コホモロジー不変量

数学において、体上の代数群Gのコホモロジー不変量は、ガロアコホモロジー群に値を取るGの形式の不変量です。

G が体K上で定義された代数群であると仮定し、 Kを含む可分閉体Kを選びます。 KのKへの有限拡大Lに対して、 Γ _{L を}Lの絶対ガロア群とします。最初のコホモロジー H ¹ ( L , G ) = H ¹ ( Γ _L , G ) は、 L上のG -回転子を分類する集合であり、 Lの関数です。

Γ _K加群Mに値をとる次元dのGのコホモロジー不変量は、( Lの) 関数の H ¹ (L, G ) から H ^d (L, M ) への自然変換です。

言い換えれば、コホモロジー不変量は、アーベルコホモロジー群の要素を非アーベルコホモロジー集合の要素に関連付けます。

より一般的には、A が有限生成体の集合への拡大からの任意の関手である場合、Γ 加群Mに値を取る次元dのAのコホモロジー不変量は、 AからH ^d ( L , M ) への (L の)関手の自然変換です。

固定された群Gまたは関数A、次元d、およびガロア加群 Mのコホモロジー不変量は、 Inv ^d ( G、M ) または Inv ^d ( A、M )で表されるアーベル群を形成します。

• Aが、その上のn 次元エタール代数の同型類への体を取る関手であるとします。係数がZ /2のコホモロジー不変量Z は、次数 0、1、2、...、mの要素の基底を持つkのコホモロジー上の自由モジュールです。ここで、 mはn /2の整数部です。
• 二次形式のハッセ−ウィット不変量は、本質的には、順序 2 のグループで値を取る対応するスピン群の次元 2 コホモロジー不変量です。
• G が滑らかな有限中心部分群Cによる群の商である場合、対応する完全列の境界写像はCに値を持つ次元 2 のコホモロジー不変量を与えます。Gが特殊直交群であり、被覆がスピン群である場合、対応する不変量は本質的にハッセ−ウィット不変量です。
• G が特性 2 でない二次形式の直交群である場合、各正の次元に対して、 Z /2 Zの値を持つコホモロジー不変量である Stiefel–Whitney クラスが存在します。(これらは実ベクトル束の位相的Stiefel–Whitney クラスではありませんが、スキーム上のベクトル束に対するそれらの類似物です。) 次元 1 の場合、これは本質的に判別式であり、次元 2 の場合、これは本質的にHasse−Witt 不変量です。
• アラソン不変量 e ₃は、自明な判別式と自明なハッセ−ウィット不変量を持つ偶数次元の二次形式qの次元 3 不変量です。これはZ /2 Zの範囲の値を取ります。次のように、対応するスピン群の次元 3 コホモロジー不変量を構成するために使用できます。u がH ¹ ( K、 Spin( q ))に含まれ、 pがuのH ¹ ( K、 O( q ))の像に対応する二次形式である場合、e ₃ ( p − q ) はu上の次元 3 コホモロジー不変量の値です。
• メルクリェフ−ススリン不変量は、n乗根群のテンソル平方に値を取る、ランクnの中心単純代数の特殊線型群の次元 3 不変量です。n =2 のとき、これは本質的にアラソン不変量です。
• 絶対的に単純な単連結群Gに対して、ロスト不変量はQ / Z (2)の値を取る次元3の不変量であり、ある意味ではアラソン不変量とメルクルジェフ−ススリン不変量をより一般的な群に一般化します。

• ガリバルディ、スキップ、メルクリェフ、アレクサンダー、セール、ジャン＝ピエール（2003）、ガロアコホモロジーにおけるコホモロジー不変量、大学講義シリーズ、第28巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3287-5、MR  1999383
• クヌス、マックス・アルバート、メルクルジェフ、アレクサンダー、ロスト、マルクス、ティニョル、ジャン＝ピエール（1998）、反転の書、コロキウム出版、第44巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0904-0、ZBL  0955.16001
• Serre、Jean-Pierre (1995)、「Cohomologie galoisienne: progrès et problèmes」、Astérisque、Séminaire Bourbaki、Vol. 1993/94年。経験値No. 783、227 : 229–257、MR  1321649