関連ルジャンドル多項式

数学において、関連するルジャンドル多項式は、一般ルジャンドル微分方程式の標準解である。

$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$

または同等に

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)\right]+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$

ここで、添え字ℓとm (整数) は、それぞれ関連ルジャンドル多項式の次数と次数と呼ばれます。この方程式は、ℓとmが0 ≤ m ≤ ℓ を満たす整数である場合、または自明に同等の負の値を持つ場合に限り、 [ −1, 1 ]上で非特異な非ゼロ解を持ちます。さらにmが偶数の場合、この関数は多項式になります。m がゼロで ℓ が整数の場合、これらの関数はルジャンドル多項式と同一です。一般に、ℓとmが整数の場合、正則解は、 mが奇数の場合には多項式ではないにもかかわらず、「関連ルジャンドル多項式」と呼ばれることがあります。ℓとmが任意の実数または複素数である関数の完全な一般クラスは、ルジャンドル関数です。この場合、パラメータは通常ギリシャ文字でラベル付けされます。

ルジャンドル常微分方程式は、物理学をはじめとする様々な技術分野で頻繁に登場します。特に、球面座標系におけるラプラス方程式（および関連する偏微分方程式）を解く際に現れます。関連ルジャンドル多項式は、球面調和関数の定義において重要な役割を果たします。

これらの関数は次のように表記されます。${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}$ここで、上付き文字はPの次数を示し、べき乗ではありません。最も直接的な定義は、通常のルジャンドル多項式( m ≥ 0)の導関数によるものです。

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right),}$$

この式の(−1) ^m因子は、コンドン–ショートリー位相として知られています。一部の著者はこれを省略しています。この方程式で記述される関数が、指定されたパラメータℓとmの値を持つ一般ルジャンドル微分方程式を満たすことは、P _ℓのルジャンドル方程式をm回微分することによってわかります。^{[ 1 ]}$$\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}$$

さらに、ロドリゲスの公式によれば、 $${\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell$$ !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],} P m ^ℓ_は次の形式で表すことができます。 $${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell$$ !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}

この式により、 mの範囲を− ℓ ≤ m ≤ ℓに拡張できます。この式に± mを代入して得られるP _ℓ ^{± m}の定義は比例関係にあります。実際、左辺と右辺の同じべき乗の係数を等しくすると、 $${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}$$ すると比例定数は次のようになる。 $${\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}$$ となることによって $${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).}$$

関連ルジャンドル多項式は一般に互いに直交しません。例えば、${\displaystyle P_{1}^{1}}$は直交しない${\displaystyle P_{2}^{2}}$ただし、一部の部分集合は直交しています。0  ≤ m ≤ ℓと仮定すると、固定されたmに対して直交条件を満たします。   

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$

ここで、δ _{k , ℓ}はクロネッカーのデルタです。

また、固定されたℓに対して直交条件を満たす。

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$

微分方程式は、 mの符号の変化に対して明らかに不変である。

負のmに対する関数は、正のmに対する関数に比例することが上記で示されました。 $${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$$

（これはロドリゲスの公式の定義に基づくものである。この定義により、様々な漸化式は正または負のmに対して適用可能となる。） $${\displaystyle {\text{If}}\quad |m|>\ell \,\quad {\text{then}}\quad P_{\ell }^{m}=0.\,}$$

微分方程式は、 ℓから−ℓ − 1への変化に対しても不変であり、負のℓに対する関数は次のように定義される。

$${\displaystyle P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,\dots ).}$$

定義から、関連ルジャンドル関数は偶関数か奇関数かが確認できる。

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell -m}P_{\ell }^{m}(x)}$$

負の値のmに対するものも含め、最初のいくつかの関連ルジャンドル関数は次のとおりです。

$${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{2}}P_{1}^{1}(x)\\P_{1}^{0}(x)&=x\\P_{1}^{1}(x)&=-(1-x^{2})^{1/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{24}}P_{2}^{2}(x)\\P_{2}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{6}}P_{2}^{1}(x)\\P_{2}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\P_{2}^{1}(x)&=-3x(1-x^{2})^{1/2}\\P_{2}^{2}(x)&=3(1-x^{2})\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{720}}P_{3}^{3}(x)\\P_{3}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{120}}P_{3}^{2}(x)\\P_{3}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{12}}P_{3}^{1}(x)\\P_{3}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\P_{3}^{1}(x)&={\tfrac {3}{2}}(1-5x^{2})(1-x^{2})^{1/2}\\P_{3}^{2}(x)&=15x(1-x^{2})\\P_{3}^{3}(x)&=-15(1-x^{2})^{3/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}^{-4}(x)&={\tfrac {1}{40320}}P_{4}^{4}(x)\\P_{4}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{5040}}P_{4}^{3}(x)\\P_{4}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{360}}P_{4}^{2}(x)\\P_{4}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{20}}P_{4}^{1}(x)\\P_{4}^{0}(x)&={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\P_{4}^{1}(x)&=-{\tfrac {5}{2}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}\\P_{4}^{2}(x)&={\tfrac {15}{2}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})\\P_{4}^{3}(x)&=-105x(1-x^{2})^{3/2}\\P_{4}^{4}(x)&=105(1-x^{2})^{2}\end{aligned}}}$$

これらの関数には、いくつかの再帰特性があります。

$${\displaystyle (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)-P_{\ell -1}^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (\ell -m-1)(\ell -m)P_{\ell }^{m}(x)=-P_{\ell }^{m+2}(x)+P_{\ell -2}^{m+2}(x)+(\ell +m)(\ell +m-1)P_{\ell -2}^{m}(x)}$$

有用な識別子（最初の再帰の初期値）：

$${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)}$$$${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(\ell /2)}}$$$${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}$$

!!は二重階乗です。

3 つの関連するルジャンドル多項式の積 (次数が以下に示すように一致する) の積の積の積は、ルジャンドル多項式の積をルジャンドル多項式に関して線形な級数に展開する際に必要な要素です。たとえば、クーロン演算子の行列要素が必要となるハートリー・フォック型の原子計算を行う場合、これは必要になります。このために、ガウントの公式^{[ 4 ] [ 5 ]があります。}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l}^{u}(x)P_{m}^{v}(x)P_{n}^{w}(x)dx={}&{}(-1)^{s-m-w}{\frac {(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}}\\&{}\times \ \sum _{t=p}^{q}(-1)^{t}{\frac {(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}}\end{aligned}}}$$ この式は、以下の前提条件の下で使用してください。

1. 次数は非負の整数である${\displaystyle l,m,n\geq 0}$
2. 3つの順序はすべて非負の整数です。${\displaystyle u,v,w\geq 0}$
3. ${\displaystyle u}$3つの目の中で最大である
4. 命令をまとめると${\displaystyle u=v+w}$
5. 度数は従う${\displaystyle m\geq n}$

式に現れるその他の量は次のように定義される。 $${\displaystyle 2s=l+m+n}$$$${\displaystyle p=\max(0,\,n-m-u)}$$$${\displaystyle q=\min(m+n-u,\,l-u,\,n-w)}$$

積分は、

1. 度数の合計は偶数なので、${\displaystyle s}$整数です
2. 三角形条件が満たされている${\displaystyle m+n\geq l\geq m-n}$

DongとLemus（2002）^{[ 6 ]}は、この公式の導出を任意の数の関連ルジャンドル多項式の積の積分に一般化した。

これらの関数は、実際には一般的な複素パラメータと引数に対して定義される可能性があります。^{[ 7 ]}

$${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu$$ ;{\frac {1-z}{2}})}

どこ${\displaystyle \Gamma }$はガンマ関数であり、${\displaystyle _{2}F_{1}}$は超幾何関数である

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(\alpha ,\beta$$ ;\gamma ;z)={\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+\beta )}{\Gamma (n+\gamma )\ n!}}z^{n},}

このようにより一般的な方法で定義されると、それらはルジャンドル関数と呼ばれます。それらは以前と同じ微分方程式を満たします。

$${\displaystyle (1-z^{2})\,y''-2zy'+\left(\lambda [\lambda +1]-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right)\,y=0.\,}$$

これは2階微分方程式なので、2つ目の解があります。${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$定義：

$${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {1}{z^{\lambda +\mu +1}}}(1-z^{2})^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$$

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)}$そして${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$どちらも、先に述べた様々な漸化式に従う。

これらの関数は、引数が角度に関して再パラメータ化されている場合に最も役立ちます。${\displaystyle x=\cos \theta }$:

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)}$$

関係性を利用する${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }$上記のリストから、次のようにパラメータ化された最初のいくつかの多項式が得られます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}$$

上記の直交関係は、この定式化では次のようになる。固定されたmに対して、${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$は直交しており、θでパラメータ化されている。${\displaystyle [0,\pi ]}$重量${\displaystyle \sin \theta }$:

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$

また、固定されたℓの場合：

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$

θに関して言えば、${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$は

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$

より正確には、整数mが与えられた場合${\displaystyle \geq }$0の場合、上記の方程式は、次の場合にのみ非特異解を持ちます。${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)\,}$ℓは 整数でm以上であり、これらの解は  ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$。

物理学では、球対称が関係する多くの場面で、角度に関するルジャンドル多項式が現れる。球座標における余緯度は、角度である。${\displaystyle \theta }$上記で使用。経度角、${\displaystyle \phi }$は乗数として現れます。これらを合わせると、球面調和関数と呼ばれる関数群になります。これらの関数は、リー群SO(3)の作用下における2次元球面の対称性を表します。

これらの関数が有用な理由は、方程式の解を求める上で中心的な役割を果たすからである。 ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$球面上において。球面座標θ（余緯度）とφ（経度）では、ラプラシアンは

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}.}$$

偏微分方程式

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \psi =0}$$

変数分離法によって解くと、φに依存する部分が得られる。${\displaystyle \sin(m\phi )}$または${\displaystyle \cos(m\phi )}$整数m≥0の場合、およびθ依存部分の式

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$

その解決策は${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$と${\displaystyle \ell {\geq }m}$ そして${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$。

したがって、方程式

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$$

非特異分離解を持つのは、${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$、そしてそれらの解は

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\ \ \ \ 0\leq m\leq \ell }$$

そして

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\ \ \ \ 0<m\leq \ell .}$$

ℓのそれぞれの選択に対して、 mの様々な値と正弦関数および余弦関数の選択に対応する関数が2ℓ + 1個存在する。これらの関数はすべて、球面上で積分すると、ℓとm の両方に関して直交する。

解は通常、複素指数関数を用いて表される。

$${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell .}$$ 機能${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$は球面調和関数であり、平方根の中の量は正規化係数です。正と負のmの関連ルジャンドル関数の関係を思い出すと、球面調和関数が恒等式^{[ 8 ]}を満たすことが容易に示されます。

$${\displaystyle Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\phi ).}$$

球面調和関数は、フーリエ級数の意味で完全な正規直交関数系を形成します。測地学、地磁気学、スペクトル解析の分野の研究者は、ここで示されているものとは異なる位相と正規化係数を使用します（球面調和関数を参照）。

球面座標系における変数分離法を用いて3次元球対称偏微分方程式を解くと、半径方向の項を取り除いた後に残る部分は、通常、次の形式となる。

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\theta ,\phi )+\lambda \psi (\theta ,\phi )=0,}$$

したがって、解は球面調和関数となる。

ルジャンドル多項式は超幾何級数と密接に関係している。球面調和関数の形で表すと、リー群SO(3)の作用下における2次元球面の対称性を表す。SO(3)以外にも多くのリー群が存在し、半単純リー群やリーマン対称空間の対称性を表すために、ルジャンドル多項式の類似の一般化が存在する。大まかに言えば、対称空間上にラプラシアンを定義することができ、ラプラシアンの固有関数は、球面調和関数を他の設定に一般化したものと考えることができる。

高次元のラプラス方程式を解くことで（${\displaystyle \sim 1/r}$3次元を超える次元のルジャンドル多項式を定義することができる。^{[ 9 ]}

• 角運動量
• ガウス求積法
• ルジャンドル多項式
• 球面調和関数
• ウィップルのルジャンドル関数の変換
• ラゲール多項式
• エルミート多項式

• Arfken, GB; Weber, HJ (2001), Mathematical methods for physicists , Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0セクション12.5。（異なる符号規則を使用する。）
• Belousov, SL (1962)、「正規化された関連ルジャンドル多項式の表」、数学表、第 18巻、パーガモン・プレス。
• コンドン、EU；ショートリー、GH（1970）、『原子スペクトルの理論』、ケンブリッジ、イングランド：ケンブリッジ大学出版局、OCLC 5388084 第3章
• クーラント、リチャード；ヒルベルト、デイヴィッド（1953）、『数理物理学の方法』第1巻、ニューヨーク：インターサイエンス・パブリッシャーズ社。
• Dunster, TM (2010)、「ルジャンドル関数と関連関数」、Olver, Frank WJ、Lozier, Daniel M.、Boisvert, Ronald F.、Clark, Charles W. (編)、NIST 数学関数ハンドブック、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ 。
• エドモンズ、AR（1957）、『量子力学における角運動量』、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-07912-7{{citation}}: ISBN / 日付の不一致 (ヘルプ) ; 第 2 章。
• Gaunt, JA (1929). "IV. ヘリウムの三重項" . Phil. Trans. Royal Soc. A . 228 ( 659– 669): 151– 196. doi : 10.1098/rsta.1929.0004 .
• ヒルデブランド、FB（1976）、『応用のための高度な微積分』、プレンティスホール、ISBN 978-0-13-011189-0。
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010)、「直交多項式」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編)、NIST 数学関数ハンドブック、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ 。
• Schach, SR (1976). "整数位数と次数を持つルジャンドル関連関数の新しい恒等式". SIAM J. Math. Anal . 7 (1): 59–69 . doi : 10.1137/0507007 .

• MathWorldにおける関連ルジャンドル多項式
• MathWorldにおけるルジャンドル多項式
• DLMFにおけるルジャンドル関数および関連関数