スピン重み付き球面調和関数

数学のトピックである特殊関数において、スピン重み付き球面調和関数は標準球面調和関数の一般化であり、通常の球面調和関数と同様に球面上の関数です。通常の球面調和関数とは異なり、スピン重み付き調和関数はスカラー場ではなくU(1)ゲージ場です。数学的には、複素線束内の値を取ります。スピン重み付き調和関数は、通常の球面調和関数と同様に次数lで編成されますが、追加のU(1)対称性を反映する追加のスピン重みsを持ちます。ラプラス球面調和関数Y _lmから、調和関数の特殊基底を導くことができ、通常は_s Y _lmと表記されます。ここで、lとm は、標準ラプラス球面調和関数でおなじみの通常のパラメーターです。この特殊基底では、極軸の選択によってU(1)ゲージのあいまいさが固定されるため、スピン重み付き球面調和関数は実際の関数として現れます。スピン加重球面調和関数は、スピン上昇演算子とスピン下降演算子を適用することで標準球面調和関数から得ることができます。特に、スピン加重s = 0のスピン加重球面調和関数は、単純に標準球面調和関数です。

${\displaystyle {}_{0}Y_{lm}=Y_{lm}\ .}$

スピン重み付き球面調和関数の空間は、ローレンツ群の表現理論に関連して最初に特定されました(Gelfand、Minlos、Shapiro 1958)。その後、ニューマンとペンローズ (1966) によって独立に再発見され、重力放射の記述に適用され、さらにウーとヤン (1976) によって、ディラック単極子の研究においていわゆる「単極子調和関数」として再び適用されました。

球面S ²を3次元ユークリッド空間 R ³に埋め込まれたものとみなす。球面上の点xにおいて、 xにおける接ベクトルの正の向きの正規直交基底は、次のベクトルの ペアa、bである。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {x} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {a } =\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &=1\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {x} \cdot (\mathbf {a} \倍 \mathbf {b} )&>0,\end{aligned}}}$

ここで、最初の方程式のペアはaとbがxで接していることを述べ、2 番目の方程式のペアはaとb が単位ベクトルであることを述べ、最後から 2 番目の方程式はaとbが直交していることを述べ、最後の方程式は( x、a、b )がR ³の右手基底であることを述べます。

スピン重み関数fは、 S ²の点xとxにおける接線ベクトルの正の方向の正規直交基底を入力として受け取る関数であり、

${\displaystyle f{\bigl (}\mathbf {x} ,(\cos \theta )\mathbf {a} -(\sin \theta )\mathbf {b} ,(\sin \theta )\mathbf {a} +(\cos \theta )\mathbf {b} {\bigr )}=e^{is\theta }f(\mathbf {x} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$

すべての回転角度θに対して。

Eastwood & Tod (1982) に従って、すべてのスピンウェイトs関数の集合をB ( s )で表す。具体的には、これらはC ² \{0 }上の関数fとして理解され、複素スケーリングの下で​​次の同次性則を満たす。

${\displaystyle f\left(\lambda z,{\overline {\lambda }}{\bar {z}}\right)=\left({\frac {\overline {\lambda }}{\lambda }}\right)^{s}f\left(z,{\bar {z}}\right).}$

sが半整数で あれば、これは意味を持ちます。

抽象的には、B ( s )は複素射影直線CP ¹上のセールツイストの正則ベクトル束O (2 s )の基となる滑らかなベクトル束と同型である。後者の束の切断はC ² \{0 } 上の関数gであり、

${\displaystyle g\left(\lambda z,{\overline {\lambda }}{\bar {z}}\right)={\overline {\lambda }}^{2s}g\left(z,{\bar {z}}\right).}$

このようなgが与えられた場合、エルミート形式の適切なべき乗を掛けることで スピン重みs関数を生成することができる。

${\displaystyle P\left(z,{\bar {z}}\right)=z\cdot {\bar {z}}.}$

具体的には、f = P ^{− s} gはスピン重みs関数です。スピン重み関数と通常の同次関数との関連は同型です。

スピンウェイトバンドルB ( s )には微分演算子 ð ( eth )が備わっている。この演算子は、適切な識別が行われた後、 本質的にはドルボー演算子である。

${\displaystyle \partial :{\overline {\mathbf {O} (2s)}}\to {\mathcal {E}}^{1,0}\otimes {\overline {\mathbf {O} (2s)}}\cong {\overline {\mathbf {O} (2s)}}\otimes \mathbf {O} (-2).}$

したがって、 f ∈ B ( s )に対して、

${\displaystyle \eth f\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ P^{-s+1}\partial \left(P^{s}f\right)}$

スピン重みs + 1の関数を定義します。

従来の球面調和関数が球面上のラプラス-ベルトラミ演算子の固有関数であるのと同様に、スピン重みs調和関数は、スピン重みs関数のバンドルE ( s )に作用するラプラス-ベルトラミ演算子の固有セクションです。

スピン重み付き高調波は、球面上の点を北極として選択すると、球面上の関数として表すことができます。定義により、スピン重みsを持つ関数ηは、極の周りの回転によって次のように変換されます 。

${\displaystyle \eta \rightarrow e^{is\psi }\eta .}$

標準球面座標で作業する場合、関数ηに作用する特定の演算子ð を次のように定義できます。

${\displaystyle \eth \eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\eta \right].}$

これにより、 θとφの別の関数が得られます。(演算子ð は、実質的に球面上の 共変微分演算子です。)

新しい関数ðηの重要な特性は、 η のスピン重みがsの場合、ðη のスピン重みはs + 1になることです。したがって、演算子は関数のスピン重みを 1 増加させます。同様に、関数のスピン重みを 1 下げる 演算子ð を定義できます。

${\displaystyle {\bar {\eth }}\eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{s}\eta \right].}$

スピン重み付き球面調和関数は、通常の球面調和関数に基づいて次のように定義されます。

${\displaystyle {}_{s}Y_{lm}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {(l-s)!}{(l+s)!}}}\ \eth ^{s}Y_{lm},&&0\leq s\leq l;\\{\sqrt {\frac {(l+s)!}{(l-s)!}}}\ \left(-1\right)^{s}{\bar {\eth }}^{-s}Y_{lm},&&-l\leq s\leq 0;\\0,&&l<|s|.\end{cases}}}$

関数_s Y _{lm は}スピン重みsで変換する特性を持ちます。

その他の重要なプロパティは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\eth \left({}_{s}Y_{lm}\right)&=+{\sqrt {(l-s)(l+s+1)}}\,{}_{s+1}Y_{lm};\\{\bar {\eth }}\left({}_{s}Y_{lm}\right)&=-{\sqrt {(l+s)(l-s+1)}}\,{}_{s-1}Y_{lm};\end{aligned}}}$

高調波は球面全体にわたって直交します。

${\displaystyle \int _{S^{2}}{}_{s}Y_{lm}\,{}_{s}{\bar {Y}}_{l'm'}\,dS=\delta _{ll'}\delta _{mm'},}$

完全性関係を満たす

${\displaystyle \sum _{lm}{}_{s}{\bar {Y}}_{lm}\left(\theta ',\phi '\right){}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\delta \left(\phi '-\phi \right)\delta \left(\cos \theta '-\cos \theta \right)}$

これらの高調波は、いくつかの方法で明示的に計算できます。明らかな再帰関係は、上昇演算子または下降演算子を繰り返し適用することで生じます。直接計算の公式は、Goldberg ら (1967) によって導出されました。彼らの公式では、Condon-Shortley 位相に古い選択が使用されていることに注意してください。以下で選択した規則は、たとえば Mathematica と一致しています。

Goldberg らによる式の中で、より有用なのは次の式です。

${\displaystyle {}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\left(-1\right)^{l+m-s}{\sqrt {\frac {(l+m)!(l-m)!(2l+1)}{4\pi (l+s)!(l-s)!}}}\sin ^{2l}\left({\frac {\theta }{2}}\right)e^{im\phi }\times \sum _{r=0}^{l-s}\left(-1\right)^{r}{l-s \choose r}{l+s \choose r+s-m}\cot ^{2r+s-m}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\,.}$

この式を使用して任意のスピン重み付き球面調和関数を計算する Mathematica ノートブックは、ここにあります。

ここでのフェーズ規則は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{s}{\bar {Y}}_{lm}&=\left(-1\right)^{s+m}{}_{-s}Y_{l(-m)}\\{}_{s}Y_{lm}(\pi -\theta ,\phi +\pi )&=\left(-1\right)^{l}{}_{-s}Y_{lm}(\theta ,\phi ).\end{aligned}}}$

最初のいくつかの正規直交化されたスピン重み付き球面調和関数の解析的表現:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{1}Y_{10}(\theta ,\phi )&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\,\sin \theta \\{}_{1}Y_{1\pm 1}(\theta ,\phi )&=-{\sqrt {\frac {3}{16\pi }}}(1\mp \cos \theta )\,e^{\pm i\phi }\end{aligned}}}$

${\displaystyle D_{-ms}^{l}(\phi ,\theta ,-\psi )=\left(-1\right)^{m}{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}{}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )e^{is\psi }}$

この関係により、 D行列の再帰関係を使用してスピン高調波を計算できるようになります。

s ₁ + s ₂ + s ₃ = 0の場合の三重積分は、3- j記号で表されます。

${\displaystyle \int _{S^{2}}\,{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}\,{}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}\,{}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}={\sqrt {\frac {\left(2j_{1}+1\right)\left(2j_{2}+1\right)\left(2j_{3}+1\right)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}}$

• 球面基底

• Dray, Tevian (1985 年 5 月)、「モノポール高調波とスピン重み付き球面高調波の関係」、J. Math. Phys.、2​​6 (5)、アメリカ物理学会: 1030–1033、Bibcode :1985JMP....26.1030D、doi :10.1063/1.526533。
• イーストウッド、マイケル、トッド、ポール (1982)、「Edth-a 球面上の微分演算子」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、92 (2): 317–330、Bibcode :1982MPCPS..92..317E、doi :10.1017/S0305004100059971、S2CID  121025245。
• ゲルファント, イムダ;ミンロス、ロバート A.シャピロ、Z.Ja. （1958）、Predstavleniya gruppy vrashcheni i gruppy Lorentsa、ikh primeneniya、Gosudarstv。イズダット。図-マット。文字通り、モスクワ、MR  0114876; (1963) 回転とローレンツ群の表現とその応用（翻訳）。マクミラン出版社。
• Goldberg, JN; Macfarlane, AJ; Newman, ET; Rohrlich, F.; Sudarshan, ECG (1967 年 11 月)、「スピンの球面調和関数と ð」、J. Math. Phys.、8 (11)、アメリカ物理学会: 2155–2161、Bibcode :1967JMP.....8.2155G、doi :10.1063/1.1705135 (注: 前述のように、この論文では、もはや標準ではない Condon-Shortley フェーズの選択を使用しています。)
• ニューマン、ET ;ペンローズ、R. (1966 年 5 月)、「ボンディ-メッツナー-サックス群に関する注記」、J. Math. Phys.、7 (5)、アメリカ物理学会: 863–870、Bibcode :1966JMP.....7..863N、doi :10.1063/1.1931221。
• ウー、タイ・ツン、ヤン、チェン・ニン (1976)、「弦のないディラック単極子：単極子調和関数」、核物理学 B、107 (3): 365–380、Bibcode :1976NuPhB.107..365W、doi :10.1016/0550-3213(76)90143-7、MR  0471791。