ルジャンドル多項式

数学において、ルジャンドル多項式は、一般ルジャンドル方程式の標準解である。

$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$

または同等

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)\right]+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$

ここで、添え字ℓとm (整数) は、それぞれルジャンドル多項式の次数と位数と呼ばれます。この方程式は、ℓとm が0 ≤ m ≤ ℓの整数であるか、自明に同値な負の値である場合に限り、 [−1, 1]上で非特異な非ゼロ解を持ちます。さらにmが偶数の場合、関数は多項式です。mが 0 でℓ が整数の場合、これらの関数はルジャンドル多項式と同一です。一般に、ℓ と m が整数の場合、正規解はmが奇数のときは多項式ではありませんが、「ルジャンドル多項式」と呼ばれることがあります。ℓ と mの任意の実数値または複素数値を持つ関数の完全に一般的なクラスは、ルジャンドル関数です。その場合、パラメータは通常ギリシャ文字でラベル付けされます。

ルジャンドル常微分方程式は、物理学やその他の技術分野で頻繁に登場します。特に、球面座標でラプラス方程式(および関連する偏微分方程式)を解くときに発生します。ルジャンドル多項式は、球面調和関数の定義において重要な役割を果たします。

これらの関数は と表記され、上付き文字はPのべき乗ではなく次数を示す。最も簡単な定義は、通常のルジャンドル多項式（m ≥ 0） の導関数である。${\displaystyle P_{\ell}^{m}(x)}$

$${\displaystyle P_{\ell}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell}(x)\right),}$$

この式の(−1) ^m因子はコンドン・ショートリー位相として知られている。著者によっては省略している。この式で記述される関数が、パラメータℓとmの指定された値を持つ一般ルジャンドル微分方程式を満たすことは、_{ルジャンドル}方程式をPℓについてm回微分することによってわかる。^[1] $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}$$

さらに、ロドリゲスの公式によれば、 P$${\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}$$^メートル
_リットルという形で表現できる。 $${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2}) ^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}$$

この式により、 mの範囲を次のように拡張できます: − ℓ ≤ m ≤ ℓ 。この式に± mを代入して得られるP _ℓ ^{± m}の定義は比例的です。確かに、の左辺と右辺の等指数の係数を等しくする と、比例定数は 次のように なります。$${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}$$$${\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}$$$${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\エル }^{m}(x).}$$

文献では以下の代替表記も使用されている: ^[2] $${\displaystyle P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)}$$

ルジャンドル多項式は、 単純な単項式と二項係数の一般化された形式を使用して次のように記述することもできます。 ^{[引用が必要]} $${\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}\cdot 2^{l}\cdot (1-x^{2})^{m/2}\cdot \sum _{k=m}^{l}{\frac {k!}{(km)!}}\cdot x^{km}\cdot {\binom {l}{k}}{\binom {\frac {l+k-1}{2}}{l}}}$$

ルジャンドルの従属多項式は一般に互いに直交しません。たとえば、は と直交しません。ただし、一部のサブセットは直交します。 0 ≤  m  ≤  ℓと仮定すると、それらはm を固定した場合の直交条件を満たします。 ${\displaystyle P_{1}^{1}}$${\displaystyle P_{2}^{2}}$

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$

ここでδ _{k , ℓ は}クロネッカーのデルタです。

また、これらはℓを固定した場合の直交条件を満たす。

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$

微分方程式は、 mの符号の変化に対して明らかに不変です。

負のmに対する関数は正のmに対する関数に比例することが上で示されました。 $${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^ {m}}$$

(これはロドリゲスの公式の定義に由来する。この定義により、さまざまな漸化式が正または負のmに対しても機能するようになる。) $${\displaystyle {\text{If}}\quad |m|>\ell \,\quad {\text{then}}\quad P_{\ell }^{m}=0.\,}$$

この微分方程式はℓから−ℓ − 1への変化に対しても不変であり、ℓが負の場合の関数は次のように定義される。

$${\displaystyle P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,\dots ).}$$

定義から、ルジャンドル関数は偶数か奇数かが次のように表せることが分かる。

$${\displaystyle P_{\ell}^{m}(-x)=(-1)^{\ell -m}P_{\ell}^{m}(x)}$$

mが負の値の場合も含め、最初のいくつかのルジャンドル関数は次のようになります。

$${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{2}}P_{1}^{1}(x)\\P_{1}^{0}(x)&=x\\P_{1}^{1}(x)&=-(1-x^{2})^{1/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{24}}P_{2}^{2}(x)\\P_{2}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{6}}P_{2}^{1}(x)\\P_{2}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\P_{2}^{1}(x)&=-3x(1-x^{2})^{1/2}\\P_{2}^{2}(x)&=3(1-x^{2})\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{720}}P_{3}^{3}(x)\\P_{3}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{120}}P_{3}^{2}(x)\\P_{3}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{12}}P_{3}^{1}(x)\\P_{3}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\P_{3}^{1}(x)&={\tfrac {3}{2}}(1-5x^{2})(1-x^{2})^{1/2}\\P_{3}^{2}(x)&=15x(1-x^{2})\\P_{3}^{3}(x)&=-15(1-x^{2})^{3/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}^{-4}(x)&={\tfrac {1}{40320}}P_{4}^{4}(x)\\P_{4}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{5040}}P_{4}^{3}(x)\\P_{4}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{360}}P_{4}^{2}(x)\\P_{4}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{20}}P_{4}^{1}(x)\\P_{4}^{0}(x)&={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\P_{4}^{1}(x)&=-{\tfrac {5}{2}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}\\P_{4}^{2}(x)&={\tfrac {15}{2}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})\\P_{4}^{3}(x)&=-105x(1-x^{2})^{3/2}\\P_{4}^{4}(x)&=105(1-x^{2})^{2}\end{aligned}}}$$

これらの関数には、いくつかの繰り返しプロパティがあります。

$${\displaystyle (\ell -m-1)(\ell -m)P_{\ell }^{m}(x)=-P_{\ell }^{m+2}(x)+P_{\ell -2}^{m+2}(x)+(\ell +m)(\ell +m-1)P_{\ell -2}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)-P_{\ell -1}^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

役に立つアイデンティティ（最初の再帰の初期値）:

$${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)}$$ $${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(\ell /2)}}$$ $${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}$$

二重階乗 で!!

3 つのルジャンドル多項式 (次数が同じ) の積の積分は、ルジャンドル多項式の積をルジャンドル多項式の線型級数に展開するときに必要な要素です。たとえば、クーロン演算子の行列要素が必要なハートリー・フォック多様体の原子計算を行うときにこれが必要になります。これには、ゴーントの公式^[3]があります。 この公式は、次の仮定の下で使用されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l}^{u}(x)P_{m}^{v}(x)P_{n}^{w}(x)dx={}&{}(-1)^{s-m-w}{\frac {(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}}\\&{}\times \ \sum _{t=p}^{q}(-1)^{t}{\frac {(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}}\end{aligned}}}$$

1. 度数は負でない整数である${\displaystyle l,m,n\geq 0}$
2. 3つの順序はすべて非負の整数である${\displaystyle u,v,w\geq 0}$
3. ${\displaystyle u}$3つの秩序の中で最大の秩序である
4. 注文は合計すると${\displaystyle u=v+w}$
5. 度合いは従う${\displaystyle m\geq n}$

式に現れる他の量は次のように定義される。 $${\displaystyle 2s=l+m+n}$$ $${\displaystyle p=\max(0,\,n-m-u)}$$ $${\displaystyle q=\min(m+n-u,\,l-u,\,n-w)}$$

積分はゼロとなる。

1. 度数の合計は偶数なので整数となる${\displaystyle s}$
2. 三角形の条件は満たされる${\displaystyle m+n\geq l\geq m-n}$

ドンとレムス（2002）^[4]は、この式の導出を、任意の数のルジャンドル多項式の積の積分に一般化した。

これらの関数は、実際には一般的な複雑なパラメータと引数に対して定義できます。

$${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}})}$$

ここで はガンマ関数であり、 は超幾何関数である。${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle _{2}F_{1}}$

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)={\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+\beta )}{\Gamma (n+\gamma )\ n!}}z^{n},}$$

より一般的な方法で定義される関数は、ルジャンドル関数と呼ばれます。ルジャンドル関数は、前と同じ微分方程式を満たします。

$${\displaystyle (1-z^{2})\,y''-2zy'+\left(\lambda [\lambda +1]-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right)\,y=0.\,}$$

これは2階微分方程式なので、2番目の解は次のように定義されます。 ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$

$${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {1}{z^{\lambda +\mu +1}}}(1-z^{2})^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$$

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)}$そして、どちらも前述のさまざまな漸化式に従います。 ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$

これらの関数は、引数が角度に関して再パラメータ化され、次のようになる場合に最も役立ちます。 ${\displaystyle x=\cos \theta }$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)}$$

関係式を使用すると、上記のリストは次のようにパラメータ化された最初のいくつかの多項式を生成します。 ${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}$$

上記の直交関係は、次のように定式化されます。mを固定すると、は直交し、 に対して θ でパラメータ化され、重みは になります。 ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle [0,\pi ]}$${\displaystyle \sin \theta }$

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$

また、ℓを固定した場合：

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$

θに関して、解は ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$

より正確には、整数m 0 が与えられた場合、上記の式は、ℓに対して 整数 ≥  mの場合にのみ特異でない解を持ち、それらの解は に比例します 。 ${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)\,}$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

物理学では、球面 対称性が関係する角度に関するルジャンドル多項式が頻繁に登場する。球面座標の余緯度角は、上で使用した角度で​​ある。経度角 は、乗数として現れる。これらは、球面調和関数と呼ばれる関数の集合を構成する。これらの関数は、リー群SO(3)の作用下での2 球面の対称性を表現する。^[要出典]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

これらの関数が便利なのは、球面上の方程式を解く上で中心的な役割を果たすからです 。球面座標θ（余緯度）とφ（経度）では、ラプラシアンは ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}.}$$

偏微分方程式

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \psi =0}$$

を変数分離法で解くと、φ依存部分または整数m≥0に対しては次式が得られる。θ依存部分については次式が 得られる。${\displaystyle \sin(m\phi )}$${\displaystyle \cos(m\phi )}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$

解はおよび です。 ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle \ell {\geq }m}$${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$

したがって、方程式

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$$

の場合にのみ非特異分離解を持ち、それらの解は ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\ \ \ \ 0\leq m\leq \ell }$$

そして

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\ \ \ \ 0<m\leq \ell .}$$

ℓの各選択に対して、 mのさまざまな値と正弦および余弦の選択に対して2ℓ + 1個の関数があります。球面上で積分すると、 それらはすべてℓとm の両方で直交します。

解は通常、複素指数で表されます。

$${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell .}$$ 関数は球面調和関数であり、平方根の量は正規化因子である。正と負のmのルジャンドル関数の関係を思い出すと、球面調和関数が恒等式を満たすことが簡単に示される^[5]${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$

$${\displaystyle Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\phi ).}$$

球面調和関数は、フーリエ級数の意味で完全な正規直交関数の集合を形成します。測地学、地磁気学、スペクトル解析の分野の研究者は、ここで示されているものとは異なる位相係数と正規化係数を使用します (球面調和関数を参照)。

3次元球対称偏微分方程式を球座標の変数分離法で解く場合、放射状部分を除いた残りの部分は典型的には次のような形になる。

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\theta ,\phi )+\lambda \psi (\theta ,\phi )=0,}$$

したがって、解は球面調和関数になります。

ルジャンドル多項式は超幾何級数と密接な関係がある。球面調和関数の形で、ルジャンドル多項式はリー群SO(3)の作用下での二球面の対称性を表現する。SO(3) 以外にも多くのリー群があり、ルジャンドル多項式の類似の一般化は半単純リー群とリーマン対称空間の対称性を表現するために存在する。大まかに言えば、対称空間上のラプラシアンを定義することができ、ラプラシアンの固有関数は球面調和関数の他の設定への一般化として考えることができる。

• 角運動量
• ガウス積分
• ルジャンドル多項式
• 球面調和関数
• ルジャンドル関数のホイップル変換
• ラゲール多項式
• エルミート多項式

• Arfken, GB; Weber, HJ (2001)、物理学者のための数学的手法、Academic Press、ISBN 978-0-12-059825-0; セクション 12.5 (異なる符号規則を使用します。)
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• コンドン、EU; ショートリー、GH (1970)、原子スペクトルの理論、ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局、OCLC  5388084; 第3章。
• クーラント、リチャード、ヒルベルト、デイヴィッド（1953）、数理物理学の方法、第1巻、ニューヨーク：インターサイエンス出版社。
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• エドモンズ、AR（1957）、量子力学における角運動量、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-07912-7; 第2章。
• ヒルデブランド、FB（1976）、応用のための高度な微積分、プレンティスホール、ISBN 978-0-13-011189-0。
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010)、「直交多項式」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
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• MathWorld の準ルジャンドル多項式
• MathWorld のルジャンドル多項式
• DLMF におけるルジャンドル関数と関連関数