等方性二次形式

数学では、体F上の二次形式は、その形式がゼロに評価される非ゼロベクトルが存在する場合、等方性であると言われます。そうでない場合は、定二次形式です。より明確には、q がF上のベクトル空間V上の二次形式である場合、 V内の非ゼロベクトルv は、 q ( v ) = 0であれば等方性であると言われます。二次形式が等方性であるためには、その二次形式に対して非ゼロ等方性ベクトル (またはヌルベクトル)が存在する必要があります。

( V , q )が2次空間で、W がVの部分空間であるとする。Wは、その中のあるベクトルが等方性である場合にVの等方性部分空間と呼ばれ、その中のすべてのベクトルが等方性である場合に完全等方性部分空間と呼ばれ、等方性ベクトル（非ゼロ）をまったく含まない場合に確定部分空間と呼ばれる。二次空間の等方性指数は、完全に等方的な部分空間の次元の最大値である。^[1]

より一般的には、二次形式が非退化で、符号が ( a , b )である場合、その等方性指数はaとbの最小値です。実数上の等方形式の重要な例は、擬ユークリッド空間で発生します。

F を特性数が 2 でない体とし、 V = F ²とする。 Vの一般元( x , y )を考えると、二次形式q = xyとr = x ² − y ^{2 は}同値である。これは、 V上にq をrのように見えさせる線形変換があり、その逆もまた成り立つからである。明らかに、( V , q )と( V , r )は等方性である。この例は、二次形式の理論では双曲平面と呼ばれる。一般的な例では、F =実数であり、その場合{ x ∈ V  : q ( x ) = 非ゼロの定数}と{ x ∈ V  : r ( x ) = 非ゼロの定数}は双曲線である。特に、{ x ∈ V  : r ( x ) = 1}は単位双曲線である。ミルナーとヒューセモラー^{[1] :9}は双曲平面上で二変量多項式rの項の符号を示す ために⟨1⟩⊕⟨−1⟩という表記法を使用している。

アフィン双曲面はエミール・アルティンによって、 M ² = N ² = 0, NM = 1を満たす基底{ M、N }を持つ二次空間として記述され、積は二次形式を表す。^[2]

偏光恒等式を通して、二次形式は対称双一次形式 B ( u , v ) = ⁠と関連している。1/4⁠ ( q ( u + v ) − q ( u − v ) )。

2つのベクトルuとv は、B ( u , v ) = 0のとき直交します。双曲平面の場合、このようなuとvは双曲直交です。

二次形式の空間が分割（または代謝）されるとは、それ自身の直交補空間に等しい部分空間が存在する場合である。つまり、等方性の指数は次元の半分に等しい。^{[1] : 57}双曲平面はその一例であり、特性が2に等しくない体上では、すべての分割空間は双曲平面の直和である。^{[1] : 12, 3}

2次形式の分類の観点からは、定常2次形式を持つ空間は、任意の次元の2次空間の基本的な構成要素である。一般体Fの場合、定常2次形式の分類は重要な問題である。対照的に、等方形式は通常、扱いがはるかに簡単である。ウィットの分解定理によれば、体上のすべての内積空間は、分割空間と定常2次形式を持つ空間の直交直和である。^{[1] ：56}

• F が代数的に閉じた体、たとえば複素数体であり、( V , q ) が少なくとも 2 次元の二次空間である場合、それは等方性です。
• F が有限体であり、( V、q ) が少なくとも 3 次元の二次空間である場合、それは等方性です (これは、シュヴァレー-ワーニングの定理の結果です)。
• F がp進数の体Q _pであり、( V、q ) が少なくとも 5 次元の二次空間である場合、それは等方性です。

• 等方性線
• 極地
• ウィットグループ
• ウィットリング（フォーム）
• 普遍的な二次形式

• Pete L. Clark、「Quadratic forms chapter I: Witts theory」(フロリダ州コーラルゲーブルズにあるマイアミ大学より)
• Tsit Yuen Lam (1973)二次形式の代数理論、§1.3 双曲平面と双曲空間、WA Benjamin。
• Tsit Yuen Lam (2005) Introduction to Quadratic Forms over Fields、アメリカ数学会 ISBN 0-8218-1095-2。 
• O'Meara, OT (1963).二次形式入門. Springer-Verlag . p. 94 §42D 等方性. ISBN 3-540-66564-1。
• セール、ジャン＝ピエール（2000）[1973]。算数コース。数学の大学院テキスト：数学の古典。第7巻（第3版の再版）。シュプリンガー出版社。ISBN 0-387-90040-3.ZBL1034.11003  。​