佐竹図

リー代数とリー群の数学的研究において、サタケ図はサタケ (1960、p.109)によって導入されたディンキン図の一般化であり、その構成は実数体上の単純リー代数を分類します。ディンキン図に関連付けられたサタケ図は、ディンキン図に対応する複素リー代数の 実数形式を分類します。

より一般的には、体上の簡約代数群のティッツ指数またはサタケ・ティッツ図は、ティッツ(1966) によって導入されたサタケ図の任意の体への一般化であり、簡約代数群の分類を異方性簡約代数群 の分類に簡約します。

サタケ図はリー群の ヴォーガン図と似ていますが、同じではありません。

サタケ図は、ディンキン図のいくつかの頂点を黒く塗りつぶし、他の頂点を一定の規則に従って矢印でペアで接続することによって得られます。

G が実数体などの体k上に定義された代数群であるとする。 S をG内の最大分割トーラスとし、T をkの可分代数閉包K上に定義されたS を含む最大トーラスとする。すると、G ( K ) はTの正の根のいくつかの選択に関してディンキン図を持つ。このディンキン図には、 K / kのガロア群の自然な作用がある。また、単純根のいくつかはS上で消える。サタケ​​・ティッツ図は、ディンキン図Dとガロア群の作用によって与えられ、S上で消える単純根は黒く塗られている。 kが実数体の場合、絶対ガロア群の位数は 2 であり、 Dへの作用はディンキン図の共役点を互いに近づけて描くことで表され、サタケ・ティッツ図はサタケ図と呼ばれる。

• コンパクト リー代数は、すべての頂点が黒くなっているサタケ図に対応します。
• 分割リー代数は、白色（つまり、黒く塗られていない）かつ対になっていない頂点のみを持つサタケ図に対応します。
• 表は（Onishchik & Vinberg 1994、表4、pp. 229–230）にあります。

サタケ図とヴォーガン図はどちらも、実数上の半単純リー群または代数（または代数群）を分類するために使用され、ノードのサブセットを黒く塗りつぶし、いくつかの頂点のペアを矢印で接続することで強化されたディンキン図で構成されています。ただし、サタケ図は任意のフィールドに一般化でき（上記を参照）、ガロアコホモロジーの一般的なパラダイムに分類されるのに対し、ヴォーガン図は実数上で具体的に定義されます。一般的に言えば、実半単純リー代数の構造は、サタケ図でより透明な方法でエンコードされますが、ヴォーガン図の方が分類が簡単です。

本質的な違いは、カルタン反転θと関連するカルタン対( θの +1 および −1 固有空間)を持つ実半単純リー代数のサタケ図は、最大限に非コンパクトなθ安定カルタン部分代数、つまり および が可能な限り小さいもの (上記の説明では、最大分割トーラスSのリー代数として表示されます) から開始して定義されるのに対し、ヴォーガン図は最大限にコンパクトなθ安定カルタン部分代数、つまり およびが可能な限り大きいものから開始して定義されることです。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}}$

装飾のないディンキン図（つまり、白いノードのみで矢印がない図）は、サタケ図として解釈されると、リー代数の分割実数形式を表しますが、ヴォーガン図として解釈されると、コンパクト形式を表します。

• 相対ルートシステム
• 既約なTits指数のリスト

• バンプ、ダニエル (2004)、「リー群」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 225、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-4757-4094-3、ISBN 978-0-387-21154-1、MR  2062813
• ヘルガソン、シグルドゥル (2001)、「微分幾何学、リー群、対称空間」、数学大学院研究、第34巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、doi：10.1090/gsm/034、ISBN 978-0-8218-2848-9、MR  1834454
• Onishchik, AL; Vinberg, Ėrnest Borisovich (1994)、リー群とリー代数 III: リー群とリー代数の構造、Springer、ISBN 978-3-540-54683-2
• 佐竹一郎 (1960)、「対称リーマン空間の表現とコンパクト化について」、数学年報、第 2 シリーズ、71 (1): 77–110、doi :10.2307/1969880、ISSN  0003-486X、JSTOR  1969880、MR  0118775
• 佐竹一郎 (1971)、「半単純代数群の分類理論」、純粋および応用数学講義ノート、第3巻、ニューヨーク：マルセル・デッカー社、ISBN 978-0-8247-1607-3、MR  0316588
• Spindel, Philippe; Persson, Daniel; Henneaux, Marc (2008)、「重力の空間的特異点と隠れた対称性」、Living Reviews in Relativity、11 (1): 1、arXiv : 0710.1818、Bibcode :2008LRR....11....1H、doi : 10.12942/lrr-2008-1、PMC  5255974、PMID  28179821
• ティッツ、ジャック (1966)、「代数的半単純群の分類」、代数群と不連続部分群 (Proc. Sympos. Pure Math.、コロラド州ボルダー、1965)、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、pp. 33–62、MR  0224710
• ティッツ、ジャック (1971)、「Représentations linéaires irréductibles d'un groupe réductif sur un corps quelconque」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1971 (247): 196–220、doi :10.1515/crll.1971.247.196、ISSN  0075-4102、MR  0277536、S2CID  116999784