ラプラス・ベルトラミ演算子

微分幾何学において、ラプラス・ベルトラミ作用素は、ユークリッド空間の部分多様体、さらに一般的にはリーマン多様体と擬リーマン多様体上で定義された関数へのラプラス作用素の一般化である。ピエール＝シモン・ラプラスとエウジェニオ・ベルトラミにちなんで名付けられている。

ユークリッド空間R ⁿ上で定義された任意の2回微分可能な実数値関数fに対して、ラプラス作用素（ラプラシアンとも呼ばれる）は、f をその勾配ベクトル場の発散、すなわち R n の正規直交基底の各ベクトルに対する f の n 個の純粋な2次導関数の和にします^。ラプラシアンと同様に、ラプラス・ベルトラミ作用素は勾配の発散として定義され、関数を関数に取り込む線型作用素です。この作用素は、共変導関数の発散としてテンソルに作用するように拡張できます。あるいは、この作用素は、発散と外微分を使用して微分形式に作用するように一般化できます。結果として得られる作用素は、ラプラス・ド・ラム作用素（ジョルジュ・ド・ラムにちなんで名付けられました）と呼ばれます。

ラプラス・ベルトラミ演算子は、ラプラス演算子と同様に、（リーマン）勾配の（リー​​マン）発散です。

${\displaystyle \Delta f={\rm {div}}(\nabla f).}$

ローカル座標での明示的な式が可能です。

まず、 M が有向 リーマン多様体であると仮定する。この有向性により、有向座標系x ⁱで 与えられるM上の明確な体積形式を指定できる。

${\displaystyle \operatorname {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

ここで、| g | := |det( g _ij )| は計量テンソルの行列式の絶対値であり、dx ^{i は}フレームの 双対フレームを形成する1形式である。

${\displaystyle \partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

接線バンドルの であり、ウェッジ積です。 ${\displaystyle TM}$${\displaystyle \wedge}$

多様体上のベクトル場の発散は、次の性質を持つ スカラー関数として定義される。${\displaystyle X}$${\displaystyle \nabla \cdot X}$

${\displaystyle (\nabla \cdot X)\operatorname {vol} _{n}:=L_{X}\operatorname {vol} _{n}}$

ここでL _{X は}ベクトル場Xに沿ったリー微分である。局所座標では、

${\displaystyle \nabla \cdot X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right)}$

ここで、以下ではアインシュタイン表記法が暗黙的に適用され、繰り返されるインデックスiが合計されます。

スカラー関数ƒの勾配は、多様体上の 内積を通じて定義されるベクトル場grad fである。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle \operatorname {grad} f(x),v_{x}\rangle =df(x)(v_{x})}$

多様体の点 x の接空間 T x M の点xに固定さ_れたすべてのベクトルv _xに対して、d ƒ は関数 ƒ の外微分であり、引数v _xを取る 1 次元形式である。局所座標では、

${\displaystyle \left(\operatorname {grad} f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij}\partial _{j}f}$

ここでg ^{ij は}計量テンソルの逆成分であり、 g ^ij g _jk = δ ⁱ _kであり、 δ ⁱ _kはクロネッカーのデルタである。

勾配と発散の定義を組み合わせると、スカラー関数ƒに適用されるラプラス・ベルトラミ演算子の式は、局所座標では

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}\partial _{j}f\right).}$

Mが配向されていない場合、上記の計算は、体積形式を体積要素(形式ではなく密度) に置き換える必要があることを除いて、提示されたとおりに実行されます。勾配も発散も実際には配向の選択には依存しないため、ラプラス-ベルトラミ演算子自体はこの追加の構造に依存しません。

外微分と は、コンパクトに支えられた関数に対して、形式的随伴関数である。${\displaystyle d}$${\displaystyle -\nabla}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{M}df(X)\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}f\nabla \cdot X\operatorname {vol} _{n}}$     （証拠）

ここで最後の等式はストークスの定理の応用である。双対化すると

コンパクトに支えられたすべての関数およびに対して成り立つ。逆に、( 2 )はラプラス・ベルトラミ演算子を完全に特徴付けており、この演算子がこの性質を持つ唯一の演算子であるという意味で成り立つ。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$

結果として、ラプラス・ベルトラミ作用素は負で形式的に自己随伴であり、コンパクトに支えられた関数およびに対して、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle \int _{M}f\,\Delta h\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \operatorname {vol} _{n}=\ int _{M}h\,\Delta f\演算子名 {vol} _{n}.}$

このように定義されたラプラス・ベルトラミ演算子は正ではなく負であるため、反対の符号で定義されることがよくあります。

Mは境界のないコンパクトなリーマン多様体を表すものとする。固有値方程式を考える。

${\displaystyle -\Delta u=\lambda u,}$

ここで、 は固有値 に関連付けられた固有関数です。上で証明した自己随伴性を使用して、固有値が実数であることを示すことができます。多様体のコンパクト性により、固有値が離散的であること、さらに、特定の固有値 に関連付けられた固有関数のベクトル空間、つまり固有空間がすべて有限次元であることを示すことができます。定数関数を固有関数としてとることで、 が固有値になることに注意してください。また、部分積分を考慮したため、であることがわかります。より正確には、 を通る固有値方程式に固有関数を掛け、結果として得られる方程式を で積分すると、次のようになります(表記 を使用)。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle -\Delta }$${\displaystyle \lambda \geq 0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle M}$${\displaystyle dV=\operatorname {vol} _{n}}$

${\displaystyle -\int _{M}\Delta u\ u\ dV=\lambda \int _{M}u^{2}\ dV}$

部分積分を行うということは、左辺の項に発散定理を適用するのと同じであり、境界がない ので、${\displaystyle M}$

${\displaystyle -\int _{M}\Delta u\ u\ dV=\int _{M}|\nabla u|^{2}\ dV}$

最後の2つの式を合わせると次の式が得られます。

${\displaystyle \int _{M}|\nabla u|^{2}\ dV=\lambda \int _{M}u^{2}\ dV}$

最後の式から、 という結論が導かれます。 ${\displaystyle \lambda \geq 0}$

アンドレ・リヒネロヴィッチ^[1]の基本的な結果は、次のことを述べています。境界のないコンパクトなn次元リーマン多様体が与えられた場合、リッチ曲率が下限を満たすと 仮定します。${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)\geq \kappa g(X,X),\kappa >0,}$

ここで、は計量テンソル、 は多様体 上の任意の接ベクトルです。固有値方程式の最初の正の固有値は下限を満たします。 ${\displaystyle g(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda_{1}}$

${\displaystyle \lambda _{1}\geq {\frac {n}{n-1}}\kappa .}$

この下限は明確で、球面 上で達成されます。実際、の固有空間では は3次元であり、からまでの座標関数の制限によって張られます。球面座標 を使用すると、 2次元球面 上で次のように設定されます。${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \lambda_{1}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle (\theta ,\phi )}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$

${\displaystyle x_{3}=\cos \phi =u_{1},}$

下に示した球面ラプラシアンの式から、

${\displaystyle -\Delta _{\mathbb {S} ^{2}}u_{1}=2u_{1}}$

したがって、リヒネロヴィッチの定理の下限は少なくとも 2 次元では達成されます。

逆に、小幡守雄^[2]は、境界のないn次元コンパクトリーマン多様体が、最初の正の固有値に対して、 ${\displaystyle \lambda_{1}}$

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {n}{n-1}}\kappa ,}$

とすると、多様体はn次元球面、つまり半径 の球面に対して等長である。これらすべての主張の証明は、Isaac Chavel の著書^[3]に記載されている。類似の鋭い境界は、他の幾何学や、これらの幾何学に関連する特定の退化ラプラシアン、たとえばコンパクトなCR 多様体上のKohn ラプラシアン( Joseph J. Kohnに由来)にも当てはまる。 ^[4]におけるそのような CR 多様体の大域的埋め込みへの応用がある。${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}{\bigg (}{\sqrt {\frac {n-1}{\kappa }}}{\bigg )}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {n-1}{\kappa }}}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

ラプラス・ベルトラミ演算子は、レヴィ・チヴィタ接続に関連する反復共変微分のトレース（または縮約）を使用して記述できます。関数のヘッセ（テンソル）は対称2テンソルです。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \displaystyle {\mbox{Hess}}f\in \mathbf {\Gamma } ({\mathsf {T}}^{*}M\otimes {\mathsf {T}}^{*}M)}$、、​${\displaystyle {\mbox{Hess}}f:=\nabla ^{2}f\equiv \nabla \nabla f\equiv \nabla \mathrm {d} f}$

ここで、df は関数fの（外）微分を表します。

X _{i を}接ベクトル場の基底とする（必ずしも座標系によって誘導される必要はない）。すると、ヘスfの成分は次のように与えられる。

${\displaystyle ({\mbox{Hess}}f)_{ij}={\mbox{Hess}}f(X_{i},X_{j})=\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}f-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}f}$

これは各引数X _i、X _jについて線形なので、テンソル変換することが簡単にわかります。ラプラス・ベルトラミ演算子は、計量に関するヘッセ行列の トレース（または収縮）です。

${\displaystyle \displaystyle \Delta f:=\mathrm {tr} \nabla \mathrm {d} f\in {\mathsf {C}}^{\infty }(M)}$。

もっと正確に言えば、

${\displaystyle \displaystyle \Delta f(x)=\sum _{i=1}^{n}\nabla \mathrm {d} f(X_{i},X_{i})}$、

あるいは指標の観点から

${\displaystyle \Delta f=\sum _{ij}g^{ij}({\mbox{Hess}}f)_{ij}.}$

抽象インデックスでは、演算子は次のように記述されることが多い。

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{a}\nabla _{a}f}$

ただし、このトレースは実際にはヘッセテンソルのトレースであることが暗黙的に理解されているものとします。

共変微分は任意のテンソルに正準拡張されるので、テンソルT上 で定義されるラプラス・ベルトラミ演算子は

${\displaystyle \Delta T=g^{ij}\left(\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}T-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}T\right)}$

明確に定義されています。

より一般的には、擬リーマン多様体上の微分形式の束の切断上のラプラス微分作用素を定義することができる。リーマン多様体上では楕円型作用素であり、ローレンツ多様体上では双曲型作用素である。ラプラス・ド・ラーム作用素は次のように定義される。

${\displaystyle \Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2},\;}$

ここでdは外微分または微分、δは共微分であり、 k形式上で(−1) ^{kn + n +1} ∗d∗として作用する。ここで∗はホッジスターである。1次の演算子はホッジ–ディラック演算子である。^[5]${\displaystyle \mathrm {d} +\delta }$

スカラー関数f上のラプラス・ド・ラーム演算子を計算する場合、δf = 0となるので、

${\displaystyle \Delta f=\delta \,\mathrm {d} f.}$

全体の符号を除けば、ラプラス・ド・ラム演算子は、スカラー関数に作用する場合、ラプラス・ベルトラミ演算子の以前の定義と同等です。詳細については証明を参照してください。関数に対して、ラプラス・ド・ラム演算子は実際にはラプラス・ベルトラミ演算子の負です。これは、共微分の従来の正規化により、ラプラス・ド・ラム演算子が（形式的に）正定値 になることが保証されるのに対し、ラプラス・ベルトラミ演算子は通常負になるためです。符号は単なる慣例であり、どちらも文献では一般的です。ラプラス・ド・ラム演算子は、歪対称テンソルに作用するように制限されたテンソルラプラシアンとは大きく異なります。偶発的な符号は別として、2 つの演算子は、リッチ曲率テンソル を明示的に含むワイツェンベック恒等式によって異なります。

ラプラス・ベルトラミ演算子の多くの例は明示的に解くことができます。

ユークリッド空間上の通常の（直交）直交座標系 x ⁱでは、計量はクロネッカーデルタに簡約され、したがって となる。したがって、この場合、 ${\displaystyle |g|=1}$

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}{\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f=\partial _{i}\partial ^{i}f}$

これは通常のラプラシアンです。球面座標や円筒座標などの曲線座標では、別の表現が得られます。

同様に、符号(− + + +)を持つミンコフスキー計量に対応するラプラス・ベルトラミ演算子はダランベルシアンである。

球面ラプラシアンは、断面曲率1の標準計量を持つ( n −1)球面上のラプラス・ベルトラミ作用素である。球面を原点を中心とする単位球面としてRnに^等長的に埋め込まれていると見なすと便利である。すると、 Sn ^{− 1}上の関数fに対して、球面ラプラシアンは次のように定義される。

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f(x)=\Delta f(x/|x|)}$

ここで、f ( x /| x |) は関数fのR ⁿ − {0}への0 次同次拡張であり 、周囲のユークリッド空間のラプラシアンです。具体的には、球面極座標におけるユークリッドラプラシアンのよく知られた公式によってこれが示されます。 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta f=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{n-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}f.}$

より一般的には、正規バンドルを使用して同様のトリックを定式化し、ユークリッド空間の超曲面として等長的に埋め込まれた任意のリーマン多様体のラプラス-ベルトラミ演算子を定義することができます。

通常の座標系における球面上のラプラス・ベルトラミ作用素の本質的な記述を与えることもできる。( ϕ , ξ )を、球面の特定の点p (「北極」)に対する球面座標、つまりpに関する測地極座標とする。ここでϕ はpからの単位速度測地線に沿った緯度測定を表し、ξ はS ^{n −1}における測地線の方向の選択を表すパラメータである。すると、球面ラプラシアンは次の形式になる。

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f(\xi ,\phi )=(\sin \phi )^{2-n}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left((\sin \phi )^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}\Delta _{\xi }f}$

ここで、通常の単位( n − 2)球面上のラプラス・ベルトラミ演算子です。特に、極座標の標準表記法を使用した通常の 2 球面の場合、次の式が得られます。 ${\displaystyle \Delta _{\xi }}$

${\displaystyle \Delta _{S^{2}}f(\theta ,\phi )=(\sin \phi )^{-1}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(\sin \phi {\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f}$

同様の手法は双曲空間でも適用できる。ここで双曲空間H ^{n −1}は、 2次形式

${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}.}$

このときH ^{n は}ミンコフスキー空間における未来の零円錐の部分集合であり、

${\displaystyle H^{n}=\{x\mid q(x)=1,x_{1}>1\}.\,}$

それから

${\displaystyle \Delta _{H^{n-1}}f=\left.\Box f\left(x/q(x)^{1/2}\right)\right|_{H^{n-1}}}$

ここで、はfの未来ヌル円錐の内部への0次同次拡張であり、 □は波動演算子である。${\displaystyle f(x/q(x)^{1/2})}$

${\displaystyle \Box ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}-\cdots -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}.}$

演算子は極座標でも記述できます。( t , ξ )をH ^{n −1}の特定の点p (たとえば、ポアンカレ円板の中心)に関する球面上の球面座標とします。ここでt はpからの双曲距離を表し、ξ はS ^{n −2}における測地線の方向の選択を表すパラメータです。双曲ラプラシアンは次の形式になります。

${\displaystyle \Delta _{H^{n-1}}f(t,\xi )=\sinh(t)^{2-n}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\sinh(t)^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)+\sinh(t)^{-2}\Delta _{\xi }f}$

ここで、通常の単位 ( n − 2) 球面上のラプラス・ベルトラミ演算子です 。特に、極座標の標準表記法を使用した双曲平面では、次の式が得られます。 ${\displaystyle \Delta _{\xi }}$

${\displaystyle \Delta _{H^{2}}f(r,\theta )=\sinh(r)^{-1}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(\sinh(r){\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+\sinh(r)^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f}$

• 共変微分
• 微分幾何学におけるラプラシアン演算子
• ラプラス演算子

• フランダース、ハーレー（1989）、微分形式と物理科学への応用、ドーバー、ISBN 978-0-486-66169-8
• ヨスト、ユルゲン（2002）、リーマン幾何学と幾何学解析、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-42627-2。
• Solomentsev, ED; Shikin, EV (2001) [1994]、「ラプラス・ベルトラミ方程式」、数学百科事典、EMS Press