3-j シンボル

量子力学では、ウィグナーの3-j記号は3 -jm記号とも呼ばれ、角運動量を加える目的でクレプシュ・ゴルダン係数の代替として使用されます。 ^[1] 2つのアプローチはまったく同じ物理的問題に対処しますが、3- j記号はより対称的にそれを行います。

3- j記号はクレプシュ・ゴルダン係数で次のように表される。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1 )^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .}$

jとm の成分は角運動量量子数です。つまり、すべてのj (および対応するすべてのm ) は非負の整数または半奇数の整数です。符号因子の指数は常に整数であるため、左に転置しても同じままであり、置換m ₃ → − m ₃を行うと逆の関係が続きます。

${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle =(-1)^{-j_{ 1}+j_{2}-m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}。 }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&\equiv \delta (m_{1}+m_{2}+m_{3},0)(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}{}{\sqrt {\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{1}-j_{2}+j_{3})!(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(j_{3}-m_{3})!(j_{3}+m_{3})!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-j_{3}-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+k)!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}}$

クロネッカーのデルタはどこにありますか。 ${\displaystyle \delta (i,j)}$

合計は、分母の各階乗の引数が非負である整数値kに対して実行されます。つまり、合計の限界KとN は等しくなります。つまり、下限と上限が等しくなります。負の数の階乗は慣例的にゼロに等しくなるため、たとえばまたはの 3 j記号の値は自動的にゼロに設定されます。 ${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-j_{3}-m_{1},j_{1}-j_{3}+m_{2}),}$${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-j_{3},j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$${\displaystyle j_{1}$

CG 係数は、2 つの角運動量の加算を 3 番目の角運動量で表すように定義されます。

${\displaystyle |j_{3}\,m_{3}\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_ {2}}^{j_{2}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle |j_{1}\,m_{1}\,j_{ 2}\,m_{2}\rangle .}$

一方、 3- j記号は、結果がゼロになるように 3 つの角運動量を加算する必要がある係数です。

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _ {m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}= |0\,0\rangle 。}$

ここでは角運動量ゼロの状態( )です。3- j記号は、加算問題に含まれる 3 つの角運動量すべてを同等に扱っており、したがって CG 係数よりも対称的であること は明らかです。${\displaystyle |0\,0\rangle }$${\displaystyle j=m=0}$

状態は回転によって変化しないので、3- j記号を持つ 3 つの回転状態の積の縮約は回転に対して不変であるとも言えます。 ${\displaystyle |0\,0\rangle }$

以下の条件がすべて満たされない限り、 ウィグナー 3- j記号はゼロになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{i}\in \{-j_{i},-j_{i}+1,-j_{i}+2,\ldots ,j_{i}\}\quad (i=1,2,3),\\&m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,\\&|j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2},\\&(j_{1}+j_{2}+j_{3}){\text{ は整数です (さらに、 }}m_{1}=m_{2}=m_{3}=0{\text{) の場合は偶数です}}.\\\end{aligned}}}$

3- jシンボルは、その列の偶数順列に対して不変です。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

列の奇数順列は位相係数を与えます:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle =(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\m_{3}&m_{2}&m_{1}\end{pmatrix}}.}$

量子数の符号を変えると（時間の反転）、位相も得られます。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

3- j記号には、置換や時間反転によるものではない、いわゆるレッジェ対称性もあります。^[2]これらの対称性は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{1}&{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}\\j_{3}-j_{2}&{\frac {j_{2}-j_{3}-m_{1}}{2}}-m_{3}&{\frac {j_{2}-j_{3}+m_{1}}{2}}+m_{3}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{3}+m_{2}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{2}+m_{3}}{2}}\\j_{1}-{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&j_{2}-{\frac {j_{1}+j_{3}-m_{2}}{2}}&j_{3}-{\frac {j_{1}+j_{2}-m_{3}}{2}}\end{pmatrix}}.}$

レッジェ対称性により、3- j記号には合計 72 個の対称性があります。これらはレッジェ記号の定義によって最もよく示されます。これは、3- j記号と 1 対 1 に対応し、半魔方陣の特性を仮定するものです。^[3]

${\displaystyle R={\begin{array}{|ccc|}\hline -j_{1}+j_{2}+j_{3}&j_{1}-j_{2}+j_{3}&j_{1}+j_{2}-j_{3}\\j_{1}-m_{1}&j_{2}-m_{2}&j_{3}-m_{3}\\j_{1}+m_{1}&j_{2}+m_{2}&j_{3}+m_{3}\\\hline \end{array}},}$

これにより、72個の対称性は3!行と3!列の入れ替えと行列の転置に対応する。これらの事実を利用して、効果的な格納方式を考案することができる。^[3]

大きさがj ₁とj ₂である2つの角運動量のシステムは、非結合基底状態（量子数m ₁とm ₂でラベル付け）または結合基底状態（j ₃とm ₃でラベル付け）のいずれかで記述できます。3- j記号は、これら2つの基底間のユニタリ変換を構成し、このユニタリ性は直交関係を意味します。

${\displaystyle (2j_{3}+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'_{3}\\m_{1}&m_{2}&m'_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{j_{3},j'_{3}}\delta _{m_{3},m'_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}},}$

${\displaystyle \sum _{j_{3}m_{3}}(2j_{3}+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}'&m_{2}'&m_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}.}$

三角デルタ { j ₁  j ₂  j ₃ }は、三角要素 ( j ₁、j ₂、j ₃ ) が三角形の条件を満たす場合は 1 に等しく、そうでない場合は 0 になります。三角デルタ自体は、6- j記号や9- j記号に類似して^[4]「3- j記号」( mなし) と呼ばれることがあります。これらはすべて、3- jm記号の既約な和で、m変数は残っていません。

3- jm記号は3つの球面調和関数の積の積分を表す^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

、および整数です。これらの積分は Gaunt 係数と呼ばれます。 ${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle l_{2}}$${\displaystyle l_{3}}$

スピン重み付き球面調和関数にも同様の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+s_{3}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int d\mathbf {\hat {n}} \,_{s_{1}}\!Y_{j_{1}m_{1}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{2}}\!Y_{j_{2}m_{2}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{3}}\!Y_{j_{3}m_{3}}(\mathbf {\hat {n}} )\\&\quad ={\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{-}{\sqrt {(l_{3}\mp s_{3})(l_{3}\pm s_{3}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}\pm 1\end{pmatrix}}=\\&\quad ={\sqrt {(l_{1}\mp s_{1})(l_{1}\pm s_{1}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}\pm 1&s_{2}&s_{3}\end{pmatrix}}+{\sqrt {(l_{2}\mp s_{2})(l_{2}\pm s_{2}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}\pm 1&s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

ゼロでない3- j記号 は${\displaystyle l_{1}\ll l_{2},l_{3}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {2l_{3}+1}}},}$

ここで、およびはウィグナー関数である。一般に、レッジェ対称性に従うより良い近似は次のように与えられる。 ${\displaystyle \cos(\theta )=-2m_{3}/(2l_{3}+1)}$${\displaystyle d_{mn}^{l}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {l_{2}+l_{3}+1}}},}$

どこ。 ${\displaystyle \cos(\theta )=(m_{2}-m_{3})/(l_{2}+l_{3}+1)}$

次の量は角運動量理論において計量テンソルとして働き、ウィグナー1-jm記号としても知られている。^[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j\\m\quad m'\end{pmatrix}}:={\sqrt {2j+1}}{\begin{pmatrix}j&0&j\\m&0&m'\end{pmatrix}}=(-1)^{j-m'}\delta _{m,-m'}.}$

角運動量の時間反転を実行するために使用できます。

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {2j+1}}\,\delta _{J,0}.}$

^[6]の式(3.7.9)より

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j&j&0\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2j+1}}}(-1)^{j-m}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)\,dx={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2},}$

ここでPはルジャンドル多項式です。

ウィグナー3- j記号はラカ V係数^[7]と単純な位相で関連している：

${\displaystyle V(j_{1}\,j_{2}\,j_{3};m_{1}\,m_{2}\,m_{3})=(-1)^{j_{1}-j_{2}-j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

このセクションでは、本質的に、定義関係を群論の言語で言い換えます。

群の群表現は、あるベクトル空間上の線型変換の群への群の準同型です。線型変換は、ベクトル空間の何らかの基底に関する行列の群によって与えられます。

角運動量を不変にする変換群は3次元回転群SO(3)である。「スピン」角運動量を含めると、その群はその二重被覆群SU (2)となる。

既約表現とは、基底変換を適用してすべての行列をブロック対角形式にすることができる表現です。そのような変換が存在しない場合は、 表現は既約(irrep) です。

jの各値について、 2 j +1 ケットは、複素数上のSO(3)/SU(2)の既約表現 (irrep) の基底を形成します。 2 つの既約表現が与えられた場合、テンソル直積は 既約表現の合計に簡約され、クレブシュ・ゴードン係数が生成されます。または、3 つの既約表現の三重積を単純な既約表現1に簡約して、3j シンボルが生成されます。

この記号は、角運動量の結合の文脈で最も熱心に研究されてきました。このため、この記号は、上で述べたように、SU(2) 群と SO(3) 群の群表現理論と深く関係しています。しかし、物理学と 化学では他の多くの群も重要であり、これらの他の群の記号に関する研究も数多く行われてきました。このセクションでは、その研究のいくつかについて検討します。 ${\displaystyle 3j}$${\displaystyle 3j}$

ウィグナーの元の論文^[1]は SO(3)/SU(2)に限定されず、代わりに単純還元群（SR群）に焦点を当てていた。これらは、

• すべてのクラスは曖昧である。つまり、がクラスのメンバーである場合、${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{-1}}$
• 2 つの不変表現のクロネッカー積は重複性がありません。つまり、不変表現を 2 回以上含みません。

SR グループの場合、すべての不変表現はその複素共役に等しく、列の順列の下では記号の絶対値は不変であり、それぞれの位相は、奇数の順列の下では最大で符号が変化し、偶数の順列の下では変化しないように選択できます。

コンパクト群は、位相構造を持つ幅広い群のクラスを形成します。これには、離散位相が追加された有限群 や多くのリー群が含まれます。

一般のコンパクト群は、アンビバレントでも重複性フリーでもない。デロームとシャープ^[8] とデローム^[9]は、一般的な場合の記号を、クレプシュ・ゴードン係数との関係を用いて 調べた。${\displaystyle 3j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {1}{[j_{3}]}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}^{*}\,m_{3}\rangle .}$

ここで はの表現空間の次元であり、は の複素共役表現です。 ${\displaystyle [j]}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j_{3}^{*}}$${\displaystyle j_{3}}$

シンボルの列の順列を調べることで、次の 3 つのケースが示されました。 ${\displaystyle 3j}$

• のすべてが同値でない場合、その記号は列の任意の順列に対して不変となるように選択される。${\displaystyle j_{1},j_{2},j_{3}}$${\displaystyle 3j}$
• ちょうど2つが同値である場合、その列の転置は、いくつかの記号が不変である一方で他の記号が符号を変えるように選択される。^[10]との群のリース積を使用するアプローチは、これらが対称群の表現またはに対応することを示した。巡回置換は記号を不変のままにする。${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle [2]}$${\displaystyle [1^{2}]}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle 3j}$
• 3 つすべてが同等である場合、動作は対称群 の表現に依存します。 に対応するリース群表現は列の転置に対して不変ですが、 に対応するは転置に対して符号が変わります。一方、2 次元表現に対応するペアはそれに従って変換されます。${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle [3]}$${\displaystyle [1^{3}]}$${\displaystyle [21]}$

これらの原理に基づいて、コンパクト群の記号に関するさらなる研究が行われてきました。 ^[11]${\displaystyle 3j}$

特殊ユニタリ群SU(n) は、行列式が 1 である n × n ユニタリ行列の リー群です。

SU(3)群は粒子理論において重要である。またはそれと同等の記号 を扱う論文は数多くある^{[12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]}${\displaystyle 3j}$

SU(4)群の記号は研究されている [ ^{20] [21]} が、一般のSU(n)群に関する研究もある ^{[22] [23]。}${\displaystyle 3j}$

有限結晶点群 と二重点群の記号やクレプシュ・ゴードン係数を扱った論文は数多くある。 バトラーの著書 ^[24]では これらを参照し、表とともに理論を詳しく説明している。 ${\displaystyle 3j}$

磁気群には、線形作用素だけでなく反線形作用素も含まれる。これらは、ユニタリ群と反ユニタリ群の共表現に関するウィグナーの理論を使って扱う必要がある。標準表現理論との大きな違いは、 既約共表現の直積における既約共表現の多重度が、 三重積における自明共表現の多重度よりも一般に小さいため、クレプシュ・ゴードン係数と記号の間に大きな違いが生じることである。 ${\displaystyle j_{3}^{*}}$${\displaystyle j_{1}\otimes j_{2}}$${\displaystyle j_{1}\otimes j_{2}\otimes j_{3}}$${\displaystyle 3j}$

記号は灰色群 ^{[25] [26]} および磁気点群 ^{[27]について検討されている。}${\displaystyle 3j}$

• クレプシュ・ゴルダン係数
• 球面調和関数
• 6-j シンボル
• 9-j シンボル
• 古典リー群の表現