建物（数学）

数学において、ビルディング（ティッツビルディングとも呼ばれ、ジャック・ティッツにちなんで名付けられている）は、旗多様体、有限射影平面、およびリーマン対称空間の特定の側面を同時に一般化する組合せ的かつ幾何学的な構造である。ビルディングは当初、任意の体上の等方 簡約 線型代数群の構造を理解する手段として、ジャック・ティッツによって導入された。より専門的な理論であるブリュア・ティッツビルディング（フランソワ・ブリュアにちなんで名付けられた）は、リー群の理論における対称空間の理論と同様の役割を果たし、 p進リー群の研究に用いられている。

建物の概念は、任意の体上の単純な代数群を記述する手段としてジャック・ティッツによって発明されました。ティッツは、そのようなすべての群Gに、単体複体Δ = Δ( G )をGの作用と関連付けることができることを実証しました。これをGの球面建物と呼びます。群G は、このようにして生じる複合体Δに非常に強い組み合わせの規則性条件を課します。これらの条件を単体複体のクラスの公理として扱うことで、ティッツは建物の最初の定義に到達しました。建物Δを定義するデータの一部はコクセター群Wであり、これはコクセター複合体と呼ばれる高度に対称的な単体複体Σ = Σ( W , S )を決定します。建物Δ は、アパートと呼ばれるΣの複数のコピーから特定の規則的な方法で接着されます。 Wが有限 Coxeter 群の場合、Coxeter 複体は位相球面であり、対応する建物は球面型であると言われます。W がアフィン Weyl 群の場合、Coxeter複体はアフィン平面の細分であり、アフィンまたはユークリッド建物と呼ばれます。タイプÃ ₁のアフィン建物は、終端頂点のない無限ツリーと同じです。

半単純代数群の理論は建物の概念の初期の動機となったが、すべての建物が群から生じるわけではない。特に、射影平面と一般化四角形は、建物の公理を満たすが、どの群にも接続されない可能性がある、接続幾何学で研究される 2 つのグラフ クラスを形成する。この現象は、対応する Coxeter システムのランクが低い (つまり 2) ことに関係していることが判明した。Tits は注目すべき定理を証明した。ランクが 3 以上の球形建物はすべて群に接続され、さらに、ランクが 2 以上の建物が群に接続されている場合、群は基本的に建物によって決定される (Tits 1974)。

岩堀–松本、ボレル–ティッツ、およびブリュア–ティッツは、ティッツの球面建物の構成と同様に、アフィン建物も特定の群、つまり局所非アルキメデス体上の簡約代数群から構成できることを実証した。さらに、群の分割ランクが少なくとも 3 の場合、それは基本的にその建物によって決定されます。ティッツは後に、チャンバー システムの概念を使用して建物の理論の基礎的な側面を作り直し、建物を最大次元の単体の隣接特性に関してのみエンコードしました。これにより、球面の場合とアフィンの場合の両方で簡略化が実現しました。彼は、球面の場合と同様に、少なくとも 4 のアフィン型およびランクのすべての建物はグループから発生することを証明しました。

n次元の建物Xは、 アパートと呼ばれる部分複合体Aの集合である抽象単体複合体であり、

• k < nの場合、 Xのすべてのk単体は少なくとも 3 つのn単体の範囲内にあります。
• アパートA内の任意の( n – 1)単体は、 Aのちょうど 2 つの隣接するn単体に含まれ、隣接するn単体のグラフは連結されている。
• X内の任意の 2 つの単体は、ある共通のアパートA内にあります。
• 2つの単体が両方ともアパートメントAとA ′にある場合、 2つの単体の頂点を固定したAからA ′への単体同型が存在します。

Aの n単体は、チャンバー(元々はchambre、つまりフランス語で部屋)と呼ばれます。

建物のランクはn + 1と定義されます。

建物内のすべてのアパートAは、コクセター複体です。実際、( n – 1)単体またはパネルで交差するすべての 2 つのn単体に対して、 Aの周期 2 単体自己同型が 1 つだけ存在します。これは反射と呼ばれ、一方のn単体を他方の n 単体に移し、それらの共通点を固定します。これらの反射によって、 Aのワイル群と呼ばれるコクセター群Wが生成され、単体複体A はWの標準的な幾何学的実現に対応します。コクセター群の標準的な生成元は、 A内の固定された部屋の壁の反射によって与えられます。アパートA は建物によって同型性まで決定されるため、共通のアパートAにあるX内の任意の 2 つの単体についても同じことが言えます。Wが有限の場合、建物は球状であると言われます。それがアフィンワイル群である場合、建物はアフィンまたはユークリッドであると言われます。

チャンバーシステムは、チャンバーによって形成される隣接グラフです。隣接するチャンバーの各ペアは、Coxeter グループの標準ジェネレータの 1 つによってラベル付けすることもできます (Tits 1981 を参照)。

すべての建物には、頂点をヒルベルト空間の正規直交基底と同一視することによって得られる幾何学的実現から継承された標準的な長さ計量があります。アフィン建物の場合、この計量はアレクサンドロフの CAT(0) 比較不等式を満たします。これは、この設定では測地三角形のBruhat–Tits非正曲率条件として知られています。つまり、頂点から反対側の辺の中点までの距離は、同じ辺の長さを持つ対応するユークリッド三角形の距離以下です (Bruhat & Tits 1972 を参照)。

群G が建物Xに単体的に作用し、部屋Cとそれを含むアパートAのペア( C , A )に推移的に作用する場合、そのようなペアの安定化因子は( B , N )ペアまたはティッツシステムを定義します。実際、部分群のペア

B = G _CかつN = G _A

( B , N )ペアの公理を満たし、ワイル群はN / N ∩ Bと同一視できる。

逆に、建物は( B , N )ペアから復元できるため、すべての( B , N )ペアは標準的に建物を定義します。実際、( B , N )ペアの用語を使用し、 Bの共役をボレル部分群、ボレル部分群を含むグループを放物線部分群と呼ぶと、

• 建物Xの頂点は最大放物線部分群に対応する。
• k + 1 個の頂点は、対応する最大放物型部分群の交差も放物型である場合に、 k単体を形成します。
• アパートメントは、 B を含む最大放物線のNの共役によって頂点が与えられる単体部分複体のGの共役です。

同じ建物が異なる( B , N )ペアで記述されることがよくあります。さらに、すべての建物が( B , N )ペアから生成されるわけではありません。これは、低いランクと次元での分類結果の失敗に対応します (以下を参照)。

ソロモン・ティッツの定理は、リー型の群の構築のホモトピー型が球の花束のホモトピー型と同じであることを述べる結果です。

SL _n ( Q _p )に関連付けられたアフィンおよび球状の建物の単体構造、およびそれらの相互接続は、初等代数と幾何学の概念のみを使用して直接説明することが簡単です (Garrett 1997 を参照)。 この場合、2 つが球状で 1 つがアフィンの、合計 3 つの異なる建物があります。 各建物は、それ自体が単体複合体であるアパートメントの和集合です。 アフィン建物の場合、アパートメントは、ユークリッド空間E ^{n −1}を( n − 1)次元単体で分割した単体複合体です。 一方、球状の建物の場合、アパートメントは、 E ^{n −2}の類似の分割で、与えられた共通頂点を持つすべての( n − 1)!単体によって形成される有限単体複合体です。

各建物は単体複合体Xであり、次の公理を満たす必要があります。

• Xはアパートの集合体です。
• X内の任意の 2 つの単体は共通のアパートメントに含まれます。
• 単体が 2 つのアパートメントに含まれている場合、共通点をすべて固定して、一方から他方への単体同型が存在します。

F を体とし、XをV = F ⁿの非自明なベクトル部分空間を頂点とする単体複体とする。2 つの部分空間U ₁とU ₂は、一方が他方の部分集合である場合に連結している。Xのk 単体は、k + 1 個の相互連結な部分空間の集合によって形成される。最大連結性は、n − 1 個の適切な非自明な部分空間を取ることによって得られ、対応する( n − 1)単体は完全な旗に対応する。

(0) ⊂ U ₁ ⊂ ··· ⊂ U _{n – 1} ⊂ V

低次元の単体は、中間部分空間U _iの数が少ない部分フラグに対応します。

Xのアパートメントを定義するには、各ベクトルv _iのスカラー倍によって決まる基底 ( v _i ) としてVのフレームを定義すると便利です。言い換えると、フレームとは、1次元の部分空間L _i = F · v _iの集合であり、そのうちの任意のk はk次元の部分空間を生成します。ここで、順序付きフレームL ₁ , ..., L _{n は}、完全なフラグを次のように定義します 。

U _i = L ₁ ⊕ ··· ⊕ L _i

さまざまなL _iの並べ替えによってフレームも得られるため、L _iの合計として得られる部分空間が、球形の建物のアパートに必要なタイプの単体複合体を形成することは簡単にわかります。建物の公理は、ジョルダン-ヘルダー分解の一意性を証明するために使用される古典的なシュライアーの洗練の議論を使用して簡単に検証できます。

K をQとそのp進完備化 Q _pとの間にある体とし、Q上の通常の非アルキメデス的 p進ノルム ‖ x ‖ _pに関して、ある素数pについて定義される ものとする。RをKの部分環とし、

R = { x  : ‖ x ‖ _p ≤ 1 }

K = Qのとき、R はpにおけるZの局在であり、K = Q _pのとき、R = Z _p、つまりp進整数、つまりQ _pにおけるZの閉包です。

建物Xの頂点はV = K ⁿのR格子、すなわち次の形の R部分モジュールである。

L = R · v ₁ ⊕ · · · ⊕ R · v _n

ここで( v _i ) はK上のVの基底である。2 つの格子は、一方が他方のKの乗法群K *の元によるスカラー倍である場合に同値であると言われる(実際にはpの整数乗のみを使用すればよい)。2 つの格子L ₁とL _2は、 L ₂と同値な格子がL ₁とその部分格子p · L ₁の間にある場合に隣接していると言われる。この関係は対称的である。Xのk単体は、互いに隣接するk + 1 個の格子の同値類である。( n − 1)単体は、ラベルを付け直すと、鎖に対応する。

p · L _n ⊂ L ₁ ⊂ L ₂ ⊂ · · · ⊂ L _{n – 1} ⊂ L _n

ここで、連続する各商の順序はpです。アパートメントは、 Vの基底( v _i )を固定し、基底( p ^{a _i} v _i )を持つすべての格子を取ることによって定義されます。ここで、( a _i )はZ ⁿにあり、各エントリに同じ整数を追加するまで一意に決定されます。

定義により、各アパートメントは必要な形式を持ち、それらの和はX全体となる。2番目の公理は、シュライアーの洗練の議論の変形によって導かれる。最後の公理は、次の形式の有限アーベル群の順序に基づく単純な計数議論によって導かれる。

L + p ^k · L _i / p ^k · L _i

標準的なコンパクト性に関する議論は、Xが実際にはKの選択に依存しないことを示しています。特に、 K = Qとすると、 X は可算であることがわかります。一方、K = Q _pとすると、定義はGL _n ( Q _p ) が建物に対して自然な単体作用を許容することを示しています。

建物には、Z / n Zの値を持つ頂点のラベルが装備されています。実際、参照格子L を固定すると、 Mのラベルは次のように与えられます。

ラベル( M ) = log _p | M / p ^k L | nを法とする

k が十分に大きい場合。 Xの任意の( n – 1)単体の頂点は、 Z / n Z全体を貫く異なるラベルを持ちます。 Xの任意の単体自己同型φは、 label( φ ( M )) = π (label( M ))となるZ / n Zの置換π を定義します。特にGL _n ( Q _p )のgの場合、

label( g · M ) = label( M ) + log _p ‖ det g ‖ _p modulo n .

したがって、gがSL _n ( Q _p )内にある場合、 gはラベルを保存します。

ティッツは、アフィン構築のラベル保存自己同型はSL _n ( Q _p )の要素から生じることを証明した。構築の自己同型はラベルを並べ替えるので、自然な準同型が存在する。

自明X → Sn。_​

GL _n ( Q _p )の作用により、nサイクル τが発生します。建物の他の自己同型は、Dynkin 図の自己同型に関連するSL _n ( Q _p )の外部自己同型から発生します。正規直交基底v _iを持つ標準対称双線型形式をとると、格子をその双対格子に送る写像は、その平方が恒等写像となり、各ラベルをその負の法nに送る置換σ を与える自己同型になります。上記の準同型の像はσとτによって生成され、位数2 nの二面体群D _nと同型です。n = 3のとき、 S ₃全体を与えます。

E がQ _pの有限ガロア拡大であり、建物がSL _n ( Q _p )ではなくSL _n ( E )から構築される場合、ガロア群Gal( E / Q _p )も建物に対して自己同型によって作用します。

球状の建物は、 SL _n ( Q _p )のアフィン建物Xに関連して、2つのまったく異なる方法で発生します。

• アフィン構築における各頂点Lのリンクは、有限体F = R / p · R = Z / ( p )の下でのL / p · Lのサブモジュールに対応します。これは、 SL _n ( F )の球面構築です。
• 建物Xは、 SL _n ( Q _p )の球状の建物を「無限遠」の境界として追加することによってコンパクト化できます（Garrett 1997またはBrown 1989を参照）。

L がアルキメデスの局所体である場合、群SL ₂ ( L )の建物に、複素乗算を伴う建物の追加構造を課すことができます。これらは、Martin L. Brown (Brown 2004) によって初めて導入されました。これらの建物は、Lの二次拡張がベクトル空間L ^{2に作用するときに発生します。これらの複素乗算を伴う建物は、任意のグローバルフィールドに拡張できます。これらは、古典的なモジュラー曲線}X ₀ ( N )上の Heegner 点と Drinfeld モジュラー曲線X上の Hecke 演算子の作用を記述します。^ドリン
₀（I） 。これらの複雑な乗算を伴う建物は、 Brown 2004の SL ₂（L）のケースで完全に分類されています。

ティッツは、階数が 2 より大きい すべての既約球状建物 (つまり有限ワイル群を持つ) は、単純な代数群または古典群に関連付けられていることを証明しました。

同様の結果は、次元が 2 より大きい既約なアフィン ビルディングにも当てはまります (それらのビルディングは「無限遠」ではランクが 2 より大きい球状です)。より低いランクまたは次元では、このような分類はありません。実際、各入射構造はランク 2 の球状ビルディングを与えます (Pott 1995 を参照)。また、Ballmann と Brin は、頂点のリンクが有限射影平面の旗複体に同型であるすべての 2 次元単体複体は、必ずしも古典的なものではなく、ビルディングの構造を持つことを証明しました。多くの 2 次元アフィン ビルディングは、双曲反射群またはオービフォールドと接続された他のよりエキゾチックな構造を使用して構築されています。

ティッツはまた、建物が群内の( B , N )ペアによって記述されるたびに、ほとんどすべての場合において建物の自己同型が群の自己同型に対応することを証明しました (ティッツ 1974 を参照)。

建物の理論は、かなり異なるいくつかの分野で重要な応用があります。すでに述べた一般体および局所体上の簡約代数群の構造との関連に加えて、建物はそれらの表現を研究するためにも使用されます。ティッツによる、その建物による群の決定に関する結果は、ジョージ・モストウとグリゴリー・マーギュリスの剛性定理、およびマーギュリスの算術性 と深い関​​連があります。

離散数学では特殊なタイプの建物が研究されており、単純群を特徴付ける幾何学的アプローチのアイデアは有限単純群の分類で非常に有益であることが証明されています。球面やアフィンよりも一般的なタイプの建物の理論はまだ比較的未発達ですが、これらの一般化された建物は、代数学におけるカッツ・ムーディ群の構築、および位相幾何学と幾何学群論における非正曲面多様体と双曲群にすでに応用されています。

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