ソクル（数学）

数学において、 socleという用語には関連する意味がいくつかあります。

群論の文脈では、群Gの基底は soc( G ) と表記され、Gの極小正規部分群によって生成される部分群である。群が極小の非自明正規部分群を持たない（つまり、すべての非自明正規部分群が別のそのような部分群を適切に含む）こともあり、その場合、基底は恒等群によって生成される部分群として定義される。基底は極小正規部分群の直積である。^[1]

例として、生成元uを持つ巡回群 Z ₁₂を考えます。この群には 2 つの極小正規部分群があり、1 つはu ⁴によって生成され(3 つの元を持つ正規部分群になります)、もう 1 つはu ^{6によって生成され (2 つの元を持つ正規部分群になります) ます。したがって、} Z ₁₂の基底はu ⁴とu ⁶によって生成される群であり、これはu ²によって生成される群とまったく同じです。

底子は特性部分群であり、したがって正規部分群である。しかし、必ずしも推移的に正規であるわけではない。

群Gが有限 可解群である場合、その基底は基本アーベル p群の積として表すことができます。したがって、この場合、それはさまざまなpに対するZ / p Zのコピーの積にすぎず、同じp が積に複数回出現する場合があります。

加群論と環論の文脈では、環R上の加群Mの基底は 、Mの最小の非ゼロ部分加群の和として定義されます。これは、加群の根基の概念と双対であると考えられます。集合記法では、

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\sum _{N{\text{ は }}M}N の単純なサブモジュールです。}$

同様に、

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\bigcap _{E{\text{ は }}M}E の必須サブモジュールです。}$

環 Rの底は、環内の 2 つの集合のうちの 1 つを参照できます。R を右 R 加群と考えると、soc ( R R ₎が定義され、R を左R加群と考えると、soc( _R R ) が定義されます。これらの底は両方とも環イデアルであり、必ずしも等しくないことが知られています。

• M がアルティン加群である場合、 soc( M ) 自体はMの本質的部分加群である。

実際、M が半アルティニアン加群である場合、 soc( M ) はそれ自体がMの本質的部分加群です。さらに、M が左半アルティニアン環上の非ゼロ加群である場合、 soc( M ) はそれ自体がMの本質的部分加群です。これは、左半アルティニアン環上の任意の非ゼロ加群が半アルティニアン加群であるためです。

• モジュールが半単純 であるのは、 soc( M ) =  Mの場合のみです。すべてのMに対してsoc( M ) =  Mとなる環は、まさに半単純環です。
• soc(soc( M )) = soc( M ) です。
• Mが有限共生成加群となるのは、 soc( M ) が有限生成であり、 soc( M ) がMの本質的部分加群である場合に限ります。
• 半単純モジュールの和は半単純であるため、モジュールの基底は唯一の最大半単純サブモジュールとして定義することもできます。
• rad( R )の定義から、rad( R )がsoc( R )を消滅させることは容易に分かる。Rが有限次元単位代数でMが有限生成R加群であれば、socleはRのヤコブソン根号によって消滅する要素から正確に構成される。^[2]

リー代数の文脈では、対称リー代数の基底は、その構造自己同型の固有空間であり、固有値−1に対応する 。（対称リー代数は、その基底と余基の直和に分解される。）^[3]

• 入射包
• モジュールの根号
• コソクル

• Alperin, JL ;ベル、ローウェン B. (1995)。グループと表現。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 136.ISBN​ 0-387-94526-1。
• アンダーソン、フランク・ワイリー; フラー、ケント・R. (1992)。環とモジュールのカテゴリ。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-0-387-97845-1。
• ロビンソン、デレク JS (1996)、「群論のコース」、Graduate Texts in Mathematics、第80巻（第2版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. xviii+499、doi：10.1007/978-1-4419-8594-1、ISBN 0-387-94461-3、MR  1357169

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