通約可能性（群論）

数学、特に群論においては、2 つの群が厳密には有限量だけ異なる場合、それらの群は通約可能である。部分群の通約子は、正規化子に関連する別の部分群である。

2つの群 G ₁とG _2は、有限指数の部分群H ₁ ⊂ G ₁とH ₂ ⊂ G _{2が存在し、} H _{1 が}H ₂と同型であるとき、（抽象的に）通約可能であると言われる。^[1]例えば：

• 群が有限であるためには、それが自明な群と通約可能である必要がある。
• 少なくとも2つの生成元上の任意の2つの有限生成自由群は互いに通約可能である。^[2]群SL (2, Z )もこれらの自由群と通約可能である。
• 種数が 2 以上の任意の2 つの曲面群は互いに通約可能である。

与えられた群の部分群には、異なるが関連する概念が用いられる。すなわち、群Gの 2 つの部分群 Γ ₁と Γ _2は、交差Γ ₁ ∩ Γ _{2が Γ 1}と Γ ₂の両方において有限の指数を持つ場合、通約可能であると言われる。明らかに、これは Γ ₁と Γ ₂が抽象的に通約可能であることを意味する。

例: 非ゼロの実数 aとbについて、 aによって生成されるR の部分群がbによって生成される部分群と通約可能であるのは、実数aとbが通約可能である場合^{(さらに説明が必要)であり、これは}a / b が有理数Qに属することを意味します。

幾何学的群論では、有限生成群は計量という語を用いて計量空間としてみなされる。2つの群が（抽象的に）通約可能である場合、それらは準等長的である。^[3]逆が成り立つのはいつかを問うことは有益であった。

線型代数にも類似の概念があります。ベクトル空間Vの2 つの線型部分空間 SとT は、交差S ∩ T がSとT の両方で有限の余次元を持つ場合、通約可能です。

2 つの経路連結な 位相空間は、同相な有限シート被覆空間を持つ場合、通約可能と呼ばれることがあります。検討中の空間の種類に応じて、定義で同相ではなくホモトピー同値または微分同相を使用する必要がある場合があります。被覆空間と基本群の関係により、通約可能な空間は通約可能な基本群を持ちます。

例:ギーゼキング多様体は8の字結び目の補集合と通約可能である。これらは両方とも有限体積の非コンパクトな 3次元双曲多様体である。一方、コンパクトな3次元双曲多様体や有限体積の非コンパクトな3次元双曲多様体には、無限に多くの異なる通約性類が存在する。^[4]

群Gの部分群 Γ のコメンシュレータは、Comm _G (Γ) と表記され、共役部分群g Γ g ⁻¹が Γ とコメンシュラブルであるようなGの元gの集合である。^[5] 言い換えれば、

${\displaystyle \operatorname {Comm} _{G}(\Gamma )=\{g\in G:g\Gamma g^{-1}\cap \Gamma {\text{ は }}\Gamma {\text{ と }}g\Gamma g^{-1}\} の両方で有限のインデックスを持ちます。}$

これは正規化元N _G (Γ)を含む(したがって Γ を含む) Gのサブグループです。

例えば、特殊線型群 SL ( n , Z ) のSL ( n , R ) におけるコメンシュレータはSL ( n , Q )を含む。特に、SL ( n , Z )のSL ( n , R )におけるコメンシュレータはSL ( n , R )において稠密である。より一般的には、グリゴリー・マーギュリスは、半単純リー群Gにおける格子ΓのコメンシュレータがGにおいて稠密であるための必要十分条件は、 Γ がGの算術部分群である場合であることを示した。^[6]

群の抽象コメンシュレータ（Comm と表記）は、同型 の同値類の群であり、 およびは合成のもとでの の有限指数部分群である。 ^[7]の元はのコメンシュレータと呼ばれる。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle (G)}$${\displaystyle \phi :H\to K}$${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{通信}}(G)}$${\displaystyle G}$

がと同型でない連結半単純リー群であり、中心が自明でコンパクト因子がない場合、モストウの剛性定理により、任意の既約格子の抽象コメンシュレータは線形になります。さらに、 が算術的である場合、Comm はの稠密部分群と事実上同型であり、そうでない場合は、Comm はと事実上同型です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma \leq G}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle (\Gamma )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (\Gamma )}$${\displaystyle \ガンマ}$

• Druțu, Cornelia ; Kapovich, Michael (2018)、幾何群論、アメリカ数学会、ISBN 9781470411046、MR  3753580
• マクラクラン、コリン; リード、アラン W. (2003)、双曲型 3 次元多様体の算術、Springer Nature、ISBN 0-387-98386-4、MR  1937957
• マルグリス、グリゴリー（1991）、半単純リー群の離散部分群、シュプリンガーネイチャー、ISBN 3-540-12179-X、MR  1090825