スピノル球面調和関数

量子力学において、スピノル球面調和関数^[1]（スピン球面調和関数^[2] 、スピノル調和関数^[3]、パウリスピノル^[4]とも呼ばれる）は、球面上で定義される特殊関数である。スピノル球面調和関数は、ベクトル球面調和関数の自然なスピノル類似物である。標準球面調和関数が角運動量演算子の基底であるのに対し、スピノル球面調和関数は全角運動量演算子（角運動量プラススピン）の基底である。これらの関数は、ラジアルポテンシャルにおけるディラック方程式の解析解に用いられる。^[3]スピノル球面調和関数は、スピン軌道相互作用を持つ水素原子の解析解にこれを用いたヴォルフガング・パウリに敬意を表して、パウリ中心場スピノルと呼ばれることもある。^[1]

スピノル球面調和関数Y _{l、s、j、m は、}全角運動量演算子の2 乗のスピノル 固有状態です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=j(j+1)Y_{l,s,j,m}\\\mathrm {j} _{\mathrm {z} }Y_{l,s,j,m}&=mY_{l,s,j,m}\;;\;m=-j,-(j-1),\cdots ,j-1,j\\ \mathbf {l} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=l(l+1)Y_{l,s,j,m}\\\mathbf {s} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=s(s+1)Y_{l,s,j,m}\end{整列}}}$

ここでj = l + sであり、j、l、およびsは（無次元の）全角運動量演算子、軌道角運動量演算子、スピン角運動量演算子、jは全方位量子数、mは全磁気量子数です。

パリティ演算では、

${\displaystyle PY_{l,sj,m}=(-1)^{l}Y_{l,s,j,m}.}$

スピン1/2系の場合、それらは行列形式で^{[1] [3] [5]で与えられる。}

${\displaystyle Y_{l,\pm {\frac {1}{2}},j,m}={\frac {1}{\sqrt {2{\bigl (}j\mp {\frac {1}{2}}{\bigr )}+1}}}{\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {j\mp {\frac {1}{2}}\pm m+{\frac {1}{2}}}}Y_{l}^{m-{\frac {1}{2}}}\\{\sqrt {j\mp {\frac {1}{2}}\mp m+{\frac {1}{2}}}}Y_{l}^{m+{\frac {1}{2}}}\end{pmatrix}}.}$

通常の球面調和関数はここにあります。 ${\displaystyle Y_{l}^{m}}$