メタプレクティックグループ

数学において、メタプレクティック群Mp _{2 n は}、シンプレクティック群Sp _{2 n}の二重被覆である。これは、実数またはp進数上で定義できる。より一般的には、任意の局所体または有限体の場合、さらにはアデール環の場合も、その構成はカバーする。

メタプレクティック群には、特に重要な無限次元線型表現であるヴェイユ表現がある。^[1]これはアンドレ・ヴェイユがシータ関数の表現論的解釈を与えるために使用し、半整数重みのモジュラー形式やシータ対応の理論において重要である。

シンプレクティックリー群の基本群Sp 2n ₍ R )は無限巡回群であるため、一意の連結二重被覆を持ちます。これは Mp _{2 n} ( R ) で表され、メタプレクティック群と呼ばれます。

メタプレクティック群 Mp ₂ ( R ) は行列群ではありません。忠実な有限次元表現を持ちません。したがって、その明示的な実現の問題は自明ではありません。以下に説明する Weil 表現など、忠実な既約無限次元表現を持ちます。

F がC以外の任意の局所体である場合、シンプレクティック群 Sp _{2 n} ( F )は、核Z /2 Zを持つ唯一の完全な 中心拡大、つまり位数 2 の巡回群を許容することが証明でき、これはF上のメタプレクティック群と呼ばれます。これは、 F = Rの場合に使用される 2 重被覆の位相概念の代数的置き換えとして機能します。中心拡大の概念によるアプローチは、特定のコサイクルを介して群演算を記述できるため、実メタプレクティック群の場合でも有用です。

n = 1の場合、シンプレクティック群は特殊線型群 SL ₂ ( R )と一致する。この群は、メビウス変換などの分数線型変換によって複素上半平面に双正則に作用する。

${\displaystyle g\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}}$

どこ

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$

は単位行列式を持つ実2行2列行列であり、zは上半平面にあり、この作用はSL ₂ ( R )のメタプレクティック被覆を明示的に構築するために使用できます。

_{メタプレクティック群 Mp 2} ( R )の元は( g , ε ) のペアであり、ε は上半平面上の正則関数で、 となる。乗法則は 次のように定義される。${\displaystyle g\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \epsilon (z)^{2}=cz+d=j(g,z)}$

${\displaystyle (g_{1},\epsilon _{1})\cdot (g_{2},\epsilon _{2})=(g_{1}g_{2},\epsilon ),}$ どこ${\displaystyle \epsilon (z)=\epsilon _{1}(g_{2}\cdot z)\epsilon _{2}(z).}$

この積が明確に定義されていることは、コサイクル関係から明らかである。写像 ${\displaystyle j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)}$

${\displaystyle (g,\epsilon )\mapsto g}$

_{はMp 2} ( R )からSL ₂ ( R )への全射であり、連続断面を許容しない。したがって、後者のグループの非自明な2重被覆を構築した。

まず、なぜヴェイユ表現が存在するのかという抽象的な理由を述べる。ハイゼンベルク群はヒルベルト空間上に既約なユニタリ表現を持つ。つまり、 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \rho :\mathbb {H} (V)\longrightarrow U({\mathcal {H}})}$

中心は与えられた非ゼロの定数として働く。ストーン・フォン・ノイマンの定理は、この表現が本質的に一意であることを述べている。もしが別のそのような表現であるならば、自己同型が存在する。 ${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \psi \in U({\mathcal {H}})}$となる。${\displaystyle \rho '=\operatorname {Ad} _{\psi }(\rho )}$

そして共役自己同型は射影的に一意、つまり乗法係数 1 定数まで一意です。したがって、中心の単位元を誘導するハイゼンベルク群の任意の自己同型は、この表現に作用します。正確に言うと、作用は非ゼロ定数による乗算までのみ明確に定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

ハイゼンベルク群の自己同型（中心を固定）はシンプレクティック群 を形成するため、一見するとこれは へのシンプレクティック群の作用を与えるように見えます。しかし、作用は非ゼロの定数による乗算までしか定義されません。言い換えれば、群の自己同型をクラス にマップすることしかできません。そのため、シンプレクティック群から の射影ユニタリ群への準同型、つまり射影表現 のみが得られます。次に、射影表現の一般理論を適用して、へのシンプレクティック群のある中心拡大の作用を与えます。計算により、この中心拡大は二重被覆と見なすことができ、この二重被覆がメタプレクティック群であることが示されます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle [\psi ]\in \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

_{ここで、最も単純な Mp 2} ( R )の場合のより具体的な構成を示します。ヒルベルト空間Hは、実数上のすべてのL ²関数の空間です。ハイゼンベルク群は、平行移動と、 y が実数であるxの関数e ^ixyによる乗算によって生成されます。次に、 Hへのメタプレクティック群の作用は、フーリエ変換と、 y が実数であるxの関数 exp( ix ² y )による乗算によって生成されます。

ヴェイユは、任意の局所コンパクトアーベル群Gを置き換えることによって上記の理論を拡張する方法を示した。これは、ポンチャギン双対性によりその双対（指標群）と同型である。すると、ヒルベルト空間H は、 G上のすべてのL ²関数の空間となる。ハイゼンベルク群（の類似体）は、 Gの元による平行移動と、双対群の元（Gから単位円への関数として考えられる）による乗算によって生成される。ハイゼンベルク群に作用するシンプレクティック群の類似体があり、この作用はH上の射影表現に持ち上げられる。シンプレクティック群の対応する中心拡大は、メタプレクティック群と呼ばれる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

この構造の重要な例をいくつか挙げます。

• G はn次元の実数上のベクトル空間です。これにより、シンプレクティック群Sp _{2 n} ( R )の二重被覆であるメタプレクティック群が得られます。
• より一般的には、G はn次元の任意の局所体 F上のベクトル空間となり、シンプレクティック群 Sp _{2 n} ( F )の二重被覆であるメタプレクティック群が得られる。
• G は数体（または大域体）のアデール上のベクトル空間です。このケースは、保型形式に対する表現論的アプローチで使用されます。
• Gは有限群である。対応するメタプレクティック群も有限であり、中心被覆は自明である。このケースは格子のシータ関数の理論で使用され、通常、 G は偶格子の判別群となる。
• 有限体上の線型（射影的ではない）ヴェイユ表現の存在に関する現代的な観点、すなわちそれが標準的なヒルベルト空間実現を許容するという観点は、デイヴィッド・カズダンによって提唱された。ジョセフ・バーンスタインによって提案された標準的な絡み合い演算子の概念を使用して、そのような実現はグレヴィッチ・ハダニによって構築された。^[2]

• ハイゼンベルク群
• 発振器の表現
• メタプレクティック構造
• 還元的双対
• スピングループ、もう一つのダブルカバー
• シンプレクティック群
• シータ関数

• ハウ、ロジャー; タン、エン・チェイ (1992)、非アーベル調和解析。SL(2, R )の応用、Universitext、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-97768-3
• ライオン、ジェラール、ヴェルニュ、ミシェル（1980）、ヴァイル表現、マスロフ指数およびシータ級数、数学の進歩、第6巻、ボストン：ビルクハウザー
• Weil、André (1964)、「Sur specifics groupes d'opérateurs unaires」、Acta Math。、111 : 143–211、土井: 10.1007/BF02391012
• Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (2006)、「幾何学的 Weil 表現」、Selecta Mathematica、新シリーズ、arXiv : math/0610818、Bibcode :2006math.....10818G
• Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (2005)、有限体上のシンプレクティックベクトル空間の正準量子化、arXiv : 0705.4556

• ワイスマン、マーティン H. ( 2023年 5 月)。「メタプレクティック グループとは何か?」(PDF)。アメリカ数学会の通知。70 (5): 806–811。doi : 10.1090/noti2687。