6-j シンボル

ウィグナーの6 -j記号はユージン・ポール・ウィグナーによって1940年に導入され、1965年に出版された。これらは4つのウィグナーの3- j記号の積の和として定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}&=\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}\times \\&\times {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

合計は、 3- jシンボルの選択規則によって許可される6 つのm _iすべてにわたって行われます。

これらは、3角運動量の再結合に使用されるラカW係数と密接に関連しているが、ウィグナー6- j記号はより高い対称性を持ち、したがって再結合係数を格納するより効率的な手段を提供する。^[1] それらの関係は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}$

6- j記号は列の任意の順列に対して不変です。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots }$

6- j記号は、任意の 2 つの列で上限と下限の引数が入れ替わっても不変です。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

これらの方程式は、 6 つの辺を持つ関連する四面体 Yutsis グラフを不変のままにする自己同型群の 24 の対称操作(2 つの頂点を交換するミラー操作と隣接する辺のペアを交換する操作) を反映しています。

6- j記号

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

j ₁、j ₂、j _{3 が}三角条件を満たさない 限り、0になります。つまり、

${\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}}$

上側と下側の引数を交換する対称関係と組み合わせると、三角形の条件は、( j ₁、j ₅、j ₆ )、( j ₄、j ₂、j ₆ )、( j ₄、j ₅、j ₃ ) の 3 元に対しても満たされる必要があることがわかります。さらに、各 3 元の合計は整数でなければなりません。したがって、各 3 元のメンバーはすべて整数であるか、1 つの整数と 2 つの半整数を含みます。

j ₆ = 0の場合、 6- j記号の式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

三角形のデルタ { j 1 _j   2 _j   3 _}は、三角形 ( j ₁、j ₂、j _{3 ) が三角形の条件を満たす場合は 1 に等しく、そうでない場合は 0 になります。対称関係を使用して、別の}jが 0 の 場合の式を見つけることができます。

6- jシンボルは次の直交関係を満たします。

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}$

6- j記号の漸近的挙動に関する注目すべき式は、最初に Ponzano と Regge ^[2]によって推測され、後に Roberts ^[3]によって証明されました。漸近式は、6 つの量子数j ₁、...、j ₆がすべて大きいとみなされる場合に適用され、6- j記号に四面体の幾何学を関連付けます。6- j記号が量子数j ₁、...、j ₆によって決定される場合、関連付けられた四面体の辺の長さはJ _i = j _i +1/2 (i=1,...,6) であり、漸近式は次のように与えられます。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.}$

表記法は次のとおりです。各 θ _{i は、関連する四面体の辺}J _{i の}周りの外部二面角であり、振幅係数はこの四面体の体積Vで表されます。

表現論では、6- j記号はテンソル圏における結合子同型の行列係数である。^[4] 例えば、群（または量子群）の3つの表現V _i、V _j、V _kが与えられた場合、自然同型

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\to V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}$

テンソル積表現の、対応する双代数の共結合性によって誘導される。モノイドカテゴリを定義する公理の1つは、結合子が五角形恒等式を満たすということであり、これは6- jシンボルのBiedenharn-Elliot恒等式と同等である。

モノイド圏が半単純である場合、我々は既約オブジェクトに注目を限定し、多重度空間を定義することができる。

${\displaystyle H_{i,j}^{\ell }=\operatorname {Hom} (V_{\ell },V_{i}\otimes V_{j})}$

テンソル積は次のように分解されます。

${\displaystyle V_{i}\otimes V_{j}=\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes V_{\ell }}$

ここで、和は既約オブジェクトのすべての同型類にわたっています。すると、次のようになります。

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\cong \bigoplus _{\ell ,m}H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\otimes V_{m}\qquad {\text{while}}\qquad V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})\cong \bigoplus _{m,n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}\otimes V_{m}}$

結合同型性はベクトル空間同型性を誘導する

${\displaystyle \Phi _{i,j}^{k,m}:\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\to \bigoplus _{n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}}$

6j シンボルはコンポーネント マップとして定義されます。

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}i&j&\ell \\k&m&n\end{Bmatrix}}=(\Phi _{i,j}^{k,m})_{\ell ,n}}$

多重度空間が標準基底要素を持ち、次元が最大1である場合（従来の設定でのSU（2）の場合のように）、これらの成分マップは数値として解釈でき、6- j記号は通常の行列係数になります。

抽象的な言葉で言えば、6- j記号は、半単純モノイド圏からそのグロタンディーク環に移行するときに失われる情報そのものである。なぜなら、モノイド構造は結合子を使って再構築できるからである。有限群の表現の場合、特徴表（基礎となるアーベル圏とグロタンディーク環構造を決定する）だけでは同型性まで群を決定できないが、対称モノイド圏構造はタナカ・クライン双対性によって群を決定することがよく知られている。特に、位数 8 の 2 つの非アーベル群は表現のアーベル圏と同型のグロタンディーク環を持つが、それらの表現圏の 6- j記号は異なっており、つまり、それらの表現圏はモノイド圏として同値ではない。したがって、6- j記号は中間レベルの情報を与え、実際には群が奇数位または単純である場合など、多くの場合群を一意に決定する。^[5]

• クレプシュ・ゴルダン係数
• 3-j シンボル
• ラカW係数
• 9-j シンボル
• 古典リー群の表現

• Biedenharn, LC ; van Dam, H. (1965).角運動量の量子理論: 再版と原著論文集. Academic Press . ISBN 0-12-096056-7。

• エドモンズ、AR（1957）。量子力学における角運動量。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-07912-9。
• コンドン、エドワードU .; ショートリー、GH (1970)。「3. 角運動量」。原子スペクトルの理論。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-09209-4。
• Maximon, Leonard C. (2010)、「3j,6j,9j シンボル」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編)、NIST 数学関数ハンドブック、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• メサイア、アルバート(1981)。量子力学。第II巻 (第 12 版)。ノースホランド出版。ISBN 0-7204-0045-7。

• Brink, DM; Satchler, GR (1993)。 「2 .回転群の表現」。角運動量(第 3 版) 。Clarendon Press。ISBN 0-19-851759-9。
• Zare, Richard N. (1988) 「2. 2 つの角運動量ベクトルの結合」角運動量. Wiley . ISBN 0-471-85892-7。

• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981).量子物理学における角運動量. Addison-Wesley . ISBN 0-201-13507-8。

• Regge, T. (1959). 「Racah の係数の対称性特性」. Nuovo Cimento . 11 (1): 116– 7. Bibcode :1959NCim...11..116R. doi :10.1007/BF02724914. S2CID  121333785.
• ストーン、アンソニー。「ウィグナー係数計算機」。（正確な答えを出す）
• Simons、Frederik J.「Matlab ソフトウェア アーカイブ、コード SIXJ.M」。
• Volya, A. 「Clebsch-Gordan、3-j および 6-j 係数 Web 計算機」。2012 年 12 月 20 日にオリジナルからアーカイブされました。
• ワイツマン科学研究所プラズマ研究室。「369j シンボル計算機」。
• GNU 科学ライブラリ。「結合係数」。
• ヨハンソン、HT;フォルセン、C. "(WIGXJPF)"。(正確; C、Fortran、Python)
• ヨハンソン、HT「(FASTWIGXJ)」。(高速検索、正確、C、Fortran)