ルートデータム

数学の群論において、体上の連結な分割簡約代数群のルートデータは、同型性まで群を決定するルートシステムの一般化である。これらは、1970年に出版されたSGA IIIでミシェル・デマズールによって導入された。

ルートデータは4つの要素から構成される

${\displaystyle (X^{\ast },\Phi ,X_{\ast },\Phi ^{\vee })}$、

どこ

• ${\displaystyle X^{\ast}}$およびは有限ランクの自由アーベル群であり、それらの間には完全なペアリングがあり、それらの値は ( , ) で表されます (言い換えると、それぞれが他方の双対と同一視されます)。${\displaystyle X_{\ast}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \Phi}$は の有限部分集合であり、 はの有限部分集合であり、からへの全単射が存在し、 によって表される。${\displaystyle X^{\ast}}$${\displaystyle \Phi ^{\vee}}$${\displaystyle X_{\ast}}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \Phi ^{\vee}}$${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\vee }}$
• それぞれについて、.${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{\vee })=2}$
• 各 に対して、写像はルートデータの自己同型写像​​を誘導する（言い換えれば、は に写像し、への誘導された作用は に写像する）${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle x\mapsto x-(x,\alpha ^{\vee })\alpha }$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle X_{\ast}}$${\displaystyle \Phi ^{\vee}}$${\displaystyle \Phi ^{\vee}}$

の要素はルート データのルートと呼ばれ、 の要素はコルートと呼ばれます。 ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \Phi ^{\vee}}$

いずれの に対してもが含まれない場合、ルート データは簡約 と呼ばれます。 ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle 2\alpha}$${\displaystyle \alpha \in \Phi }$

が分割最大トーラスを持つ代数閉体上の簡約代数群である場合 、そのルートデータは四重項である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$、

どこ

• ${\displaystyle X^{*}}$は最大トーラスの指標の格子であり、
• ${\displaystyle X_{*}}$は双対格子（1パラメータ部分群によって与えられる）であり、
• ${\displaystyle \Phi}$ルートの集合であり、
• ${\displaystyle \Phi ^{\vee}}$対応するコルートの集合です。

上の連結な分割簡約代数群は 、そのルート データによって一意に決定されます (同型性を除く)。ルート データは常に簡約されます。逆に、任意のルート データに対して簡約代数群が存在します。ルート データには、群の中心も決定されるため、ディンキン図よりも少し多くの情報が含まれています。 ${\displaystyle K}$

任意のルート データに対して、1 パラメータ サブグループの文字を交換し、コルートのルートを交換することで、 デュアル ルート データを定義することができます。${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$ ${\displaystyle (X_{*},\Phi ^{\vee },X^{*},\Phi )}$

が代数的に閉体上の連結簡約代数群である場合、そのラングランズ双対群は、ルートデータが のルートデータと双対である複素連結簡約群です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {}^{L}G}$${\displaystyle G}$

• ミシェル・デマズール、SGA 3 巻 3 の Exp. XXI
• TA Springer、Reduction groups、保型形式、表現、および L 関数の第 1 巻ISBN  0-8218-3347-2