ルジャンドル多項式

数学において、ルジャンドル多項式は、アドリアン・マリー・ルジャンドル(1782)にちなんで名付けられた、完全な直交多項式の体系であり、さまざまな数学的特性と多数の応用を備えています。ルジャンドル多項式はさまざまな方法で定義でき、さまざまな定義によってさまざまな側面が強調されるとともに、さまざまな数学的構造や物理的および数値的応用への一般化や関連性が示唆されます。

ルジャンドル多項式に密接に関連しているものとして、ルジャンドル陪関数、ルジャンドル関数、第 2 種ルジャンドル関数、大 q-ルジャンドル多項式、ルジャンドル陪関数などがあります。

このアプローチでは、多項式は区間 上の重み関数に関する直交系として定義されます。つまり、は次数 の多項式であり、 ${\displaystyle w(x)=1}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.}$$

追加の標準化条件 により、すべての多項式を一意に決定できます。次に、構築プロセスを開始します。 は、次数 0 の唯一の正しく標準化された多項式です。はに直交する必要があり、につながります。また、 は、およびへの直交を要求することで決定され、以下同様に続きます。は、 ですべてに直交することを要求することで固定されます。これにより、標準化とともにのすべての係数を固定する条件が得られます。 の作業により、すべての多項式のすべての係数を体系的に決定でき、以下に示す の累乗の明示的な表現につながります。 ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$${\displaystyle P_{0}(x)=1}$${\displaystyle P_{1}(x)}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1}(x)=x}$${\displaystyle P_{2}(x)}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle P_{m}}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{n}(1)=1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle x}$

のこの定義は最も単純なものです。微分方程式の理論には関係ありません。第 2 に、多項式の完全性は、べき乗 1, の完全性から直接導かれます。最後に、上のルベーグ測度に関する直交性を介してそれらを定義することにより、ルジャンドル多項式を 3 つの古典的な直交多項式システムの 1 つとして設定します。他の 2 つは、重み を持つ半直線上で直交するラゲール多項式と、重み を持つ全直線上で直交するエルミート多項式です。 ${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle x,x^{2},x^{3},\ldots }$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle e^{-x}}$${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$${\displaystyle e^{-x^{2}}}$

ルジャンドル多項式は、生成関数のべき乗の形式的展開における係数として定義することもできる^[1]${\displaystyle t}$

の係数は、の次数の多項式です。 まで展開すると、が得られ ます。 より高い次数への展開はますます面倒になりますが、体系的に行うことは可能であり、再び以下に示す明示的な形式のいずれかにつながります。 ${\displaystyle t^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |x|\leq 1}$${\displaystyle t^{1}}$$${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.}$$

しかし、テイラー級数を直接展開しなくても、より高い を得ることは可能です。 式 2は両辺を tについて微分し、次のように整理されます。 平方根の商を式2 の定義に置き換え 、結果として得られる展開でtの累乗の係数を等しくすると、ボネットの再帰式が得られます。 この関係と最初の 2 つの多項式P ₀とP ₁ により、残りはすべて再帰的に生成できます。 ${\displaystyle P_{n}}$$${\displaystyle {\frac {xt}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.}$$ $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}$$

生成関数アプローチは、以下で説明するように、静電気学における多極展開に直接関連しており、1782 年にルジャンドルによって多項式が初めて定義された方法です。

3番目の定義はルジャンドルの微分方程式の解に基づいている。

この微分方程式はx = ±1で正則特異点を持つため、標準的なフロベニウス法またはべき級数法を使用して解を求める場合、一般に原点の周りの級数は| x | < 1でのみ収束します。 nが整数のとき、 x = 1で正則な解P _n ( x )はx = −1でも正則であり、この解の級数は終了します（つまり、多項式です）。 これらの解の直交性と完全性は、スチュム・リウヴィル理論の観点から最もよくわかります。の代わりに 固有値を使用して、微分方程式を固有値問題として書き直します 。 で解が正則であることを要求すると 、左側の微分演算子はエルミートになります。 固有値はn ( n + 1)の形式であることがわかり 、 であり、固有関数は です。 この解の集合の直交性と完全性は、スチュム・リウヴィル理論のより大きな枠組みからすぐにわかります。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,}$$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle n(n+1)}$${\displaystyle x=\pm 1}$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$${\displaystyle P_{n}(x)}$

微分方程式には、別の非多項式解、第2種のルジャンドル関数があります。(式 1 )の2パラメータの一般化は ルジャンドルの一般微分方程式と呼ばれ、ルジャンドルの準多項式で解かれます。ルジャンドル関数は、ルジャンドルの微分方程式(一般化または非一般)の非整数パラメータによる解です。 ${\displaystyle Q_{n}}$

物理的な設定では、ラプラス方程式（および関連する偏微分方程式）を球面座標で変数分離して解くときはいつでも、ルジャンドルの微分方程式が自然に生じます。この観点から、ラプラス演算子の角度部分の固有関数は球面調和関数であり、そのルジャンドル多項式は（乗法定数を除いて）極軸の周りの回転によって不変のままになる部分集合です。多項式は のように表され、は極角です。ルジャンドル多項式へのこのアプローチは、回転対称性との深いつながりを提供します。解析手法を通じて苦労して見つけられるルジャンドル多項式の特性の多くは、たとえば加法定理など、対称性および群論の方法を使用するとより簡単に見つけられ、深い物理的および幾何学的意味を持ちます。 ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$${\displaystyle \theta}$

ルジャンドル多項式の特に簡潔な表現はロドリゲスの公式で与えられる： $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.}$$

この公式により、の多数の特性を導出することができる。これらの中には、次のような明示的な表現がある。 ${\displaystyle P_{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&=[t^{n}]{\frac {\left((t+x)^{2}-1\right)^{n}}{2^{n}}}=[t^{n}]{\frac {\left(t+x+1\right)^{n}\left(t+x-1\right)^{n}}{2^{n}}},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\!2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\[1ex]P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{\!k},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\[1ex]P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\\[1ex]P_{n}(x)&={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cdot \cos(t)\right)}^{n}\,dt&{\text{if }}|x|>1,\\x^{n}&{\text{if }}|x|=1,\\\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\cdot x^{n}\cdot |x|\cdot \int _{|x|}^{1}{\frac {t^{-n-1}}{\sqrt {t^{2}-x^{2}}}}\cdot {\frac {\cos \left(n\cdot \arccos(t)\right)}{\sin \left(\arccos(t)\right)}}\,dt&{\text{if }}0<|x|<1,\\\displaystyle (-1)^{n/2}\cdot 2^{-n}\cdot {\binom {n}{n/2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ even}},\\0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

多項式をべき級数 として表すと、 のべき乗の係数も一般的な公式を使用して計算できます。ルジャンドル多項式は、 が奇数の場合、が偶数の場合の2つの定数 と に使用される値によって決まります。^[2]${\textstyle P_{n}(x)=\sum a_{k}x^{k}}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle a_{k+2}=-{\frac {(n-k)(n+k+1)}{(k+2)(k+1)}}a_{k}.}$$${\textstyle a_{0}}$${\textstyle a_{1}}$${\textstyle a_{0}=0}$${\displaystyle n}$${\textstyle a_{1}=0}$${\displaystyle n}$

4 番目の表現では、は以下の最大の整数を表します。 最後の表現も再帰式から直接得られ、ルジャンドル多項式を単純な単項式で表し、二項係数 の一般化された形式を含みます。 ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle n/2}$

最初のいくつかのルジャンドル多項式は次のとおりです。

これらの多項式のグラフ（n = 5まで）を以下に示します。

標準化は、ルジャンドル多項式の正規化を固定します（区間−1 ≤ x ≤ 1のL ²ノルムに関して）。これらは同じノルムに関して直交しているので、2 つのステートメント^{[明確化が必要]}を 1 つの方程式に組み合わせることができます （ここでδ _{mn は}クロネッカーのデルタを表し、 m = nの場合は 1、それ以外の場合は 0 になります）。この正規化は、以下に示すロドリゲスの公式を使用することによって最も簡単に見つけることができます。 ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}$$

多項式が完全であるということは、次のことを意味する。区間[−1, 1]に有限個の不連続点を持つ任意の区分連続関数が与えられたとき、和の列は 平均で に収束する。ただし、 ${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n\to \infty }$$${\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}$$

この完全性特性は、この記事で説明するすべての展開の基礎となっており、多くの場合、 −1 ≤ x ≤ 1および−1 ≤ y ≤ 1 の形式で表現されます。 $${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),}$$

ルジャンドル多項式は、1782年にアドリアン・マリー・ルジャンドル^{[3]によって、}ニュートンポテンシャル の展開における係数として初めて導入されました 。ここで、rとr ′はそれぞれベクトルxとx ′の長さ、 γはこれら2つのベクトル間の角度です。この級数は、r > r ′のときに収束します。この式は、質点に関連付けられた重力ポテンシャル、または点電荷に関連付けられたクーロンポテンシャルを与えます。ルジャンドル多項式を使用した展開は、たとえば、連続的な質量または電荷分布にわたってこの式を積分する場合に役立ちます。 $${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}$$

ルジャンドル多項式は、電荷のない空間領域における静的ポテンシャル∇ ² Φ( x ) = 0のラプラス方程式の解に、変数分離法を用いて現れる。この場合、境界条件は軸対称性を持つ（方位角に依存しない）。ここで、ẑは対称軸、θ は観測者の位置とẑ軸（天頂角）の間の角度であり、ポテンシャルの解は次のようになる。 $${\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.}$$

A _lとB _{l は}各問題の境界条件に応じて決定される。 ^[4]

これらは、中心力について 3 次元の シュレーディンガー方程式を解くときにも現れます。

ルジャンドル多項式は、次の形式の関数を展開する場合にも役立ちます (これは前と同じですが、少し書き方が異なります)。 これは、多重極展開 で自然に発生します。方程式の左側は、ルジャンドル多項式の 生成関数です。$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),}$$

例えば、z軸上のz = aに位置する点電荷による電位 Φ( r , θ )（球座標）は、次のように変化する（右図参照）。 $${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}$$

観測点Pの半径rがaより大きい場合、ポテンシャルはルジャンドル多項式で展開される可能性があり 、η = ⁠$${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),}$$1つの/r⁠ < 1かつx = cos θ。この展開は、通常の多重極展開を展開するために使用されます。

逆に、観測点Pの半径rがaより小さい場合、ポテンシャルは上記と同様にルジャンドル多項式で展開されますが、aとrは交換されます。この展開は内部多重極展開の基礎となります。

三角関数cos nθ は、チェビシェフ多項式 T _n (cos θ ) ≡ cos nθとも表記され、ルジャンドル多項式P _n (cos θ )によって多重極展開することもできます。最初のいくつかの次数は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{3}}{\bigl (}4P_{2}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}}{\bigl (}8P_{3}(\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4}(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \theta )-7P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac {1}{63}}{\bigl (}128P_{5}(\cos \theta )-56P_{3}(\cos \theta )-9P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{\bigl (}2560P_{6}(\cos \theta )-1152P_{4}(\cos \theta )-220P_{2}(\cos \theta )-33P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

もう一つの性質は、 sin ( n + 1) θの式であり、 $${\displaystyle {\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).}$$

d次元のメモリベクトルを含むリカレントニューラルネットワークは、そのニューラル活動が次の状態空間表現によって与えられる線形時間不変システムに従うように最適化できます。 ${\displaystyle \mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}}$$${\displaystyle \theta {\dot {\mathbf {m} }}(t)=A\mathbf {m} (t)+Bu(t),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left[a\right]_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}},\\B&=\left[b\right]_{i}\in \mathbb {R} ^{d\times 1}{\text{,}}\quad &&b_{i}=(2i+1)(-1)^{i}.\end{aligned}}}$$

この場合、過去の時間単位にわたるのスライディングウィンドウは、の時点における の要素で重み付けされた最初のシフトされたルジャンドル多項式の線形結合によって最もよく近似されます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbf {m} }$${\displaystyle t}$$${\displaystyle u(t-\theta ')\approx \sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde {P}}_{\ell }\left({\frac {\theta '}{\theta }}\right)\,m_{\ell }(t),\quad 0\leq \theta '\leq \theta .}$$

これらのネットワークは、ディープラーニング手法と組み合わせることで、より少ない計算リソースで、長期短期記憶ユニットや関連アーキテクチャよりも優れたパフォーマンスを発揮するようにトレーニングすることができます。 ^[5]

ルジャンドル多項式は明確な偶奇性を持つ。つまり、それらは偶数か奇数かであり、^[6]によれば、 $${\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)\,.}$$

もう1つの有用な特性は、 との直交関係を考慮すると となることです。これは、関数または実験データを近似するためにルジャンドル級数を使用するときに便利です。区間[−1, 1]での級数の平均は、単に主要な展開係数 で与えられます。 $${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)\,dx=0{\text{ for }}n\geq 1,}$$${\displaystyle P_{0}(x)=1}$${\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}$${\displaystyle a_{0}}$

微分方程式と直交性はスケーリングに依存しないため、ルジャンドル多項式の定義は「標準化」（「正規化」と呼ばれることもありますが、実際のノルムは1ではありません）され、 $${\displaystyle P_{n}(1)=1\,.}$$

終点における導関数は次のように与えられる。 $${\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}$$

ルジャンドル多項式に対するアスケイ・ガスパー不等式は次のように なる。$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\quad {\text{for }}\quad x\geq -1\,.}$$

単位ベクトルのスカラー積のルジャンドル多項式は、 を用いて 球面調和関数で展開することができます。 ここで、単位ベクトルrとr ′ は、それぞれ球面座標( θ , φ )と( θ ′, φ ′)を持ちます。 $${\displaystyle P_{\ell }\left(r\cdot r'\right)={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,,}$$

^{2つのルジャンドル多項式[7]} の積。 ここでは第一種完全楕円積分である。 $${\displaystyle \sum _{p=0}^{\infty }t^{p}P_{p}(\cos \theta _{1})P_{p}(\cos \theta _{2})={\frac {2}{\pi }}{\frac {\mathbf {K} \left(2{\sqrt {\frac {t\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}}{t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\right)}{\sqrt {t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\,,}$$${\displaystyle K(\cdot )}$

上で述べたように、ルジャンドル多項式は、ボネの再帰式として知られる3項再帰関係に従う。 これは、 および または、別の表現で、端点でも成り立つ。 $${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}$$$${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\,.}$$

ルジャンドル多項式の積分に便利なのは $${\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){\bigr )}\,.}$$

上記から、または 同等に、 ‖ P _n ‖は区間−1 ≤ x ≤ 1上のノルムである ことがわかる。$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1{\bigr )}P_{n-4}(x)+\cdots }$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\|P_{n}\right\|^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\|P_{n-2}\right\|^{2}}}+\cdots }$$ $${\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}{\bigl (}P_{n}(x){\bigr )}^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}\,.}$$

漸近的には、に対して、ルジャンドル多項式は^[8]および₁ より大きい引数に対して^[9]と表すことができます。 ここで、_J0 、 J1 、およびI0_はベッセル関数です。 ${\displaystyle \ell \to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \left(\theta \right)}}}\left\{J_{0}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}-{\frac {\left({\frac {1}{\theta }}-\cot \theta \right)}{8(\ell +{\frac {1}{2}})}}J_{1}{\left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right]}\right\}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-2}\right)\\[1ex]&={\sqrt {\frac {2}{\pi \ell \sin \left(\theta \right)}}}\cos \left[\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\tfrac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }\left(\cosh \xi \right)&={\sqrt {\frac {\xi }{\sinh \xi }}}I_{0}\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\xi \right)\left(1+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\right)\,,\\P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\end{aligned}}}$$

のすべての零点は実数で、互いに異なり、区間 内にあります。さらに、これらを区間を部分区間に分割するものと見なすと、各部分区間には の零点が正確に 1 つ含まれます。これはインターレース特性として知られています。パリティ特性により、 がの零点であれば も の零点であることは明らかです。これらの零点は、ガウス積分法に基づく数値積分で重要な役割を果たします。 に基づく特定の積分法は、ガウス・ルジャンドル積分法として知られています。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle P_{n+1}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle -x_{k}}$${\displaystyle P_{n}}$

この性質と という事実から、 はにおいて極小値と極大値を持つことがわかります。同様に、は においてゼロを持ちます。 ${\displaystyle P_{n}(\pm 1)\neq 0}$${\displaystyle P_{n}(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle dP_{n}(x)/dx}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (-1,1)}$

パリティと正規化により、境界における値は次のように 表される。 原点においては、値は次のように表される。 ${\displaystyle x=\pm 1}$$${\displaystyle P_{n}(1)=1\,,\quad P_{n}(-1)=(-1)^{n}}$$${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}}}{\frac {(2n)!}{\left(n!\right)^{2}}}=(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}$$$${\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}$$

シフトされたルジャンドル多項式は次のように定義されます。 ここで、「シフト」関数x ↦ 2 x − 1は、区間[0, 1]を区間[−1, 1]に全単射にマッピングするアフィン変換であり、多項式P̃ _n ( x )が[0, 1]上で直交することを意味します。 $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,.}$$$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\widetilde {P}}_{m}(x){\widetilde {P}}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}\,.}$$

シフトされたルジャンドル多項式の明示的な表現は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}\,.}$$

シフトされたルジャンドル多項式に対する ロドリゲスの公式の類似は$${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2}-x\right)^{n}\,.}$$

最初のいくつかのシフトされたルジャンドル多項式は次のとおりです。

ルジャンドル有理関数は、[0, ∞) 上の直交関数の列です。ルジャンドル有理関数はケーリー変換とルジャンドル多項式を組み合わせることで得られます。

n次の有理ルジャンドル関数は次のように定義されます。 $${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\,.}$$

これらは、特異シュトゥルム・リウヴィル問題の固有関数であり、 固有値は$${\displaystyle \left(x+1\right){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left[\left(x+1\right)v(x)\right]\right)+\lambda v(x)=0}$$$${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,.}$$