの状態が相互に変換されるため、これは「グループ表現」の例であり、この場合は、 回転グループ SU(2) または SO(3)の 5 次元の 既約表現 (「irrep」)であり、「スピン 2 表現」とも呼ばれます。同様に、2p 量子状態は 3 次元の不変表現 (「スピン 1」と呼ばれる) を形成し、位置演算子のコンポーネントも 3 次元の「スピン 1」不変表現を形成します。
ここで、行列要素 について考えます 。これらは 、3 つの表現、つまり 2p 軌道のスピン 1 表現、 rの成分のスピン 1 表現、および 4d 軌道のスピン 2 表現の テンソル積 に従って回転によって変換されることがわかります。この直積、つまり SU(2) の 45 次元表現は既 約表現 ではなく 、スピン 4 表現、2 つのスピン 3 表現、3 つのスピン 2 表現、2 つのスピン 1 表現、およびスピン 0 (つまり自明な) 表現の 直和 です。非ゼロの行列 要素は、スピン 0 サブスペースからのみ得られます。直積分解には 1 つのスピン 0 サブスペースのみが含まれるため、ウィグナー・エッカートの定理が成り立ちます。これは、すべての行列要素が単一のスケール係数によって決定されることを意味します。
⟨ 2 p 、
メートル
1
|
r
私
|
4 d 、
メートル
2
⟩
{\displaystyle \langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle }
全体のスケール係数を除けば、行列要素を計算することは、 対応する抽象ベクトル（45次元空間内）のスピン0部分空間への 射影 を計算することと同等である。この計算の結果が クレプシュ・ゴルダン係数 である。クレプシュ・ゴルダン分解の重要な質的側面は、2つの既約表現のテンソル積の分解において、各既約表現が1回しか出現しないことである。これにより、 シュアーの補題 を使用することができる。 [4]
⟨ 2 p 、
メートル
1
|
r
私
|
4 d 、
メートル
2
⟩
{\displaystyle \langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle }
証拠 球面テンソル演算子 の定義から始めると 、
[
J
±
、
T
q
（ け ）
] = ℏ
（ け ∓ q ） （ け ± q + 1 ）
T
q ± 1
（ け ）
、
{\displaystyle [J_{\pm},T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)},}
それを使って計算します
⟨ じゅう メートル
|
[
J
±
、
T
q
（ け ）
]
|
じゅう ′
メートル ′
⟩ = ℏ
（ け ∓ q ） （ け ± q + 1 ）
⟨ じゅう メートル
|
T
q ± 1
（ け ）
|
じゅう ′
メートル ′
⟩ 。
{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]|j'\,m'\rangle =\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}\,\langle j\,m|T_{q\pm 1}^{(k)}|j'\,m'\rangle .\end{aligned}}}
左辺の交換子を J ±の ブラとケットへの作用を計算して展開すると、次のようになる。
⟨ じゅう メートル
|
[
J
±
、
T
q
（ け ）
]
|
じゅう ′
メートル ′
⟩ =
ℏ
（ じゅう ± メートル ） （ じゅう ∓ メートル + 1 ）
⟨ じゅう （ メートル ∓ 1 ）
|
T
q
（ け ）
|
じゅう ′
メートル ′
⟩
− ℏ
（
じゅう ′
∓
メートル ′
） （
じゅう ′
±
メートル ′
+ 1 ）
⟨ じゅう メートル
|
T
q
（ け ）
|
じゅう ′
（
メートル ′
± 1 ） ⟩ 。
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j\,m|[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]|j'\,m'\rangle ={}&\hbar {\sqrt {(j\pm m)(j\mp m+1)}}\,\langle j\,(m\mp 1)|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle \\&-\hbar {\sqrt {(j'\mp m')(j'\pm m'+1)}}\,\langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,(m'\pm 1)\rangle .\end{aligned}}}
これら2つの結果を組み合わせると、
（ じゅう ± メートル ） （ じゅう ∓ メートル + 1 ）
⟨ じゅう （ メートル ∓ 1 ）
|
T
q
（ け ）
|
じゅう ′
メートル ′
⟩ =
（
じゅう ′
∓
メートル ′
） （
じゅう ′
±
メートル ′
+ 1 ）
⟨ じゅう メートル
|
T
q
（ け ）
|
じゅう ′
（
メートル ′
± 1 ） ⟩
+
（ け ∓ q ） （ け ± q + 1 ）
⟨ じゅう メートル
|
T
q ± 1
（ け ）
|
じゅう ′
メートル ′
⟩ 。
{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {(j\pm m)(j\mp m+1)}}\langle j\,(m\mp 1)|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle =&{\sqrt {(j'\mp m')(j'\pm m'+1)}}\,\langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,(m'\pm 1)\rangle \\&+{\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}\,\langle j\,m|T_{q\pm 1}^{(k)}|j'\,m'\rangle .\end{aligned}}}
この行列要素の再帰関係は、 クレプシュ・ゴルダン係数 の再帰関係によく似ています。実際、両方とも Σ c a b 、 c x c = 0 という形式です。したがって、次の 2 組の線形同次方程式が得られます。
∑
c
1つの
b 、 c
x
c
= 0 、
∑
c
1つの
b 、 c
ええ
c
= 0.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{c}a_{b,c}x_{c}&=0,&\sum _{c}a_{b,c}y_{c}&=0.\end{aligned}}}
1つはクレプシュ・ゴルダン係数（ x c ）用、もう1つは行列要素（ y c ）用です。 x c を正確に解くことはできません 。比率が等しいとしか言えません。つまり、
x
c
x
d
=
ええ
c
ええ
d
{\displaystyle {\frac {x_{c}}{x_{d}}}={\frac {y_{c}}{y_{d}}}}
あるいはx c ∝ y c であり 、比例係数は添え字に依存しない。したがって、再帰関係を比較することにより、クレプシュ・ゴルダン係数 ⟨ j 1 m 1 j 2 ( m 2 ± 1)| jm ⟩ を行列要素 ⟨ j ′ m ′| T ( k ) q ± 1 | j m ⟩ と同一視することができ、次のように書くことができる。
⟨
じゅう ′
メートル ′
|
T
q ± 1
（ け ）
|
じゅう メートル ⟩ ∝ ⟨ じゅう メートル け （ q ± 1 ）
|
じゅう ′
メートル ′
⟩ 。
{\displaystyle \langle j'\,m'|T_{q\pm 1}^{(k)}|j\,m\rangle \propto \langle j\,m\,k\,(q\pm 1 )|j'\,m'\rangle 。}
代替条約 縮約された行列要素には様々な慣例がある。Racah [5] とWigner [6] が使用した慣例の1つは、追加の位相と正規化係数を含み、
⟨ じゅう メートル
|
T
q
（ け ）
|
じゅう ′
メートル ′
⟩ =
（ − 1
）
2 け
⟨
じゅう ′
メートル ′
け q
|
じゅう メートル ⟩ ⟨ じゅう ‖
T
（ け ）
‖
じゅう ′
⟩
R
2 じゅう + 1
= （ − 1
）
じゅう − メートル
（
じゅう
け
じゅう ′
− メートル
q
メートル ′
）
⟨ じゅう ‖
T
（ け ）
‖
じゅう ′
⟩
R
。
{\displaystyle \langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle ={\frac {(-1)^{2k}\langle j'\,m'\,k\,q|j\,m\rangle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle _{\mathrm {R} }}{\sqrt {2j+1}}}=(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&k&j'\\-m&q&m'\end{pmatrix}}\langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle _{\mathrm {R} }.}
ここで、 2 × 3配列は 3-j シンボル を表します 。(実際には k は 整数であることが多いため、文献では (-1) 2 k 係数が省略されることがあります。) この正規化を選択すると、簡約された行列要素は次の関係を満たします。
⟨
j
‖
T
†
(
k
)
‖
j
′
⟩
R
=
(
−
1
)
k
+
j
′
−
j
⟨
j
′
‖
T
(
k
)
‖
j
⟩
R
∗
,
{\displaystyle \langle j\|T^{\dagger (k)}\|j'\rangle _{\mathrm {R} }=(-1)^{k+j'-j}\langle j'\|T^{(k)}\|j\rangle _{\mathrm {R} }^{*},}
ここで、 エルミート随伴行列は k − q 規則 で定義されます。この関係は、縮約行列要素の定義における (−1) 2 k 位相因子の有無によって影響を受けませんが 、エルミート随伴行列の位相規則によって影響を受けます。
簡約された行列要素のもう一つの規則は、桜井の現代量子力学 の規則です 。
⟨
j
m
|
T
q
(
k
)
|
j
′
m
′
⟩
=
⟨
j
′
m
′
k
q
|
j
m
⟩
⟨
j
‖
T
(
k
)
‖
j
′
⟩
2
j
+
1
.
{\displaystyle \langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle ={\frac {\langle j'\,m'\,k\,q|j\,m\rangle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle }{\sqrt {2j+1}}}.}
例 位置期待値 ⟨ njm | x | njm ⟩ について考えます。この行列要素は、球対称の水素原子固有状態 基底における直交演算子の期待値であり、これは重要な問題です。ただし、ウィグナー・エッカートの定理により、この問題は単純化されます。(実際、 パリティ を 使用すると、少し長いルートになりますが、
すぐに解を得ることができます。)
x は ベクトルである r の1つの要素であること が分かっています。ベクトルは階数1の球面テンソル演算子なので、 x は階数1の球面テンソル T (1) q の線形結合でなければなりません。ここで q は ∈ {−1, 0, 1 }です 。実際、
x
=
T
−
1
(
1
)
−
T
1
(
1
)
2
,
{\displaystyle x={\frac {T_{-1}^{(1)}-T_{1}^{(1)}}{\sqrt {2}}},}
ここで球面テンソルを次のように定義する [7]
T
q
(
1
)
=
4
π
3
r
Y
1
q
{\displaystyle T_{q}^{(1)}={\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}rY_{1}^{q}}
および Y l m は 球面調和関数 であり 、それ自体も階数 l の球面テンソルである。さらに、 T (1) 0 = z であり、
T
±
1
(
1
)
=
∓
x
±
i
y
2
.
{\displaystyle T_{\pm 1}^{(1)}=\mp {\frac {x\pm iy}{\sqrt {2}}}.}
したがって、
⟨
n
j
m
|
x
|
n
′
j
′
m
′
⟩
=
⟨
n
j
m
|
T
−
1
(
1
)
−
T
1
(
1
)
2
|
n
′
j
′
m
′
⟩
=
1
2
⟨
n
j
‖
T
(
1
)
‖
n
′
j
′
⟩
(
⟨
j
′
m
′
1
(
−
1
)
|
j
m
⟩
−
⟨
j
′
m
′
1
1
|
j
m
⟩
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle n\,j\,m|x|n'\,j'\,m'\rangle &=\left\langle n\,j\,m\left|{\frac {T_{-1}^{(1)}-T_{1}^{(1)}}{\sqrt {2}}}\right|n'\,j'\,m'\right\rangle \\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle n\,j\|T^{(1)}\|n'\,j'\rangle \,{\big (}\langle j'\,m'\,1\,(-1)|j\,m\rangle -\langle j'\,m'\,1\,1|j\,m\rangle {\big )}.\end{aligned}}}
上記の式は、 | njm ⟩ 基底における x の行列要素を与えます。期待値を見つけるために、 n ′ = n 、 j ′ = j 、 m ′ = mと設定します。 m ′ と m の選択規則は、 T (1) ±1 球面テンソルの場合、 m ± 1 = m ′ です。 m ′ = m であるため 、クレプシュ・ゴルダン係数はゼロになり、期待値もゼロになります。
参照
参考文献
^ エッカート伝記 – 全米アカデミー出版局。 ^ 括弧内の上付き文字 ( k ) はその位数を示します。ただし、 q とは異なり、実際のインデックスである必要はありません。 ^ これはウィグナー・エッカートの定理に特有の特別な表記法です。 ^ ホール 2015 付録 C. ^ Racah, G. (1942). 「複素スペクトルの理論 II」. Physical Review . 62 ( 9–10 ): 438–462 . Bibcode :1942PhRv...62..438R. doi :10.1103/PhysRev.62.438. ^ Wigner, EP (1951)。「SR 群の表現のクロネッカー積を縮減する行列について」。Wightman, Arthur S. (編)。 ユージン ・ポール・ウィグナー全集 。第 3 巻。614 ページ 。doi :10.1007/978-3-662-02781-3_42。ISBN 978-3-642-08154-5 。 ^ JJ Sakurai: 「現代量子力学」（マサチューセッツ、1994年、Addison-Wesley）。
一般的な ホール、ブライアン C. (2015)、 リー群、リー代数、表現: 初等入門 、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、 ISBN 978-3319134666
外部リンク JJ Sakurai (1994)「現代量子力学」、Addison Wesley、 ISBN 0-201-53929-2 。 ワイスタイン、エリック・W. 「ウィグナー・エッカートの定理」。 マスワールド 。 ウィグナー・エッカートの定理 テンソル演算子 
![{\displaystyle [J_{\pm},T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f429ef02cd6f7b75fcb9db87d414856b941057c7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]|j'\,m'\rangle =\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}\,\langle j\,m|T_{q\pm 1}^{(k)}|j'\,m'\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e52c2db73307d1529cc2deb7c3644bfd4017e8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j\,m|[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]|j'\,m'\rangle ={}&\hbar {\sqrt {(j\pm m)(j\mp m+1)}}\,\langle j\,(m\mp 1)|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle \\&-\hbar {\sqrt {(j'\mp m')(j'\pm m'+1)}}\,\langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,(m'\pm 1)\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b303ad90a34ed43782bfff6c7648e14b4b8e5)
