ベクトル球面調和関数

数学において、ベクトル球面調和関数( VSH ) は、スカラー球面調和関数をベクトル場で使用するために拡張したものです。VSH の成分は、球面座標基底ベクトルで表現される複素数値関数です。

VSHを定義するためにいくつかの慣例が使われてきました。^{[1] [2] [3] [4] [5]} 私たちはBarreraらの方法に従います。スカラー球面調和関数 Y _ℓm ( θ , φ )が与えられたとき、3つのVSHを定義します。

• ${\displaystyle \mathbf {Y} _{\ell m}=Y_{\ell m}{\hat {\mathbf {r} }},}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Psi } _{\ell m}=r\nabla Y_{\ell m},}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{\ell m}=\mathbf {r} \times \nabla Y_{\ell m},}$

は球座標における半径方向の単位ベクトルであり、 は半径と同じノルムを持つ半径方向のベクトル、つまりです。半径因子は、VSH の次元が通常の球面調和関数の次元と同じであり、VSH が半径球座標に依存しないことを保証するために含まれています。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}$

これらの新しいベクトル場の興味深い点は、球面座標を使用する際に、半径依存性を角度依存性から分離し、ベクトル場が多極展開を許容できるようにすることである。

$${\displaystyle \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(E_{\ell m}^{r }(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+E_{\ell m}^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+E_{\ell m}^{(2)}(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}$$

成分のラベルは、がベクトル場 のラジアル成分であり、と が横方向成分（半径ベクトル に関して）であることを反映しています。 ${\displaystyle E_{\ell m}^{r}}$${\displaystyle E_{\ell m}^{(1)}}$${\displaystyle E_{\ell m}^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

スカラー球面調和関数と同様に、VSHは

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{\ell m}^{*},\\ \mathbf {\Psi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Phi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*}, \end{整列}}}$$

これにより、独立した関数の数がほぼ半分に減ります。星印は複素共役を表します。

VSH は各点で通常の 3 次元の方法で直交します。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&= 0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\ mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

これらはヒルベルト空間でも直交します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {Y} _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Phi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\オメガ &=0.\end{整列}}}$$

1点における追加の結果（Barrera et al, 1985では報告されていない）は、すべての に対して、 ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \ell ,m,\ell ',m'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} ) &=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

直交関係により、ベクトル場の球面多重極モーメントを次のように計算できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\ell m}^{r}&=\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {Y} _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(1)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(2)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega .\end{aligned}}}$$

スカラー場の 多重極展開を考えると

$${\displaystyle \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\phi _{\ell m}(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),}$$

その勾配をVSHで表すと次のようになる。

$${\displaystyle \nabla \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {d\phi _{\ell m}}{dr}}\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {\phi _{\ell m}}{r}}\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right).}$$

任意の多極子場に対して、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}fY_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=0.\end{aligned}}}$$

重ね合わせによって、任意のベクトル場の 発散が得られます。

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {dE_{\ell m}^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}E_{\ell m}^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)Y_{\ell m}.}$$

Φ _ℓmの成分は常にソレノイドであることがわかります。

任意の多極子場に対して、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}f\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

重ね合わせによって、任意のベクトル場の 回転が得られます。

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {dE_{\ell m}^{(2)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+\left(-{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{r}+{\frac {dE_{\ell m}^{(1)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}$$

ラプラス演算子 の作用は次のように分離します。 ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$

$${\displaystyle \Delta \left(f(r)\mathbf {Z} _{\ell m}\right)=\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\mathbf {Z} _{\ell m}+f(r)\Delta \mathbf {Z} _{\ell m},}$$ どこでそして ${\displaystyle \mathbf {Z} _{\ell m}=\mathbf {Y} _{\ell m},\mathbf {\Psi } _{\ell m},\mathbf {\Phi } _{\ell m}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {Y} _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}(2+\ell (\ell +1))\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {2}{r^{2}}}\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Psi } _{\ell m}&={\frac {2}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {Y} _{\ell m}-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Phi } _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Phi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

また、この動作は対称的になること、つまり、適切に正規化されたVSH の場合、非対角係数が に等しくなることにも注意してください。${\textstyle {\frac {2}{r^{2}}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$

VSHの実部の視覚化。クリックして展開します。${\displaystyle \ell =1,2,3}$

mの負の値の表現は対称関係を適用することによって得られます。

VSHは特に多極放射場の研究に有用である。例えば、磁気多極子は角周波数と複素振幅を 持つ振動電流によって生じる。${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}=J(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},}$$

対応する電場と磁場は次のように表される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {E} }}&=E(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\{\hat {\mathbf {B} }}&=B^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

マクスウェル方程式に代入すると、ガウスの法則は自動的に満たされる。

$${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {E} }}=0,}$$

一方、ファラデーの法則は

$${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {E} }}=-i\omega {\hat {\mathbf {B} }}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\dfrac {\ell (\ell +1)}{r}}E=i\omega B^{r},\\{\dfrac {dE}{dr}}+{\dfrac {E}{r}}=i\omega B^{(1)}.\end{cases}}}$$

磁場に関するガウスの法則は

$${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {B} }}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dB^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}B^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}B^{(1)}=0,}$$

アンペール・マクスウェル方程式は次のように表される。

$${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\hat {\mathbf {J} }}+i\mu _{0}\varepsilon _{0}\omega {\hat {\mathbf {E} }}\quad \Rightarrow \quad -{\frac {B^{r}}{r}}+{\frac {dB^{(1)}}{dr}}+{\frac {B^{(1)}}{r}}=\mu _{0}J+i\omega \mu _{0}\varepsilon _{0}E.}$$

このようにして、偏微分方程式は常微分方程式の集合に変換されます。

多くの応用において、ベクトル球面調和関数は球座標におけるベクトルヘルムホルツ方程式の解の基本集合として定義される。 ^{[6] [7]}

この場合、ベクトル球面調和関数はスカラー関数によって生成されます。これは、波数ベクトルを持つスカラーヘルムホルツ方程式の解です。 ここで、はルジャンドル多項式であり、 は球面ベッセル関数のいずれかです。 ${\displaystyle \mathbf {k} }$$${\displaystyle {\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array}}}$$${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle z_{n}({k}r)}$

ベクトル球面調和関数は次のように定義されます。

縦波高調波

${\displaystyle \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn}}$

磁気高調波

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}$

電気高調波

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}}$

ここでは調和関数の実数値角度部分を使用しますが、複素関数も同様の方法で導入できます。 ${\displaystyle m\geq 0}$

表記法を導入しましょう。成分形式では、ベクトル球面調和関数は次のように表されます。 ${\displaystyle \rho =kr}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {-m}{\sin(\theta )}}\sin(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }}\\{{}-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {m}{\sin(\theta )}}\cos(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }}\\{{}+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }\\{}+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{}+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$ 磁気高調波には半径方向の成分はありません。電気高調波では、半径方向の成分は角度方向の成分よりも速く減少し、大きな高調波では無視できます。また、電気高調波と磁気高調波では、角度方向の成分は極単位ベクトルと方位単位ベクトルの入れ替えまで同じであるため、大きな 電気高調波と磁気高調波ではベクトルの値が等しく、互いに垂直になります。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$

縦高調波: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}(k,\mathbf {r} ){}=\qquad &{\frac {\partial }{\partial r}}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\\{}\mp {}&{\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

ヘルムホルツベクトル方程式の解は次の直交関係に従う: ^[7] $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\end{aligned}}}$$

異なる関数間または異なるインデックスを持つ関数間の角度に対するその他のすべての積分はゼロになります。

回転下では、ベクトル球面調和関数は、特定の種類のベクトル調和関数を生成する対応するスカラー球面関数と同じ方法で相互に変換されます。たとえば、生成関数が通常の球面調和関数である場合、ベクトル調和関数もウィグナーD行列^{[8] [9] [10]} を介して変換されます。 回転下での挙動は、電気、磁気、縦方向の調和関数で同じです。 $${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{M'=-J}^{J}[D_{MM'}^{(J)}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),}$$

反転すると、電気球面調和関数と縦球面調和関数はスカラー球面関数と同じように動作します。つまり、電気球面調和関数 と縦球面調和関数は逆の偶奇性を持ちます。 $${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$$$${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$$

粘性流体が小さな球状粒子に及ぼす抗力に関するストークスの法則の計算では、速度分布は慣性を無視したナビエ・ストークス方程式に従う。すなわち、

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla \cdot \mathbf {v} ,\\\mathbf {0} &=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$

境界条件付き

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{cases}\mathbf {0} &r=a,\\-\mathbf {U} _{0}&r\to \infty .\end{cases}}}$$

ここでUは粒子から遠い流体に対する粒子の相対速度である。球座標ではこの無限遠での速度は次のように表される。

$${\displaystyle \mathbf {U} _{0}=U_{0}\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}\right)=U_{0}\left(\mathbf {Y} _{10}+\mathbf {\Psi } _{10}\right).}$$

最後の式は、液体の速度と圧力の球面調和関数の展開を示唆している。

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p(r)Y_{10},\\\mathbf {v} &=v^{r}(r)\mathbf {Y} _{10}+v^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{10}.\end{aligned}}}$$

ナビエ・ストークス方程式に代入すると、係数の常微分方程式のセットが生成されます。

ここでは次の定義が使用されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=i{\frac {\mathbf {k} }{k}}\times \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$の代わりに球面ベッセル関数 の場合、平面波展開の助けを借りて次の積分関係を得ることができます: ^[11]${\displaystyle z_{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}}$$

$${\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}}$$

が球面ハンケル関数である場合は、異なる公式を使用する必要があります。^{[12] [11]}ベクトル球面調和関数の場合、次の関係式が得られます。 ${\displaystyle z_{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$ ここで、インデックスは球面ハンケル関数が使用されることを意味します。 ${\textstyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}$${\displaystyle (3)}$

• 球面調和関数
• スピノル球面調和関数
• スピン重み付き球面調和関数
• 電磁放射
• 球面基底

• Eric Weisstein の Mathworld におけるベクトル球面調和関数