コクセター要素

数学において、コクセター元は、すべての単純な反射の積である既約コクセター群の元である。積はそれらが取られる順序に依存するが、異なる順序は同じ順序を持つ共役元を生成する。この順序はコクセター数として知られている。これらは、1934年に反射群の抽象化として群を導入した英国系カナダ人の幾何学者HSMコクセターにちなんで名付けられている。^[1]

この記事では有限Coxeter 群を前提としていることに注意してください。無限 Coxeter 群の場合、Coxeter 元の共役類は複数存在し、それらの順序は無限です。

既約ルート系の Coxeter 数hを定義する方法は多数あります。

• コクセター数は、任意のコクセター要素の順序です。
• コクセター数は⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2m}{n}},}$で、 nは階数、m は反射の数です。結晶学の場合、m は根の数の半分であり、2 m + n は対応する半単純リー代数の次元です。
• 最も高い根が単純根α _iの場合、コクセター数は${\displaystyle \sum m_{i}\alpha _{i}}$${\displaystyle 1+\sum m_{i}.}$
• コクセター数は、多項式に作用するコクセター群の基本不変量の最高次数です。

各 Dynkin タイプの Coxeter 番号は次の表に示されています。

多項式に作用する Coxeter 群の不変量は、その生成元が基本不変量である多項式代数を形成します。それらの次数は上記の表に示されています。mが基本不変量の次数である場合、 h + 2 − m も基本不変量の次数であることに注意してください。

コクセター要素の固有値は、 m が基本不変量の次数を通過するときの数値です。これはm = 2から始まるため、これらには原始h乗根 (単位元) が含まれます。これは、以下のコクセター平面で重要です。 ${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {m-1}{h}}}}$${\displaystyle \zeta _{h}=e^{2\pi i{\frac {1}{h}}},}$

双対コクセター数は、双対根系の最も高い短根における単純根の係数の合計に 1 を加えたものです。

コクセター群の位数gとコクセター数hの間には関係がある: ^[3] $${\displaystyle {\begin{aligned}{}[p]:&\quad {\frac {2h}{g_{p}}}=1\\[4pt][p,q]:&\quad {\frac {8}{g_{p,q}}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2}{q}}-1\\[4pt][p,q,r]:&\quad {\frac {64h}{g_{p,q,r}}}=12-p-2q-r+{\frac {4}{p}}+{\frac {4}{r}}\\[4pt][p,q,r,s]:&\quad {\frac {16}{g_{p,q,r,s}}}={\frac {8}{g_{p,q,r}}}+{\frac {8}{g_{q,r,s}}}+{\frac {2}{ps}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}+1\\[4pt]\vdots \qquad &\qquad \vdots \end{aligned}}}$$

例えば、[3,3,5]はh = 30です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {64\times 30}{g_{3,3,5}}}=12-3-6-5+{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}={\frac {2}{15}},\\[4pt]&\therefore g_{3,3,5}={\frac {1920\times 15}{2}}=960\times 15=14400.\end{aligned}}}$$

個別のコクセター元は、コクセター図の向き（すなわち、ディンキンの矢筒）に対応している。つまり、ソース頂点に対応する単純な反射が最初に書き込まれ、下流の頂点が後で、シンクが最後に書き込まれる。（隣接しない頂点間の順序の選択は、可換反射に対応するため無関係である。）特別な選択は、単純な反射が隣接しない頂点の2つのセットに分割され、すべての辺が最初のセットから2番目のセットの方向に向けられる、交互の向きである。^[4]交互の向きは、コクセター数hが偶数である場合に、w ₀が最長の要素である、を満たす特別なコクセター元wを生成する。 ${\displaystyle w^{h/2}=w_{0},}$

n個の元を持つ対称群の場合、コクセター元は特定のnサイクルです。単純な反射の積はコクセター元です。^[5] nが偶数の場合、交互配向コクセター元は次のようになります。n サイクルの中には異なるコクセター元が 存在します。 ${\displaystyle A_{n-1}\cong S_{n},}$${\displaystyle (1,2)(2,3)\cdots (n-1,n)}$${\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)}$$${\displaystyle (1,2)(3,4)\cdots (2,3)(4,5)\cdots =(2,4,6,\ldots ,n{-}2,n,n{-}1,n{-}3,\ldots ,5,3,1).}$$${\displaystyle 2^{n-2}}$${\displaystyle (n{-}1)!}$

二面体群 Dih _pは、角度を形成する2つの反射によって生成され、したがって2つのコクセター要素はどちらの順序でもそれらの積であり、回転は${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{2p}},}$${\displaystyle \pm {\tfrac {2\pi }{p}}.}$

与えられたコクセター元wに対して、 w が⁠ ⁠回転によって作用する唯一の平面Pが存在します。これはコクセター平面^[6]と呼ばれ、 P が固有値を持ち、^{[7] を}持つ平面です。この平面は、(Coxeter 1948)、 ^[8]で初めて体系的に研究され、その後 (Steinberg 1959) でコクセター元の性質に関する統一的な証明を提供するために使用されました。^[8]${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{h}}.}$${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {1}{h}}}}$${\displaystyle e^{-2\pi i{\frac {1}{h}}}=e^{2\pi i{\frac {h-1}{h}}}.}$

コクセター平面は、高次元の多面体やルート システムの図を描くのによく使用されます。多面体の頂点と辺、またはルート (およびこれらを接続するいくつかの辺) は、コクセター平面に直交投影され、 h回転対称性を持つペトリ多角形が生成されます。 ^[9]ルート システムの場合、ルートはゼロにマッピングされません。これは、コクセター要素がルート、つまり軸を固定しない (固有値が 1 または -1 ではない) ことに対応しており、wによる軌道の投影はh倍の円形配置を形成します^{[9]また、右上の}E ₈ダイアグラムのように、中心が空になります。多面体の場合、以下に示すように、頂点がゼロにマッピングされる場合があります。コクセター平面への投影は、プラトン立体に対して以下で示されています。

3 次元では、 1 つの有向ペトリ多角形がマークされ、 3 つの反射の合成として定義される正多面体 { p , q } の対称性は、回転反転対称性 S h 、[2 + 、 h + ] 、順序 h を持ちます。鏡を追加すると、対称性_は反柱^対称性D ^h d、[ 2 + 、 h ] 、順序 2 h に倍増できます。_直交2D投影で^は、これは二面体対称性Dih _h、[ h ]、順序2 hになります。

4次元では、1つの有向ペトリ多角形がマークされた正多角形{p、q、r}の対称性は、対称性+ 1 / h [ C h × C ^h ] _[ 10 _]（_John H. ^Conway）、（C _2h /C ₁ ;C _2h /C ₁）（＃1'、Patrick du Val（1964）^[11]）、順序hを持つ4つの反射の合成として定義される二重回転です。

5 次元では、有向ペトリー多角形が 1 つマークされた正 5 次元多面体{ p、q、r、s }の対称性は、5つの反射の合成によって表されます。

6 次元から 8 次元には 3 つの例外的な Coxeter 群があります。各次元の 1 つの均一な多面体は、例外的なリー群E _nの根を表します。Coxeter 元はそれぞれ 12、18、30 です。

• コクセター群の最長要素