ルジャンドル関数

物理科学と数学において、ルジャンドル関数 P _λ、Q _λおよびルジャンドル随伴関数 P^μλ
_​、Q^μλ
_​、および第 2 種のルジャンドル関数Q n_はすべてルジャンドルの微分方程式の解です。ルジャンドル多項式とルジャンドル随伴多項式も、特殊なケースにおける微分方程式の解であり、多項式であることにより、多数の追加の特性、数学的構造、および応用を持ちます。これらの多項式解については、Wikipedia の個別の記事を参照してください。

一般的なルジャンドル方程式は次のように表される 。 ここで、数λとμ は複素数の場合があり、それぞれ関数の次数と位数と呼ばれる。λ が整数（n と表記）で μ = 0 の場合の多項式解はルジャンドル多項式P nである。λが_整数（n と表記）で μ = m も整数（| m | < n）の場合 の多項式解はルジャンドル多項式である。λとμのその他のケースはすべて1 つとして扱うことができ、解はP と表記される。$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,}$$^μλ
_​、Q^μλ
_​μ = 0の場合は上付き文字は省略され、単にP _λ、Q _λと書きます。ただし、 λが整数の場合の解Q _{λ は}、第二種ルジャンドル関数として別途議論されることが多く、Q _nと表記されます。

これは、3 つの正規特異点 ( 1、−1、∞ )を持つ 2 次線形方程式です。 このような方程式はすべて、変数変換によって超幾何微分方程式に変換でき、その解は超幾何関数を使用して表現できます。

微分方程式は線形、同次（右辺 = ゼロ）、2次の方程式であるため、2つの線形独立な解があり、どちらも超幾何関数、 で表すことができます。がガンマ関数である場合、最初の解は 、2番目の解は です。 ${\displaystyle _{2}F_{1}}$${\displaystyle \ガンマ}$$${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]^{\​​mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2,}$$$${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.}$$

これらは一般に、非整数度の第 1 種および第 2 種のルジャンドル関数として知られており、μがゼロ以外の場合は「関連付けられた」という修飾語が追加されます。P解とQ解の間の有用な関係は、ホイップルの公式です。

正の整数の場合、上記の評価には特異項の消去が含まれる。 ^{[1] の}限界は次のように定義できる。${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} ^{+}}$${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$

$${\displaystyle P_{\lambda }^{m}(z)=\lim _{\mu \to m}P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {(-\lambda )_{m}(\lambda +1)_{m}}{m!}}\left[{\frac {1-z}{1+z}}\right]^{m/2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1+m;{\frac {1-z}{2}}\right),}$$

（上昇する）ポッホハマー記号付き。 ${\displaystyle (\lambda )_{n}}$

整数次数、 、の特殊なケースに対する非多項式解は 、別々に議論されることが多い。これは次のように与えられる。 ${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mu =0}$$${\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}$$

この解は、の場合には必ず特異になります。 ${\displaystyle x=\pm 1}$

第二種のルジャンドル関数は、ボネの再帰式によって再帰的に定義することもできる。 $${\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}}$$

整数次数の特別な場合の非多項式解は、次のように与えられる。 ${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} _{0}}$$${\displaystyle Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.}$$

ルジャンドル関数は等高線積分として書くことができる。例えば、 等高線は点1と点zの周りを正の方向に回り、点-1の周りは回らない。実数xに対して、 $${\displaystyle P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}$$$${\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }$$

の実積分表現は、の調和解析の研究に非常に役立ちます。ここで はの二重剰余類空間です（帯状球面関数を参照）。実際、 のフーリエ変換は次のように与えられます 。ここ で${\displaystyle P_{s}}$${\displaystyle L^{1}(G//K)}$${\displaystyle G//K}$${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{1}(G//K)}$$${\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}}$$$${\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0}$$

非整数次数のルジャンドル関数P _λは、区間 [-1, 1] で有界ではありません。物理学の応用では、これが選択基準となることがよくあります。実際、第 2 種のルジャンドル関数Q _{λ は}常に有界ではないため、ルジャンドル方程式の有界解を得るには、次数が整数値でなければなりません。整数次数の場合のみ、第 1 種のルジャンドル関数はルジャンドル多項式に簡約され、これは [-1, 1] で有界になります。非整数次数のルジャンドル関数P _λの特異性は 、ルジャンドル方程式のミラー対称性の結果であることが示されています^[2] 。したがって、先ほど述べた選択規則の下では対称性があります。

• フェラーズ関数

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• Wolfram 関数サイトの Legendre 関数 P。
• Wolfram 関数サイトの Legendre 関数 Q。
• Wolfram 関数サイトのルジャンドル関数 P。
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