球面基底

純粋数学と応用数学、特に量子力学とコンピュータグラフィックスとその応用において、球面基底は球面テンソルを表現するために使用される基底です。^{[定義が必要]}球面基底は、量子力学における角運動量 の記述と球面調和関数に密接に関連しています。

球面極座標は、極角、方位角、および半径距離を使用してベクトルとテンソルを表現するための 1 つの直交座標系ですが、球面基底は標準基底から構築され、複素数を使用します。

3次元ユークリッド空間R ³のベクトルAは、標準的な基底e _x、e _y、e _z、座標A _x、A _y、A _zで、よく知られている直交座標系で表現できます。

または、ベクトルの基底セットが関連付けられているその他の座標系。これにより、スカラーを拡張して複素数による乗算が可能になり、ではなく で作業するようになります。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

e ₊、e ₋、e ₀で示される球面基底と、この基底に関する関連座標A ₊、A ₋、A ₀では、ベクトルA は次のようになります。

ここで、球面基底ベクトルは、 xy平面上の複素数値係数を用いた直交基底によって定義することができる。^[1]

ここで、 は虚数単位を表し、 は平面に対してz方向に垂直な単位を表します。 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\mathbf {e} _{z}}$

逆の関係は次のとおりです。

3 次元空間の基底を与えることは球面テンソルの有効な定義ですが、階数が 1 の場合のみを対象としています。階数が高い場合は、球面テンソルの交換子または回転定義のいずれかを使用できます。交換子の定義は以下で示され、次の関係を満たす演算子はすべて球面テンソルです。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$$${\displaystyle [J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)}}$$ $${\displaystyle [J_{z},T_{q}^{(k)}]=\hbar qT_{q}^{(k)}}$$

球面調和関数が回転によって変換されるのと同様に、一般の球面テンソルは、状態がユニタリ ウィグナーD行列によって変換されるときに次のように変換されます。ここで、 RはSO(3)の(3×3回転)群要素です。つまり、これらの行列は回転群の要素を表します。リー代数の助けを借りて、これら2つの定義が同等であることを示すことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)T_{q}^{(k)}{\mathcal {D}}^{\dagger }(R)=\sum _{q'=-k}^{k}T_{q'}^{(k)}{\mathcal {D}}_{q'q}^{(k)}}$

球面基底の場合、座標は複素数値A ₊、A ₀、A _{−であり、(} 3B )を( 1 )に代入するか、内積⟨、⟩( 5 )から直接計算することで求めることができます。

${\displaystyle A_{0}=\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {A} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{z},\mathbf {A} \right\rangle =A_{z}}$

逆の関係:

一般に、同じ実数値の正規直交基底e _iにある複素係数を持つ2つのベクトル（ e _i · e _j = δ _ijという性質を持つ）の内積は次のようになります。

ここで、· は通常のドット積であり、複素共役* はベクトルの大きさ (または「ノルム」)を正定値に保つために使用する必要があります。

球面基底は正規直交基底である。なぜなら、すべてのペアの内積⟨, ⟩ ( 5 ) がゼロになり、基底ベクトルがすべて互いに直交することを意味するからである。

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =0}$

そして各基底ベクトルは単位ベクトルである。

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =1}$

したがって、 の正規化係数が必要になります。 ${\displaystyle 1/\!{\sqrt {2}}}$

定義関係（3A ）は変換行列 Uによって要約できる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

逆の場合:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

U はユニタリ行列であることがわかります。言い換えると、そのエルミート共役 U ^† (複素共役と行列転置) は逆行列 U ⁻¹でもあります。

座標について:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }{\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{\mathrm {*} }={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

逆も同様です:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=(\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}{\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}\,,\quad (\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

球面基底ベクトルの 外積をとると、明らかな関係が見つかります。

${\displaystyle \mathbf {e} _{q}\times \mathbf {e} _{q}={\boldsymbol {0}}}$

ここで、q は+、-、0、および 2 つのあまり明らかではない関係を表すプレースホルダーです。

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{\mp }=\pm i\mathbf {e} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{0}=\pm i\mathbf {e} _{\pm }}$

球面基底における 2 つのベクトルAとBの内積は、上記の内積の定義から次のように求められます。

${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \right\rangle =A_{+}B_{+}^{\star }+A_{-}B_{-}^{\star }+A_{0}B_{0}^{\star }}$

• ウィグナー・エッカートの定理
• ウィグナーD行列
• 3D回転グループ

• SSM Wong (2008)。核物理学入門（第2版）。John Wiley & Sons。ISBN 978-35-276-179-13。