シューア代数

数学において、イサイ・シューアにちなんで名付けられたシューア代数は、一般線型群と対称群の間のシューア・ワイル双対性と密接に関連する有限次元代数である。それらは、これら2つの群の表現論を関連付けるために使用される。それらの使用は、1980年に最初に出版されたJAグリーンの影響力のあるモノグラフによって促進された。 ^[1]「シューア代数」という名前はグリーンによる。モジュラーケース（正特性の無限体上）では、シューア代数はゴードン・ジェームズとカリン・エルドマンによって使用され、一般線型群と対称群の分解数を計算する（まだ未解決の）問題が実際には同等であることが示された。 ^{[2]シューア代数は、有限}群スキームのコホモロジーの有限生成を証明するためにフリードランダーとススリンによって使用された。^[3]

シュアー代数は任意の可換環と整数に対して定義できます。可換変数, 1 ≤ i , j ≤における多項式(の係数を持つ)の代数を考えます。次数の斉次多項式を で表します。 の元は、生成元を掛け合わせて形成される単項式のk線型結合です(繰り返しを許容)。したがって ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n,r\geq 0}$ ${\displaystyle k[x_{ij}]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle x_{ij}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{k}(n,r)}$ ${\displaystyle r}$${\displaystyle A_{k}(n,r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x_{ij}}$

${\displaystyle k[x_{ij}]=\bigoplus _{r\geq 0}A_{k}(n,r).}$

さて、は、生成元によって与えられる代数準同型 を余乗法と余単位法で自然に余代数構造に持つ。${\displaystyle k[x_{ij}]}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \Delta (x_{ij})=\textstyle \sum _{l}x_{il}\otimes x_{lj},\quad \varepsilon (x_{ij})=\delta _{ij}\quad }$    （クロネッカーのデルタ）。

余乗法は代数準同型なので、は双代数です。任意のr  ≥ 0 に対して、が双代数 の部分余代数 であることは簡単に確認できます。${\displaystyle k[x_{ij}]}$${\displaystyle A_{k}(n,r)}$${\displaystyle k[x_{ij}]}$

定義。シューア代数（次数）は代数 です。つまり、は の線型双対です。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle S_{k}(n,r)=\mathrm {Hom} _{k}(A_{k}(n,r),k)}$${\displaystyle S_{k}(n,r)}$${\displaystyle A_{k}(n,r)}$

余代数の線型双対は自然な形で代数であり、代数における乗法は余代数の余乗法を双対化することによって誘導されるというのは一般的な事実である。これを確かめるために、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Delta (a)=\textstyle \sum a_{i}\otimes b_{i}}$

そして、上の線形関数が与えられたとき、それらの積を次のように定義する。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \textstyle a\mapsto \sum f(a_{i})g(b_{i}).}$

この関数の乗算の単位元は の余単位元です。 ${\displaystyle A}$

• 最も基本的な性質の1つは、中心化代数として表現されます。を 上の階数列ベクトルの空間とし、テンソル冪を形成する${\displaystyle S_{k}(n,r)}$${\displaystyle V=k^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle V^{\otimes r}=V\otimes \cdots \otimes V\quad (r{\text{ factors}}).}$

すると文字上の対称群は テンソル空間に位置置換によって自然に作用し、同型性が得られる。 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{r}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle S_{k}(n,r)\cong \mathrm {End} _{{\mathfrak {S}}_{r}}(V^{\otimes r}).}$

言い換えれば、 は対称群の作用と可換なテンソル空間 の自己準同型の代数として見ることができます。 ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$

• ${\displaystyle S_{k}(n,r)}$は二項係数によって与えられる階数上で自由です。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\tbinom {n^{2}+r-1}{r}}}$
• のさまざまな基数が知られており、その多くは の形状の半標準ヤングの表のペアによってインデックス付けされ、 がを最大で 個の部分に分割する集合上で変化するためです。${\displaystyle S_{k}(n,r)}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$
• kが無限体の場合、 は、に作用する一般線型群の作用に対する包絡代数 (H. Weyl の意味で) と同一視されることもあります (行列乗算によって与えられる への自然な作用から誘導されるテンソルへの対角作用を介して)。${\displaystyle S_{k}(n,r)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle V^{\otimes r}}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle V=k^{n}}$
• シューア代数は「整数上で定義される」。つまり、次のスカラー変換プロパティを満たすということです。

${\displaystyle S_{k}(n,r)\cong S_{\mathbb {Z} }(n,r)\otimes _{\mathbb {Z} }k}$

任意の可換環に対して。${\displaystyle k}$

• ^{シューア代数は、クライン、パーシャル、スコットによって定義された準遺伝的代数[4]}の自然な例を提供し、したがって優れたホモロジー特性を持っています。特に、シューア代数は有限の大域次元を持っています。

• 一般化されたシューア代数（任意の簡約代数群に関連付けられている）は、1980年代にドンキンによって導入されました。^[5]これらも準遺伝的です。
• 同じ頃、ディッパーとジェームズ^[6]は量子化シュアー代数（または略してq-シュアー代数）を導入した。これは、上記の古典的なシュアー代数のq変形の一種であり、対称群が対応するヘッケ代数に置き換えられ、一般線形群が適切な量子群に置き換えられている。
• 一般化されたq-シューア代数も存在する。これは、ドンキンが古典的なシューア代数を一般化したのと同じ方法で、ディッパーとジェームズの研究を一般化することによって得られる。^[7]
• さらに、アフィンカッツ-ムーディリー代数に関連するアフィンq-シューア代数^[8]などの一般化や、有木-小池代数（特定の複素反射群のq変形）に関連する円分q-シューア代数^[9]などの一般化があります。

これらのさまざまな一般化のクラスの研究は、現代の研究の活発な領域を形成しています。

• スチュアート・マーティン『シューア代数と表現理論』ケンブリッジ大学出版局、1993年。MR 2482481、ISBN 978-0-521-10046-5 
• アンドリュー・マサス、「対称群の岩堀-ヘッケ代数とシューア代数」、大学講義シリーズ、第 15 巻、アメリカ数学会、1999 年。MR 1711316、ISBN 0-8218-1926-7 
• ヘルマン・ワイル『古典群。その不変量と表現』プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州、1939年。MR 0000255、ISBN 0-691-05756-7