クレプシュ・ゴルダン係数

物理学において、クレプシュ・ゴルダン( CG )係数は、量子力学における角運動量の結合で生じる数である。これらは、結合していないテンソル積基底における全角運動量固有状態の展開係数として現れる。より数学的な用語で言えば、CG 係数は表現論、特にコンパクト リー群において、2 つの既約表現(すなわち、既約成分の数とタイプが抽象的に既にわかっている場合は、既約表現から既約表現への分解) のテンソル積の明示的な直和分解を実行するために使用される。この名前は、不変理論で同等の問題に遭遇したドイツの数学者アルフレッド クレプシュとパウル ゴルダンに由来する。

ベクトル計算の観点からは、 SO(3) 群に関連する CG 係数は、球面調和関数とその複素共役の積の積分で簡単に定義できます。球面調和関数は全角運動量の固有関数とその軸への射影であり、積分はヒルベルト空間の 内積に対応するため、量子力学用語でのスピンの加算はこのアプローチから直接読み取ることができます。^[1]角運動量の正式な定義から、クレプシュ・ゴルダン係数の再帰関係が見つかります。また、それらを直接計算するための複雑な明示的な式も存在します。^[2]

以下の式ではディラックの ブラケット記法が使用され、コンドン・ショートリー位相規則^[3]が採用されています。

角運動量演算子は、交換関係を満たす自己随伴演算子 j _x、j _y、およびj _zです。 ここで、ε _{klm は}レヴィ-チヴィタ記号です。3 つの演算子を一緒にすると、ベクトル演算子、 ランク 1 の直交テンソル演算子が定義されます。これは球面テンソル演算子でもあるため、球面ベクトル とも呼ばれます。球面テンソル演算子が直交テンソル演算子と一致するのは、ランク 1 の場合のみです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l }-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}} ,\mathrm {j_{y}} ,\mathrm {j_{z}} ).}$$

この概念をさらに発展させることで、別の演算子j ^2をjとそれ自身 の内積として定義できます。これはカシミール演算子 の例です。これは対角であり、その固有値は角運動量代数の特定の既約表現を特徴付けます。これは物理的には、表現が作用する状態の全角運動量の 2 乗として解釈されます。 $${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2} } .}$$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}$

また、ラダー演算子と呼ばれる、上げ（j ₊）演算子と下げ（j ₋ ）演算子を定義することもできる。 $${\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .}$$

上記の定義から、 j ^{2 は}j _x、j _y、j _zと可換であることが示されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\ mathrm {z} \}.\end{aligned}}}$$

2 つのエルミート演算子が交換する場合、共通の固有状態の集合が存在します。慣例的に、j ²とj _{zが選択されます。交換関係から、可能な固有値を見つけることができます。これらの固有状態は}| j m ⟩と表されます。ここで、jは角運動量量子数、m はz 軸への 角運動量射影です。

これらは球面基底を構成し、完全であり、次の固有値方程式を満たす。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}}$$

上げ下げ演算子を使用してmの値を変更できます。 ここで、ラダー係数は次のように与えられます。 $${\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,}$$

原理的には、 の定義に（おそらくは複素数の）位相因子を導入することもできる。この記事での選択は、コンドン・ショートリーの位相慣例と一致している。角運動量状態は直交しており（エルミート演算子に対する固有値が異なるため）、正規化されていると仮定される。 ${\displaystyle C_{\pm }(j,m)}$$${\displaystyle \langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}。}$$

ここで、イタリック体のjとm は、粒子またはシステムの整数または半整数の角運動量量子数を表します。一方、ローマ字のj _x、j _y、j _z、j ₊、j ₋、およびj ^{2 は}演算子を表します。記号はクロネッカーのデルタです。 ${\displaystyle \delta}$

ここで、物理的に異なる 2 つの角運動量j ₁とj ₂を持つシステムについて考えます。例としては、単一の電子のスピンと軌道角運動量、または 2 つの電子のスピン、または 2 つの電子の軌道角運動量などがあります。数学的には、これは角運動量演算子が次元の空間と次元の空間に作用することを意味します。次に、次元のテンソル積空間に作用する「全角運動量」演算子の族を定義します。この空間に対する全角運動量演算子の作用は、SU(2) リー代数の表現を構成しますが、これは簡約可能な表現です。この簡約可能な表現を簡約不可能な部分に簡約することが、クレプシュ-ゴルダン理論の目標です。 ${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle 2j_{1}+1}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle 2j_{2}+1}$${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$

V _{1 を}状態が張る (2 j ₁ + 1)次元ベクトル空間とし、 V 2_を状態が張る (2 j ₂ + 1)次元ベクトル空間とする。$${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.}$$

これらの空間のテンソル積V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂は、(2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1)次元の非結合基底 を持ちます。角運動量演算子は、次のようにV ₃ の状態に作用するように定義されます。 ここで 、 1 は恒等演算子を表します。 $${\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.}$$$${\displaystyle (\mathbf {j} \otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }$$$${\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } )|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} |j_{2}\,m_{2}\rangle ,}$$

全角運動量演算子^{[nb 1]は、} V ₁ ⊗ V ₂に作用する2つの表現の余積（またはテンソル積）によって定義される。

全角運動量演算子は、 まったく同じ交換関係を満たすことが示されます。 ここで、k、l、m∈ { x、y、z }です。実際、前述の構成は、リー代数の作用をテンソル積表現上に構築するための 標準的な方法^[4]です。$${\displaystyle [\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,}$$

したがって、全角運動量演算子に対しても、 M ∈ {− J , − J + 1, ..., J } に対して結合した固有状態の集合が存在します。 [ j ₁ j ₂ ]の部分は省略するのが一般的であることに注意してください。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}}$$

全角運動量量子数Jは 、3つの非負整数または半整数値が三角形の3辺に対応するという三角条件を満たさなければならない 。 ^[5]$${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2},}$$

全角運動量固有状態の総数は、必然的にV ₃の次元に等しくなります。 この計算が示すように、テンソル積表現は、次元 の既約表現のそれぞれ 1 つのコピーの直和として分解されます。ここで、は から までの範囲で 1 ずつ増加します。^[6]例として、 に対応する 3 次元表現と の 2 次元表現のテンソル積を考えます。その場合、の可能な値はおよびです。したがって、6 次元テンソル積表現は、2 次元表現と 4 次元表現の直和として分解されます。 $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.}$$${\displaystyle 2J+1}$${\displaystyle J}$${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|}$${\displaystyle j_{1}+j_{2}}$${\displaystyle j_{1}=1}$${\displaystyle j_{2}=1/2}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J=1/2}$${\displaystyle J=3/2}$

ここでの目標は、前述の分解を明示的に記述すること、つまり、発生する各コンポーネント表現のテンソル積空間の基底要素を明示的に記述することです。

全角運動量状態はV ₃の正規直交基底を形成する。 $${\displaystyle \left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.}$$

これらの規則は、例えばn個の二重項（s =1/2）を組み合わせてクレプシュ・ゴルダン分解級数（カタランの三角形） を取得するために反復されることがある。 ここで、は整数床関数であり、太字の既約表現次元（ 2 j +1 ）ラベルの前の数字は、表現削減におけるその表現の多重度を示す。^[7]例えば、この式から、3つのスピン1/2を追加すると、スピン3/2と2つのスピン1/2が得られる。 $${\displaystyle \mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,}$$${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$${\displaystyle {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }}$

結合状態は、非結合基底における完全性関係（同一性の解決）を介して拡張することができる。

展開係数

$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

はクレプシュ・ゴルダン係数である。著者によっては、 ⟨ j ₁ j ₂ ; m ₁ m ₂ | J M ⟩のように異なる順序で表記することもある。別の一般的な表記は、 ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ = Cである。 ^JM
_{j 1 m 1 j 2 m 2}。

演算子の適用

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}}$$

定義式の両辺は、クレプシュ・ゴルダン係数がゼロでないのは、

$${\displaystyle {\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J&\leq j_{1}+j_{2}\\M&=m_{1}+m_{2}.\end{aligned}}}$$

再帰関係は、1941 年にエルサレムのヘブライ大学の 物理学者ジュリオ・ラカによって発見されました。

定義式の左辺に全角運動量上昇演算子と下降演算子を適用すると次の式が得られます。 右辺にも同じ演算子を適用すると次の式が得られます。$${\displaystyle \mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }&\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

これらの結果を組み合わせると、クレプシュ・ゴルダン係数の再帰関係が得られます。ここで、C _{± は}1で定義されています。 $${\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle .}$$

M = Jという条件で上側の符号を取ると、初期再帰関係が得られる。コンドン・ショートリー位相慣性では、次の制約を加える。 $${\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle .}$$

${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0}$

（したがって実数でもある）。これらの再帰関係から、Clebsch–Gordan係数⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩を求めることができる。正規化は、平方和が1であるという要件によって固定されており、これは状態|[ j ₁ j ₂ ] J J ⟩のノルムが1でなければならないという要件と同等である。

再帰関係の下側の符号は、 M = J − 1のすべての Clebsch–Gordan 係数を見つけるために使用できます。この式を繰り返し使用すると、すべての係数が得られます。

Clebsch-Gordan 係数を求めるこの手順は、Condon-Shortley 位相規則では係数がすべて実数であることを示しています。

これらは、代替表記を導入することで最も明確に記述されます。 $${\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

最初の直交関係は （ という事実から導かれる）であり、2番目の直交関係は $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$$${\textstyle \mathbf {1} =\sum _{x}|x\rangle \langle x|}$$${\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.}$$

J = 0の場合、クレプシュ・ゴルダン係数は次のように与えられる。 $${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}.}$$

J = j ₁ + j ₂かつM = Jの場合、 $${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1.}$$

j ₁ = j ₂ = J / 2かつm ₁ = − m ₂の場合、 $${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.}$$

j ₁ = j ₂ = m ₁ = − m ₂の場合には、 $${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}$$

j ₂ = 1、m ₂ = 0の場合には、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}}$$

j ₂ = 1/2の場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}}$$

これらの関係を導く便利な方法は、3 を使用してClebsch–Gordan 係数をWigner 3-j 記号に変換することです。Wigner 3-j 記号の対称性特性ははるかに単純です。

位相因子を簡略化する際に注意が必要である。量子数は整数ではなく半整数である場合があり、したがって、整数であることが証明されない限り、与えられた量子数kに対して(−1) ^{2 k は}必ずしも1ではない。 代わりに、任意の角運動量のような量子数k に対して、次のより弱い規則に置き換えられる。 $${\displaystyle (-1)^{4k}=1}$$

ただし、 j _iとm _iの組み合わせは常に整数なので、これらの組み合わせにはより強い規則が適用されます。 この恒等式は、 j _iまたはm _i のいずれか、あるいは両方の符号が反転した場合でも適用されます。 $${\displaystyle (-1)^{2(j_{i}-m_{i})}=1}$$

与えられた( j _i , m _i )ペアの位相係数はいずれも、次の標準形式に簡約できることに注目すると便利です。 ここで、a ∈ {0, 1, 2, 3}かつb ∈ {0, 1} です(他の規則も可能)。位相係数をこの形式に変換すると、2 つの位相係数が等しいかどうかを簡単に判断できます。(この形式は局所的にのみ標準的であることに注意してください。次の段落で説明するような( j _i , m _i )ペア の組み合わせを規定する規則を考慮に入れていません。)$${\displaystyle (-1)^{aj_{i}+b(j_{i}-m_{i})}}$$

クレプシュ・ゴルダン係数またはウィグナー 3-j 記号によって関連付けられる j ₁、j ₂、およびj ₃の組み合わせには、追加の規則が適用されます。この恒等式は、任意のj _i の符号が反転されている場合、またはそれらのいずれかが代わりにm _iに置き換えられた場合でも適用されます。 $${\displaystyle (-1)^{2(j_{1}+j_{2}+j_{3})}=1}$$

クレプシュ・ゴルダン係数は、より便利な対称関係を持つウィグナーの 3-j 記号に関連しています。

係数(−1) ^{2 j ₂}は、 ⟨ j ₁ j ₁ j ₂ ( J − j ₁ )| JJ ⟩ > 0というコンドン・ショートリー制約によるものであり、係数(–1) ^{J − M}は| JM ⟩の時間反転特性によるものである。

これにより、一般的な表現に到達できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &\equiv \delta (m_{1}+m_{2},M){\sqrt {\frac {(2J+1)(j_{1}+j_{2}-J)!(j_{1}-j_{2}+J)!(-j_{1}+j_{2}+J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(J-M)!(J+M)!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}.}$

合計は、分母の各階乗の引数が非負である整数値kに対して実行されます。つまり、合計の限界KとN は等しくなります。つまり、下限と上限が等しくなります。負の数の階乗は慣例的にゼロに等しくなるため、たとえばまたはの 3 j記号の値は自動的にゼロに設定されます。 ${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-J-m_{1},j_{1}-J+m_{2}),}$${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-J,j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\{}={}&{\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}}$$

整数が関係する場合、係数は球面調和関数の積分に関連付けることができます。 $${\displaystyle \int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle }$$

このことと球面調和関数の正規直交性から、CG 係数は実際には 2 つの球面調和関数の積を 1 つの球面調和関数で表した展開係数であることがわかります。 $${\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$$

$${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}}$$

任意の群とその表現について、クレプシュ・ゴルダン係数は一般に知られていない。しかし、特殊ユニタリー群SU( n )のクレプシュ・ゴルダン係数を生成するアルゴリズムは知られている。^{[8] [9]}特に、SU(3)クレプシュ・ゴルダン係数は、アップ、ダウン、ストレンジクォークを関連付けるフレーバー-SU(3)対称性が存在するハドロン崩壊の特徴付けに有用であるため、計算され、表にまとめられている。^{[10] [11] [12]} SU(N)クレプシュ・ゴルダン係数を表にまとめるウェブインターフェースはすぐに利用できる。