佐竹図

リー代数とリー群の数学的研究において、佐竹図は、いくつかの文脈で関連するルート系の対合を分類するディンキン図の一般化である。佐竹図は (1960 年、109 ページ)で導入され、元々は実単純リー代数を分類するために使用された。さらに、対称ペアも分類する。 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$リー代数の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$半単純である。

より具体的には、複雑な半単純リー代数が与えられた場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$佐竹図は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$の Dynkin 図は、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$のルートシステムは、反線形対合自己同型σに拡張される。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[ ^{1 ]}不動点^​$\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\sigma }}$それらは実際の形である${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$同じ佐竹図は、以下の反転も分類します。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$のルートシステムは、 の（線形）対合的自己同型 σ に拡張される。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[ ^{2 ]}不動点^​${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$複素リー部分代数を形成する${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、 となることによって${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$は対称ペアである。

より一般的には、体上の簡約代数群のティッツ指数またはサタケ・ティッツ図は、ティッツ（1966）によって導入されたサタケ図の任意の体への一般化であり、簡約代数群の分類を異方性簡約代数群の分類に還元する。

佐竹図は、見た目は似ているものの、ヴォーガン図とは異なるものである。

Vを実ベクトル空間とする。σ -ルートシステム^{[ 3 ]}${\displaystyle (R,\sigma )}$根系から構成される${\displaystyle R\subset V}$Vを張る、 Vの線形対合σを満たす${\displaystyle \sigma (R)=R}$。

させて${\displaystyle R_{\bullet }\subset R}$σによって固定された根の集合とし、 $${\displaystyle \Sigma$$ :=\left\{{\frac {\alpha -\sigma (\alpha )}{2}}:\alpha \in R\setminus R_{\bullet }\right\}.} Σは制限付きルートシステムと呼ばれます。

σルート系の佐竹図${\displaystyle (R,\sigma )}$は次のようにして得られる。${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$Rの単純根で、${\displaystyle \alpha _{n+1-p},\dots ,\alpha _{n}}$は単純な根です${\displaystyle R_{\bullet }}$τの対合を定義できます${\displaystyle \{1,\dots ,n-p\}}$持つことによって $${\displaystyle \sigma (\alpha _{i})=\alpha _{\tau (i)}+\mathbb {Z} R_{\bullet }\qquad (i=1,\dots ,n-p).}$$サタケ図は、Rを記述する Dynkin 図から、対応する頂点を黒く塗りつぶすことによって得られる。${\displaystyle \alpha _{n+1-p},\dots ,\alpha _{n}}$τによって入れ替わる白い頂点の間に矢印を描くことによって。

荒木（1962 、§5）では、実半単純リー代数（同等に：対称ペア）から生じるすべての佐竹図が証明されている。${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$と${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$半単純) は、

• 同じディンキン図（白い頂点）が2回表示され、矢印が頂点に対応している。
• 以下の図のいずれか：

• コンパクトリー代数は、すべての頂点が黒く塗りつぶされた佐竹図に対応する。これは対称ペアに対応する。${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})}$
• 分割リー代数は、白い（つまり黒く塗られていない）頂点と対になっていない頂点のみを持つ佐竹図に対応する。
• 表は（Onishchik & Vinberg 1994 、表4、pp. 229–230 ）に掲載されている。

佐竹図とヴォーガン図はどちらも、実数体上の半単純リー群または代数（あるいは代数群）を分類するために用いられ、どちらも、節点のサブセットを黒く塗りつぶし、いくつかの頂点のペアを矢印で結ぶことで拡張されたディンキン図から構成されます。ただし、佐竹図は任意の体（上記参照）に一般化でき、ガロアコホモロジーの一般的な枠組みに属しますが、ヴォーガン図は実数体上でのみ定義されます。一般的に言えば、実数体上の半単純リー代数の構造は佐竹図においてより明瞭に表現されますが、分類はヴォーガン図の方が容易です。

本質的な違いは、実半単純リー代数の佐竹図が${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$カルタン対合 θおよび関連するカルタン対${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$（ θの+1および−1固有空間）は、最大限に非コンパクトなθ安定カルタン部分代数から出発して定義される。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$つまり、${\displaystyle \theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}}$可能な限り小さい（上記のプレゼンテーションでは、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$は最大分割トーラスSのリー代数として現れるが、ヴォーガン図は最大コンパクトθ安定カルタン部分代数から定義される。つまり、${\displaystyle \theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}}$可能な限り大きくする。

装飾のないディンキン図（つまり、白いノードのみで矢印のない図）は、佐竹図として解釈するとリー代数の実数分割形式を表すが、ヴォーガン図として解釈するとコンパクト形式を表す。

Gを実数体k上で定義された代数群とする。SをGにおける最大分裂トーラスとし、T をkの可分代数閉包K上で定義されたSを含む最大トーラスとする。このとき、G ( K ) はTの正の根の何らかの選択に関して Dynkin 図式を持つ。この Dynkin 図式はK / kのガロア群の自然な作用を持つ。また、いくつかの単純根はS上で消滅する。Satake –Tits 図式は、 Dynkin 図式Dとガロア群の作用によって与えられ、S上で消滅する単純根は黒色で示される。kが実数体の場合、絶対ガロア群の位数は 2 であり、 D上でのその作用は、 Dynkin 図式の共役点を互いに近づけて描くことによって表され、Satake–Tits 図式は Satake 図式と呼ばれる。

• 相対的な根系
• 既約なシジュウカラ指数のリスト

• バンプ、ダニエル（2004）、「リー群」、Graduate Texts in Mathematics、第 225巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-4757-4094-3、ISBN 978-0-387-21154-1MR 2062813​ 
• ヘルガソン、シグルドゥル（2001）「微分幾何学、リー群、対称空間」、『大学院数学研究』第 34巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、doi：10.1090/gsm/034、ISBN 978-0-8218-2848-9MR 1834454​ 
• Onishchik, AL; Vinberg, Ėrnest Borisovich (1994), Lie groups and Lie algebras III: structure of Lie groups and Lie algebras , Springer, ISBN 978-3-540-54683-2
• 佐竹一郎 (1960)、「対称リーマン空間の表現とコンパクト化について」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、71 (1): 77–110、doi : 10.2307/1969880、ISSN 0003-486X、JSTOR 1969880、MR 0118775   
• 佐竹一郎 (1971)、「半単純代数群の分類理論」、純粋および応用数学講義ノート、第 3巻、ニューヨーク：マルセル・デッカー社、ISBN 978-0-8247-1607-3MR 0316588​ 
• Spindel, Philippe; Persson, Daniel; Henneaux, Marc (2008)、「重力の空間的特異点と隠された対称性」、Living Reviews in Relativity、11 (1): 1、arXiv : 0710.1818、Bibcode : 2008LRR....11....1H、doi : 10.12942/lrr-2008-1、PMC 5255974、PMID 28179821  
• ティッツ、ジャック（1966）「代数的半単純群の分類」、代数群と不連続部分群（純粋数学シンポジウム議事録、コロラド州ボルダー、1965年）、ロードアイランド州プロビデンス：アメリカ数学会、 33～ 62ページ、MR 0224710  
• ティッツ、ジャック (1971)、「Représentations linéaires irréductibles d'un groupe réductif sur un corps quelconque」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1971 (247): 196–220、doi : 10.1515/crll.1971.247.196、ISSN 0075-4102、MR 0277536、S2CID 116999784   
• 荒木昭郎（1962）「既約対称空間のルート系と無限小分類について」大阪市立大学数学雑誌13：1–34。
• Kolb, Stefan (2014 年 12 月). "量子対称 Kac–Moody ペア" . Advances in Mathematics . 267 : 395– 469. arXiv : 1207.6036 . doi : 10.1016/j.aim.2014.08.010 .