尖ったセット

数学において、尖端集合^[1]^{[2] （}基底集合^[1]または根付き集合^[3]とも）は、が集合でがの要素である順序付きペアであり、基点[ 2 ] （ basepointと^も綴られる）と呼ばれる。^[4]^：10–11 $(X,x_{0})$ $X$ $x_{0}$ $X$

尖端集合との間の写像は、基底写像^[5]、尖端写像^[4]、または点保存写像^[6]と呼ばれ、からへの関数で、ある基底点を別の基底点に写すもの、つまりとなる写像です。基底写像は通常と表記されます。 $(X,x_{0})$ $(Y,y_{0})$ $X$ $Y$ $f\colon X\to Y$ $f(x_{0})=y_{0}$ ${\textstyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$

尖端集合は非常に単純な代数構造である。普遍代数の意味では、尖端集合とは、基点を選ぶ単一の零項演算^{[a]を伴う集合である。}^{[7]尖端写像は、これらの代数構造の}準同型である。 $X$ $*:X^{0}\to X,$

すべての尖った集合のクラスは、すべての基底写像のクラスとともにカテゴリを形成する。すべての尖った集合は、基底点を忘れることによって通常の集合に変換できる（忘却関数は忠実である）が、その逆は真ではない。^[8]^{: 44}特に、空集合は、基底点として選択できる要素がないため、尖ることができない。^[9]

カテゴリカルプロパティ

尖端集合と基底写像のカテゴリは、集合と部分関数のカテゴリと同等である。^[6]基点は、部分関数が定義されていない引数の「デフォルト値」として機能する。ある教科書には、「不適切」、「無限」要素の追加による集合と部分写像のこの形式的完成は、特に位相幾何学（一点コンパクト化）と理論計算機科学において何度も再発明された」と記されている。^{[10]このカテゴリは}、コスライスカテゴリ（）とも同型であり、は（単一集合を選択する関数）、集合カテゴリ（の恒等関数）である。^[8]^{: 46}^[11]これは代数的特徴付けと一致する。なぜなら、一意の写像はコスライスカテゴリの矢印を定義する可換三角形を拡張して、代数の準同型を定義する可換四角形を形成するからである。 $\mathbf {1} \downarrow \mathbf {集合}$ $\mathbf {1}$ $\scriptstyle {\mathbf {集合} }$ $\mathbf {1} \to \mathbf {1}$

尖端集合から通常集合への忠実な関手が存在するが、それは完全ではなく、これらのカテゴリは同値ではない。^[8]

尖端集合のカテゴリは尖端カテゴリである。尖端単集合は始対象と終対象の両方である。^[1]すなわち、それらは零対象である。^[4]^{: 226} 尖端集合と尖端写像のカテゴリには積と余積の両方があるが、分配カテゴリではない。また、がと同型ではないカテゴリの例でもある。^[9] $(\{a\},a)$ $0\times A$ $0$

アプリケーション

多くの代数構造は、区別された点に依存しています。たとえば、基点として単位元を選択することで、群は尖った集合になり、群準同型は点を保存する写像になります。^[12]^{: 24}この観察は、群から尖った集合への忘却関数の存在としてカテゴリ理論の用語で言い換えることができます。^[12]^{: 582}

尖端集合は離散位相上の尖端空間として、あるいは1つの元を持つ体上のベクトル空間として見ることができる。^[13]

「根付き集合」という概念は、反マトロイド^{[3]や輸送多面体}^[14]の研究に自然に現れます。

参照

アクセス可能な尖端グラフ - 1つの頂点がルートとして区別されている無向グラフ
アレクサンドロフ拡張 – 非コンパクトな位相空間を拡張する方法
リーマン球面 – 拡張された複素平面と無限遠点のモデル

注記

^ 表記 $X 0$ は、空の組を含む 1 要素の集合である集合 $X$ の0 番目のデカルト累乗を表します。

参考文献

^ abc マックレーン 1998.
^ ab Grégory Berhuy (2010).ガロアコホモロジーとその応用入門. ロンドン数学会講義ノートシリーズ. 第377巻. ケンブリッジ大学出版局. p. 34. ISBN 978-0-521-73866-8.ZBL1207.12003 。
^ ab コルテ、ベルンハルト; Lovász, ラスロー; Schrader、Rainer (1991)、Greedoids、Algorithms and Combinatorics、vol. 4、ニューヨーク、ベルリン: Springer-Verlag、第 3 章、ISBN 3-540-18190-3、ZBL 0733.05023
^ abc ジョセフ・ロットマン (2008).ホモロジー代数入門(第2版). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-68324-9。
^ マウンダー、CRF (1996)、代数的トポロジー、ドーバー、p. 31、ISBN 978-0-486-69131-2。
^ Schröder 2001より。
^ サンダース・マックレーン、ギャレット・バーコフ (1999) [1988]。代数学（第3版）。アメリカ数学会、p. 497。ISBN 978-0-8218-1646-2。
^ abc J. Adamek、H. Herrlich、G. Stecker、(2005年1月18日) 抽象的カテゴリーと具体的カテゴリー - 猫の喜び
^ Lawvere & Schanuel 2009より引用。
^ ニール・コブリッツ、B. ジルバー、Yu. I. マニン (2009)。数学者のための数学論理学講座。シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。p. 290。ISBN 978-1-4419-0615-1。
^ Francis Borceux、Dominique Bourn (2004)。Mal'cev 、「プロトモジュラー、ホモロジー、セミアーベル圏」。Springer Science & Business Media。p. 131。ISBN 978-1-4020-1961-6。
^ ab Paolo Aluffi (2009).代数: 第0章. アメリカ数学協会. ISBN 978-0-8218-4781-7。
^ Haran, MJ Shai (2007)、「非加法幾何学」(PDF)、Compositio Mathematica、143 (3): 618–688、doi :10.1112/S0010437X06002624、MR 2330442622 ページで、Haran は「私たちは、 - ベクトル空間を、区別された「ゼロ」要素を持つ有限集合として考えます...」と書いています。 $\mathbb {F}$ $X$
^ Klee, V.; Witzgall, C. (1970) [1968]. 「輸送多面体のファセットと頂点」。George Bernard Dantzig (編)。意思決定科学の数学。第 1 部。アメリカ数学会。ASIN B0020145L2。OCLC 859802521 。

さらに読む

Lawvere, F. W.; Schanuel, Stephen Hoel (2009).概念数学: カテゴリーへの最初の入門(第 2 版). Cambridge University Press. pp. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2。
マック・レーン、サンダース(1998)。Category for the Working Mathematician (第 2 版)。Springer- Verlag。ISBN 0-387-98403-8.ZBL0906.18001 。
シュレーダー、ルッツ (2001)。「カテゴリー：無料ツアー」。ユルゲンのコスロースキーにて。オースティン、メルトン（編）。カテゴリカルな視点。シュプリンガーのサイエンス＆ビジネスメディア。 p. 10.ISBN 978-0-8176-4186-3。

外部リンク

集合と部分関数のカテゴリにおけるプルバック
PlanetMathの尖ったセット。
n ラボの尖った物体

[7] 表記 $X 0$ は、空の組を含む 1 要素の集合である集合 $X$ の0 番目のデカルト累乗を表します。

[FOOTNOTEMac&nbsp;Lane1998-1] マックレーン 1998.

[Berhuy-2] Grégory Berhuy (2010).ガロアコホモロジーとその応用入門. ロンドン数学会講義ノートシリーズ. 第377巻. ケンブリッジ大学出版局. p. 34. ISBN 978-0-521-73866-8.ZBL1207.12003 。

[Greedoids-3] コルテ、ベルンハルト; Lovász, ラスロー; Schrader、Rainer (1991)、Greedoids、Algorithms and Combinatorics、vol. 4、ニューヨーク、ベルリン: Springer-Verlag、第 3 章、ISBN 3-540-18190-3、ZBL 0733.05023

[Rotman2008-4] ジョセフ・ロットマン (2008).ホモロジー代数入門(第2版). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-68324-9。

[5] マウンダー、CRF (1996)、代数的トポロジー、ドーバー、p. 31、ISBN 978-0-486-69131-2。

[FOOTNOTESchröder2001-6] Schröder 2001より。

[LaneBirkhoff1999-8] サンダース・マックレーン、ギャレット・バーコフ (1999) [1988]。代数学（第3版）。アメリカ数学会、p. 497。ISBN 978-0-8218-1646-2。

[joy-9] J. Adamek、H. Herrlich、G. Stecker、(2005年1月18日) 抽象的カテゴリーと具体的カテゴリー - 猫の喜び

[FOOTNOTELawvereSchanuel2009-10] Lawvere & Schanuel 2009より引用。

[KoblitzZilber2009-11] ニール・コブリッツ、B. ジルバー、Yu. I. マニン (2009)。数学者のための数学論理学講座。シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。p. 290。ISBN 978-1-4419-0615-1。

[BorceuxBourn2004-12] Francis Borceux、Dominique Bourn (2004)。Mal'cev 、「プロトモジュラー、ホモロジー、セミアーベル圏」。Springer Science & Business Media。p. 131。ISBN 978-1-4020-1961-6。

[Aluffi2009-13] Paolo Aluffi (2009).代数: 第0章. アメリカ数学協会. ISBN 978-0-8218-4781-7。

[14] Haran, MJ Shai (2007)、「非加法幾何学」(PDF)、Compositio Mathematica、143 (3): 618–688、doi :10.1112/S0010437X06002624、MR 2330442622 ページで、Haran は「私たちは、 - ベクトル空間を、区別された「ゼロ」要素を持つ有限集合として考えます...」と書いています。 $\mathbb {F}$ $X$

[15] Klee, V.; Witzgall, C. (1970) [1968]. 「輸送多面体のファセットと頂点」。George Bernard Dantzig (編)。意思決定科学の数学。第 1 部。アメリカ数学会。ASIN B0020145L2。OCLC 859802521 。