単位（環論）

代数学において、環の単位元または可逆元^{[ a ]}とは、環の乗法に関して可逆な元のことである。つまり 、環Rの元uは、 Rの中にvが存在して、$${\displaystyle vu=uv=1,}$$ ここで1は乗法単位元です。要素vはこの性質に対して一意であり、uの乗法逆元と呼ばれます。^{[ 1 ] [ 2 ]} Rの単位の集合は乗法に関してR ^{× という}群を形成し、 Rの単位群または単位群と呼ばれます。^{[ b ]} 単位群の他の表記法は、 R ^∗、U( R )、およびE( R ) (ドイツ語のEinheitから) です。

あまり一般的ではありませんが、 「単位」という用語は、リングの要素1を指す場合にも使用されることがあり、「単位を持つリング」や「単位リング」などの表現や、「単位行列」などが含まれます。このような曖昧さがあるため、1は一般的にリングの「単位元」または「恒等元」と呼ばれ、「単位元を持つリング」または「恒等元を持つリング」という表現は、乱数生成器ではなくリングを考えていることを示すために使用されることがあります。

乗法単位元1とその加法逆元−1は常に単元です。より一般的には、環Rの任意の 1 の根は単元です。r n = 1 の場合、 r n ⁻¹は^rの乗法逆元です。非零環では、要素 0^は単元ではないため、R ^{× は}加法に関して閉じていません。すべての非零要素が単元である非零環R (つまり、R ^× = R ∖ {0} ) は、除法環(または斜体)と呼ばれます。可換除法環は体と呼ばれます。たとえば、実数体Rの単元群はR ∖ {0}です。

可換環は、R ∖ R ^×が極大イデアルである場合、局所環である。

結果として、R ∖ R ^×がイデアルであれば、それは必然的に極大イデアルであり、極大イデアルはR ^×と互いに素であるため、Rは局所的である。

Rが有限体である場合、R ^{× は}位数| R | − 1の巡回群である。

すべての環準同型f  : R → S は群準同型R ^× → S ^×を誘導します。なぜなら、 f は単位元を単位元に写像するからです。実際、単位群の形成は、環の圏から群の圏への関手を定義します。この関手は、整群環構成である左随伴関手を持ちます。^{[ 7 ]}

グループ制度${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}}$乗法群スキームと同型である${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$任意の基底上で、したがって任意の可換環Rに対して、群は${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R)}$そして${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)}$U ( R )と正準的に同型である。関手は${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$（つまり、R ↦ U ( R )）は、次の意味で表現可能である。${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)}$可換環Rの場合(これは、例えば、前述の群環構成との随伴関係から導かれる)。具体的には、環準同型の集合と自然な全単射が存在することを意味する。${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R}$そしてRの単位要素の集合(対照的に、${\displaystyle \mathbb {Z} [t]}$添加グループを表す${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$（可換環の圏からアーベル群の圏への忘却関手）。

Rが可換であると仮定します。Rの要素rとs は、Rにr = usとなるような単位u が存在する場合、 r ~ sと書きます。任意の環では、加法逆元[ ^{c ] x}と−xのペアは同値です。これは、任意の環が単位−1。たとえば、6 と −6 はZで同値です。一般に、~R上の同値関係です。

関連性は、乗算によるR ^×のRへの作用という観点からも説明できます。 Rの 2 つの要素は、同じR ^× -軌道にある場合に関連付けられます。

整域では、与えられた非ゼロ要素の関連要素の集合はR ^×と同じ濃度を持つ。

同値関係~は、可換環Rの乗法半群に特化したグリーンの半群関係のいずれかと見なすことができる。

• S単位
• リングとモジュールの位置特定