本質的な次元

数学において、本質次元は代数群や二次形式などの特定の代数構造に対して定義される不変量である。これはJ. BuhlerとZ. Reichstein ^[1]によって導入され、その最も一般的な定義はA. Merkurjev ^[2] によって行われた。

基本的に、本質的次元は、定義体を介して代数構造の複雑さを測定します。たとえば、体K上の二次形式 q  : V → K (ここでVはKベクトル空間)は、 VのK基底e ₁ ,..., e _nが存在し、 qがLに属するすべての係数a _{ij を}持つ形式で表現できる場合、 KのサブフィールドL上で定義されていると言われます。K が2 と異なる標数を持つ場合、すべての二次形式は対角化可能です。したがって、qにはn個の元によって生成される定義体があります。技術的には、常に (固定された) 基底体k上で作業し、考慮する体KとLにはk が含まれていると想定されます。qの本質的次元は、 qが定義されているKのサブフィールドLのk上の最小超越次数として定義されます。 ${\displaystyle q\left(\sum x_{i}e_{i}\right)=\sum a_{ij}x_{i}x_{j}}$

任意の体k を固定し、Fields / k が、包含を射として持つkの有限生成体拡大のカテゴリを表すものとします。(共変)関手F  : Fields / k → Set を考えます。体拡大K / kとF ( K / k )の元aに対して、 a の定義体は、LをKに含めることによって誘導される写像F ( L / k ) → F ( K / k )の像にaが含まれるような中間体 K / L / k です。

a の本質次元はed ( a ) で表され、 aの定義体の( k上の) 最小の超越次数です。関手Fの本質次元は ed( F ) で表され、 F ( K / k )のすべての元aとFields / kのオブジェクトK / kに対して取られたed( a ) の上限です。

• 二次形式の本質的次元:自然数 nに対して、K上の非退化n次元二次形式の同型類の集合への体拡大K / _kをとり、二次形式 q  : V → Lの同型類を二次形式 の同型類に送る写像への射L / k → K / k ( LをKに含めることによって与えられる) をとる関数Q n  : Fields / k → Setを考える。${\displaystyle q_{K}:V\otimes _{L}K\to K}$
• 代数群の本質的次元: k上の代数群Gを H ¹ (−, G )で表す:体/ k → K / kへの体拡大をとる関手を、 ( fppf位相における) K上のG -トルソルの同型類の集合に設定する。この関手の本質的次元は代数群 G の本質的次元と呼ばれ、ed( G )で表す。
• ファイバー化されたカテゴリーの本質的次元: が、関数によって与えられる、アフィンkスキームのカテゴリー上にファイバー化されたカテゴリーであるとします。たとえば、 は、種数gの曲線のモジュライ スタック、または代数群の分類スタックである可能性があります。それぞれに対して、ファイバーp ⁻¹ ( A ) 内のオブジェクトの同型類が集合を形成すると仮定します。すると、ファイバー内の同型類の集合へのフィールド拡張K / kを取る関数F _p  : Fields / k → Setが得られます。ファイバー化されたカテゴリーの本質的次元は、対応する関数F _pの本質的次元として定義されます。代数群Gの分類スタックの場合、値は、以前に定義されたGの本質的次元と一致します。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle Aff/k}$${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to Aff/k.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {BG}}}$${\displaystyle A\in Aff/k}$${\displaystyle p^{-1}(Spec(K))}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {BG}}}$

• 線型代数群 Gの本質的次元は常に有限であり、ジェネリック自由表現の最小次元からGの次元を引いた値によって制限されます。
• 代数的に閉じた体k上のスピン群Gの場合、本質的な次元はOEIS : A280191に記載されています。
• k上の有限代数p群の本質的次元は、基本体k が原始p乗根1を含む場合、忠実な表現の最小次元に等しくなります。
• 対称群S _n ( k上の代数群として見た)の本質次元は、 n ≤ 5 (すべての基本体kに対して)、n = 6 (標数kが 2 でないとき)、およびn = 7 (標数 0 のとき) に対して既知です。
• T を素数pのべき次のガロア分解体L / kを許容する代数トーラスとします。すると、Tの本質的次元は、有限のコカーネルを持ち、 pと互いに素な位数を持つGal( L / k )-格子P → X ( T )の準同型のカーネルの最小階数に等しくなります。ここで、Pは置換格子です。