幾何学的ラングランズ対応

数学において、幾何学的ラングランズ対応は代数幾何学と表現論を結びつけるものである。これは、元の数論版に現れる数体を関数体に置き換え、代数幾何学の手法を適用することによって得られたラングランズ対応の再定式化である。^{[ 1 ]}この対応は、1960年代後半にその原型を定式化した カナダの数学者ロバート・ラングランズにちなんで名付けられた。

幾何学的ラングランズ予想は、幾何学的ラングランズ対応の存在を主張する。

数学において、古典的なラングランズ対応は、数論と表現論を関連付ける結果と予想の集合である。1960年代後半にロバート・ラングランズによって定式化されたラングランズ対応は、フェルマーの最終定理を特殊な場合として含む谷山-志村予想など、数論における重要な予想と関連している。^{[ 1 ]}

ラングランズ対応は、数体または大域関数体に分類される大域体（および局所体）に対して定式化できます。数体に対する古典的なラングランズ対応を確立することは、非常に困難であることがわかっています。そのため、一部の数学者は、ある意味で扱いやすいことがわかっている大域関数体に対する幾何学的ラングランズ対応を提唱しました。^{[ 2 ]}

一般線形群に対する幾何学的ラングランズ予想${\displaystyle GL(n,K)}$関数フィールド上${\displaystyle K}$1987年にウラジミール・ドリンフェルドとジェラール・ローモンによって考案された。^{[ 3 ] [ 4 ]}

幾何学的ラングランズ予想は、${\displaystyle GL(1)}$ピエール・ドリーニュによる、そして${\displaystyle GL(2)}$1983年にドリンフェルドによって発表された。^{[ 5 ] [ 6 ]}

デニス・ゲイツゴリーを含む数学者チームが、2024年5月6日に、圏論的非分岐幾何学的ラングランズ予想の証明を発表した。^{[ 7 ] [ 8 ]}この証明は5つの論文にまたがる1000ページ以上に及び、「非常に複雑で、ほとんど誰も説明できない」と言われている。ドリンフェルドは、この結果の重要性を他の数学者に伝えることさえ「非常に難しく、ほとんど不可能」だと述べている。^{[ 9 ]}

2007年の論文で、アントン・カプスティンとエドワード・ウィッテンは、幾何学的ラングランズ対応と、特定の量子場理論の性質であるS双対性との間の関連性について述べた。^{[ 10 ]}

2018年、アーベル賞を受賞した際、ラングランズは、自身のラングランズ書簡と同様のツールを用いて幾何学的プログラムを再定式化した論文を発表した。^{[ 11 ] [ 12 ]}ラングランズのアイデアは、エティンゴフ、フレンケル、カジュダンによってさらに発展させられた。^{[ 13 ]}

• フレンケル、エドワード（2007）。「ラングランズ・プログラムと共形場理論に関する講義」。『数論、物理学、幾何学のフロンティア II』。シュプリンガー。pp . 387–533。arXiv : hep - th/0512172。Bibcode : 2005hep.th ...12172F。doi : 10.1007 / 978-3-540-30308-4_11。ISBN  978-3-540-30307-7. S2CID 119611071 . 
• Kapustin, Anton; Witten, Edward (2007). "電磁双対性と幾何学的ラングランズ・プログラム". Communications in Number Theory and Physics . 1 (1): 1– 236. arXiv : hep-th/0604151 . Bibcode : 2007CNTP....1....1K . doi : 10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1 . S2CID 30505126 . 

• ウィキクォートにある幾何学的ラングランズ書簡に関する引用
• nLabにおける量子幾何学的ラングランズ対応