還元基

数学において、簡約群は体上の線形代数群の一種である。定義の一つとして、完全体上の連結線形代数群Gは、有限核を持ち半単純、すなわち既約表現の直和である表現を持つ場合に簡約群となる。簡約群には、可逆行列の一般線形群GL( n ) 、特殊直交群SO( n )、シンプレクティック群Sp(2n )など、数学において最も重要な群のいくつかが含まれる。単純代数群および（より一般的には）半単純代数群は簡約群である。

クロード・シュヴァレーは、還元群の分類は任意の代数的に閉じた体上で同じであることを示した。特に、単純代数群は、コンパクトリー群や複素半単純リー代数の理論と同様に、ディンキン図によって分類される。任意の体上の還元群の分類はより難しいが、実数Rや数体などの多くの体については、分類はよく理解されている。有限単純群の分類によれば、ほとんどの有限単純群は、有限体k上の単純代数群Gのk 個の有理点からなる群G ( k )として、またはその構成のマイナーな変形として生じる。

簡約群は、様々な文脈において豊かな表現論を有しています。体k上の簡約群Gの表現を代数群として研究することができ、これはGがkベクトル空間に作用するものです。また、 kが有限体の場合の群G ( k )の複素表現、実簡約群の無限次元ユニタリ表現、アデール代数群の保型表現なども研究できます。簡約群の構造論は、これらのすべての分野で用いられています。

体k上の線形代数群は、ある正の整数nに対して、 k上のGL( n )の滑らかな閉部分群スキームとして定義される。言い換えれば、 k上の線形代数群は、k上の滑らかなアフィン群スキームである。

すべてのコンパクト連結リー群は、複素化、すなわち複素簡約代数群を持ちます。実際、この構成により、コンパクト連結リー群と複素簡約群の間には、同型を除いて1対1の対応関係が与えられます。複素化Gを持つコンパクトリー群Kに対して、 Kから複素簡約群G ( C )への包含は、 G ( C )上の古典的位相に関してホモトピー同値です。例えば、ユニタリ群U( n )からGL( n , C )への包含はホモトピー同値です。

標数ゼロの体上の簡約群Gの場合、 Gのすべての有限次元表現(代数群として) は完全に簡約可能、つまり、既約表現の直和になります。^{[ 6 ]}これが「簡約」という名前の由来です。ただし、正の標数 (トーラスを除く) の簡約群では、完全な簡約性は成り立たないことに注意してください。より詳細には、体k上の有限型のアフィン群スキームG は、その有限次元表現が完全に簡約可能であれば、線形簡約であると呼ばれます。標数ゼロのkの場合、Gが線形簡約であるのは、 Gの単位成分G ^{o が}簡約である場合のみです。 ^{[ 7 ]}ただし、標数p > 0のkの場合、永田正義は、 Gが線形簡約であるのは、 G ^oが乗法型であり、G / G ^oの位数がpと素である場合のみであることを示しました。^{[ 8 ]}

簡約代数群の分類は、複素半単純リー代数やコンパクトリー群の理論と同様に、関連するルート系に基づいて行われます。簡約群におけるルートの現れ方を以下に示します。

G を体k上の分割簡約群とし、TをG内の分割極大トーラスとする。このとき、Tはあるnに対して( G _m ) ⁿと同型であり、n はGのランクと呼ばれる。T のすべての表現(代数群として) は 1 次元表現の直和である。^{[ 9 ]} Gの重みとは、 Tの 1 次元表現の同型類、または同等に準同型T → G _mを意味する。重みは表現のテンソル積の下で群X ( T )を形成し、X ( T ) は整数Z ⁿのn個のコピーの積と同型である。

随伴表現は、 Gのリー代数への共役による作用である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Gの根とは、 T ⊂ Gの作用において発生する非ゼロの重みを意味します。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. 部分空間${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$各ルートに対応する空間は 1 次元であり、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Tによって固定されるのはまさにリー代数である${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$Tの。^{[ 10 ]}したがって、 Gのリー代数は次のように分解される。${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$根の集合Φによってインデックス付けされた1次元部分空間とともに：

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

例えば、Gが群 GL( n ) である場合、そのリー代数は${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$は、 k上のすべてのn × n行列のベクトル空間です。TをGの対角行列の部分群とします。すると、ルート空間分解は次のように表されます。${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$対角行列と非対角位置 ( i , j )でインデックス付けされた 1 次元部分空間の直和として表されます。重み格子X ( T ) ≅ Z ⁿの標準基底をL ₁ ,..., L _nとすると、ルートは1 からnまでのすべてのi ≠ jに対する要素L _i − L _jです。

半単純群の根は根系を形成します。これは完全に分類できる組み合わせ構造です。より一般的には、簡約群の根は根データムを形成します。これはわずかな変形です。^{[ 11 ]}簡約群Gのワイル群は、最大トーラスの正規化群をトーラスで割った商群、 W = N _G ( T )/ Tを意味します。ワイル群は実際には鏡映によって生成される有限群です。たとえば、GL( n ) または SL( n ) の場合、ワイル群は対称群S _nです。

与えられた最大トーラスを含むボレル部分群は有限個しか存在せず、それらはワイル群（共役作用）によって単純に推移的に置換される。^{[ 12 ]}ボレル部分群の選択により、Φ ^{+ ⊂ Φ}の正の根の集合が決定され、Φ は Φ ⁺と −Φ ⁺の非交和であるという性質を持つ。具体的には、 Bのリー代数は、 Tのリー代数と正の根空間の直和である。

${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

例えば、Bが GL( n )における上三角行列のボレル部分群である場合、これは部分空間の明らかな分解である。${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$上三角行列の${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$正の根は1 ≤ i < j ≤ nに対してL _i − L _jである。

単純根とは、他の 2 つの正の根の和ではない正の根のことです。単純根の集合を Δ と書きます。単純根の数rは、 Gの交換子部分群のランクに等しく、これはGの半単純ランクと呼ばれます ( Gが半単純な場合は、これは単にGのランクです)。たとえば、GL( n ) または SL( n ) の単純根は、1 ≤ i ≤ n − 1に対してL _i − L _{i +1}です。

ルート系は、対応するディンキン図によって分類されます。ディンキン図は有限グラフ（一部の辺が有向または多重）です。ディンキン図の頂点の集合は、単純ルートの集合です。つまり、ディンキン図は、重み格子上のワイル群不変内積に関して、単純ルート間の角度と相対的な長さを表します。連結されたディンキン図（単純群に対応）を以下に示します。

体k上の分割簡約群Gの場合、重要な点は、ルート α がGのリー代数の 1 次元部分空間を決定するだけでなく、与えられたリー代数を持つG内の加法群G _{aのコピーも決定し、これを}ルート部分群U _αと呼ぶことです。ルート部分群は、Tによって正規化され、与えられたリー代数を持つG内の加法群の唯一のコピーです。 ^{[ 10 ]}群全体Gは (代数群として) Tとルート部分群によって生成され、ボレル部分群BはTと正のルート部分群によって生成されます。実際、分割半単純群Gはルート部分群のみによって生成されます。

体k上の分割還元群Gに対して、 Gの与えられたボレル部分群Bを含むGの滑らかな連結部分群は、単純根の集合 Δ の部分集合 (または同等に、ディンキン図の頂点の集合の部分集合) と 1 対 1 で対応します。Δの位数をrとし、 Gの半単純ランクとします。Gのすべての放物型部分群は、G ( k )の何らかの要素によって、Bを含む部分群と共役です。結果として、k上のGには放物型部分群の共役類がちょうど 2 ^{r 個}あります。^{[ 13 ]}具体的には、Δ の与えられた部分集合Sに対応する放物型部分群は、 BとSの α に対する根部分群U _−αによって生成される群です。例えば、上記のボレル部分群Bを含む GL( n ) の放物型部分群は、対角線上の特定の正方形の集合より下の要素がゼロである可逆行列の群であり、例えば次のようになります。

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

定義によれば、体k上の簡約群Gの放物型部分群Pは、商多様体G / P がk上で固有である、あるいは同等にk上で射影的であるような滑らかなk部分群である。したがって、放物型部分群の分類は、Gの射影的同次多様体(滑らかな安定化群を持つ。つまり、 kの標数が 0 の場合に制限はない) の分類に相当する。GL( n ) の場合、これらは、次元nの固定ベクトル空間Vに含まれる、与えられた次元a ₁ ,..., a _iの線形部分空間の列をパラメータ化するフラグ多様体である。

${\displaystyle 0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.}$

直交群またはシンプレクティック群の場合、射影的同次多様体は、与えられた二次形式またはシンプレクティック形式に関する等方性旗の多様体と同様の記述を持ちます。ボレル部分群Bを持つ任意の簡約群Gに対して、G / BはGの旗多様体または旗多様体と呼ばれます。

1958年にChevalleyは、任意の代数的に閉じた体上の簡約群は、ルートデータによって同型を除いて分類されることを示した。^{[ 14 ]}特に、代数的に閉じた体上の半単純群は、そのDynkin図によって中心同種を除いて分類され、単純群は連結図に対応する。したがって、A _n、B _n、C _n、D _n、E ₆、E ₇、E ₈、F ₄、G _{2型の単純群が存在する。この結果は、1880年代と1890年代に}Wilhelm KillingとÉlie Cartanによって行われたコンパクトLie群または複素半単純Lie代数の分類と本質的に同一である。特に、単純代数群の次元、中心、およびその他の性質は、単純Lie群のリストから読み取ることができる。簡約群の分類が標数に依存しないことは注目に値する。比較のために述べると、正標数には標数ゼロの場合よりも多くの単純リー代数が存在する。

G ₂型および E ₆型の例外群Gは、少なくとも抽象群G ( k )の形で、 LE ディクソンによって以前に構築されていた。例えば、群 G _2は、 k上の八元数環の自己同型群である。対照的に、正標数体上の F ₄型、E _{7 型}、E ₈型のシュヴァレー群は全く新しいものであった。

より一般的には、分割還元群の分類は任意の体で同じである。^{[ 15 ]}体k上の半単純群Gは、半単純群からGへのすべての中心同種写像が同型である場合、単連結であると呼ばれる。(複素数上の半単純Gの場合、この意味での単連結であることは、古典的な位相においてG ( C )が単連結であることと同値である。) Chevalley の分類によれば、任意の体k上には、与えられた Dynkin 図を持つ単連結分割半単純群Gが一意に存在し、単純群は連結図に対応する。もう一方の極端な例として、半単純群の中心が自明である場合、その群は随伴型である。与えられた Dynkin 図を持つk上の分割半単純群は、まさに群G / Aであり、ここでGは単連結群であり、AはGの中心のk部分群スキームである。

例えば、体k上の「古典的な」ディンキン図式に対応する単連結な分割単純群は次のようになります。

• A _n : SL( n +1) over k ;
• B _n :ウィット指数nを持つk上の 2 n +1次元の二次形式に関連付けられたスピン群Spin(2 n +1)。例えば、次の形式。

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}+x_{2n+1}^{2};}$

• C _n : k上のシンプレクティック群 Sp(2 n ) ;
• D _n : Witt指数nを持つk上の次元2 nの二次形式に関連付けられたスピン群Spin(2 n )は、次のように記述できます。

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}.}$

体k上の分割簡約群Gの外側自己同型群は、 Gのルート データの自己同型群と同型である。さらに、 Gの自己同型群は半直積として分割される。

${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),}$

ここで、ZはGの中心である。^{[ 16 ]}体上の分割半単純単連結群Gの場合、 Gの外側自己同型群はより単純な記述を持つ。それはGの Dynkin 図の自己同型群である。

スキームS上の群スキームGは、射G → Sが滑らかでアフィンであり、すべての幾何学的ファイバーが${\displaystyle G_{\bar {k}}}$還元的である。（ S内の点pに対して、対応する幾何学的ファイバーは、 Gの代数的閉包への基底変換を意味する。）${\displaystyle {\bar {k}}}$pの剰余体の。) Chevalley の研究を拡張して、Michel Demazureと Grothendieck は、任意の空でないスキームS上の固定された簡約群スキームは、ルート データによって分類されることを示した。^{[ 17 ]}この記述には、 Z上の群スキームとしての Chevalley 群の存在が含まれており、スキームS上のすべての固定された簡約群は、 ZからSへのChevalley 群の基底変換と同型であると述べている。分割簡約群の固定は、ルート基底の選択であり、各単純ルートに対応する 1 次元加法群の自明化の選択でもある。固定がないとこの記述は偽である。たとえば、Aが Dedekind 整域であり、IがAのクラス群におけるクラスが正方形ではない A のイデアルであると仮定する。すると、SL( A + I ) と SL _{2 (A) は Spec} A上で分割され、簡約化され、同じルート データを持つが、同型ではない。最初のフラグ スキーム (ボレル部分群スキームによる商) は射影線束P ( A + I ) であり、自明な正規束を持つセクションを持たない (セクションは、短い完全シーケンス 0 → J → A + I → K → 0 に対応し、ここでJ、Kはイデアル クラスであり、正規束はJ^{-1}Kであり、 JKはIと同型であるため自明ではない) が、2 番目のフラグ スキームはP ¹ ( A ) であり、自明な正規束を持つセクションを持つ。

代数群ではなくリー群の文脈では、実簡約群とは、R上の線形代数群 Lが存在し、その単位元 (ザリスキ位相において) が簡約であり、核が有限で像がL ( R ) で開である準同型写像G → L ( R ) (古典位相において) が存在するようなリー群 G のことである。また、随伴表現 Ad( G )の像がInt( g _C ) = Ad( L ⁰ ( C ))に含まれると仮定することも標準である ( Gが連結である場合は自動的に成り立つ)。^{[ 18 ]}

特に、連結半単純リー群（つまり、そのリー代数が半単純である群）はすべて簡約群である。また、リー群Rもこの意味で簡約群である。なぜなら、R は GL(1, R ) ≅ R ^×の単位成分と見なせるからである。実簡約群を分類する問題は、単純リー群を分類することにほぼ帰着する。これらは佐竹図によって分類される。あるいは、単純リー群のリスト（有限被覆を除いて）を参照すればよい。

この一般性において、実簡約群に対して、許容表現とユニタリ表現に関する有用な理論が開発されてきた。この定義と簡約代数群の定義との主な違いは、実数体上の代数群G は代数群として連結である可能性がある一方で、リー群G ( R ) は連結ではないこと、そして単連結群についても同様であるという点にある。

例えば、射影線形群PGL(2) は任意の体上の代数群として連結ですが、その実点群 PGL(2, R ) は連結成分を 2 つ持ちます。PGL(2, R )の単位成分(PSL(2, R ) と呼ばれることもあります) は実簡約群であり、代数群とは見なせません。同様に、SL(2) は任意の体上の代数群として単純連結ですが、リー群 SL(2, R )の基本群は整数Zと同型であるため、SL(2, R ) は非自明な被覆空間を持ちます。定義により、SL(2, R ) のすべての有限被覆 (メタプレクティック群など) は実簡約群です。一方、SL(2, R ) の普遍被覆は、そのリー代数が簡約的である、つまり半単純リー代数とアーベルリー代数の積であるにもかかわらず、真の簡約群ではありません。

連結な実簡約群Gに対して、 Gを極大コンパクト部分群Kで割った商多様体G / Kは、非コンパクト型の対称空間である。実際、非コンパクト型の対称空間はすべてこのようにして生じる。これらは、非正の断面曲率を持つ多様体のリーマン幾何学における中心的な例である。例えば、SL(2, R )/SO(2) は双曲平面であり、SL(2, C )/SU(2) は双曲 3 次元空間である。

離散付値( p 進数Q _pなど)に関して完備な体k上の簡約群Gの場合、 GのアフィンビルディングX は対称空間の役割を果たします。つまり、XはG ( k )の作用を持つ単体複体であり、G ( k ) はX上にCAT(0)メトリック(非正曲率を持つメトリックの類似物) を保存します。アフィンビルディングの次元はGのkランクです。たとえば、SL(2, Q _p )のビルディングは木です。

体k上の分割還元群Gに対して、 Gの既約表現(代数群として) は、支配重みによってパラメータ化されます。支配重みは、重み格子X ( T ) ≅ Z ⁿとR ⁿ内の凸錐 (ワイル室)の交差として定義されます。特に、このパラメータ化はkの特性に依存しません。より詳細には、分割最大トーラスとボレル部分群T ⊂ B ⊂ Gを固定します。このとき、Bは、 Tと滑らかに連結した単冪部分群Uの半直積です。k上のGの表現Vにおける最高重みベクトルを、 B がvによって張られる直線を自身に写像するような非ゼロベクトルvと定義します。このとき、B はその商群Tを介して、重み格子X ( T ) の何らかの要素 λ によってその直線に作用します。 Chevalleyは、 Gのすべての既約表現にはスカラーを除いて一意の最高重みベクトルが存在すること、対応する「最高重み」λは支配的であること、そしてすべての支配的重みλは同型を除いてGの一意の既約表現L (λ)の最高重みであることを示した。 ^{[ 19 ]}

与えられた最高重みを持つ既約表現を記述するという問題が残る。標数kがゼロの場合、ほぼ完全な解答が得られる。支配重み λ に対して、シュール加群∇(λ)を、λ に関連付けられた旗多様体G / B上のG等変線束のkベクトル空間として定義する。これはGの表現である。標数kがゼロの場合、ボレル・ワイルの定理によれば、既約表現L (λ) はシュール加群 ∇(λ) と同型である。さらに、ワイル指標公式は、この表現の指標(特に次元)を与える。

正の標数の体k上の分割還元群Gの場合、状況ははるかに微妙です。なぜなら、Gの表現は通常、既約の直和ではないからです。支配重み λ に対して、既約表現L (λ) は Schur 加群 ∇(λ) の唯一の単純部分加群 (ソクル) ですが、必ずしも Schur 加群と等しいとは限りません。Schur 加群の次元と指標は、(標数 0 の場合と同様に) George Kempfによる Weyl 指標公式によって与えられます。^{[ 20 ]}既約表現L (λ)の次元と指標は一般には不明ですが、これらの表現を分析するための理論が数多く開発されています。重要な結果の 1 つは、k の標数 p が G の Coxeter 数よりはるかに大きい場合、L (λ) の次元と指標が既知であるということです(この場合、 Lusztigの予想を証明しています) 。彼らのpが大きい場合の指標公式は、組み合わせ的に複雑なKazhdan–Lusztig多項式に基づいています。 ^{[ 21 ]}任意の素数pに対して、Simon RicheとGeordie Williamsonは、さらに複雑ですが少なくとも計算可能なp -Kazhdan-Lusztig多項式を用いて、簡約群の既約指標を予想しました。^{[ 22 ]}

前述のように、分割簡約群の分類はどの体でも同じです。対照的に、任意の簡約群の分類は、基底体によっては困難な場合があります。古典的な群の例としては、以下のようなものがあります。

• 体k上のすべての非退化二次形式qは、簡約群G = SO( q ) を決定します。ここで、q の次元nが3 以上であれば、Gは単純です。${\displaystyle G_{\bar {k}}}$代数閉包上のSO( n ) と同型である${\displaystyle {\bar {k}}}$GのkランクはqのWitt 指数( k上の等方性部分空間の最大次元)に等しい。^{[ 23 ]}したがって、単純群Gがk上で分割されるのは、 q が可能な最大の Witt 指数を持つ場合のみである。${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$。
• k上のすべての中心単純代数A は、単位群A * ( k上の代数群として)の縮約ノルムの核である簡約群G = SL(1, A ) を決定します。 Aの次数は、 kベクトル空間としてのAの次元の平方根を意味します。ここで、A の次数nが少なくとも 2 であれば、Gは単純です。${\displaystyle G_{\bar {k}}}$SL ( n )と同型である${\displaystyle {\bar {k}}}$A の指数がrである場合(つまり、Aはk上の次数 r の除法代数 D の行列代数M n / r ( D ) と同型である) 、_Gのkランクは( n / r ) − 1 です。 [ 24 ]^{したがって、単純}群Gがk上で分割されるのは、 Aがk上の行列代数である場合のみです。

その結果、k上の簡約群を分類する問題は、本質的にk上のすべての二次形式、あるいはk上のすべての中心単純代数を分類する問題と一致する。これらの問題は、 k が代数的に閉じている場合には容易であり、数体などの他のいくつかの体については理解されているが、任意の体については多くの未解決問題が残されている。

体k上の簡約群は、 k階数が 0 より大きい場合(つまり、非自明な分裂トーラスを含む場合) には等方的と呼ばれ、そうでない場合は異方的と呼ばれます。体k上の半単純群Gについては、次の条件は同値です。

• Gは等方的である（つまり、G はk上の乗法群G _mのコピーを含んでいる）。
• G は、 Gと等しくないk上の放物型部分群を含む。
• Gはk上の加法群G _aのコピーを含んでいます。

k が完全であることは、 G ( k ) が1 以外の単冪元を含むと言うことと同等である。^{[ 25 ]}

標数ゼロの局所体k (実数など)上の連結線形代数群Gの場合、群G ( k ) が古典位相 ( kの位相に基づく) においてコンパクトであるのは、 Gが簡約かつ異方的である場合に限る。 ^{[ 26 ]}例: R上の直交群SO( p , q )は実数階数 min( p , q ) を持ち、したがってpまたはqがゼロである場合に限り異方的である。^{[ 23 ]}

体k上の簡約群Gは、 k上のボレル部分群を含む場合、準分裂群と呼ばれる。分裂簡約群は準分裂群である。Gがk上で準分裂である場合、 Gの任意の 2 つのボレル部分群は、G ( k )の何らかの要素によって共役となる。^{[ 27 ]}例: R上の直交群 SO( p , q )は、| p − q | ≤ 1の場合に限り分裂し、| p − q | ≤ 2 の場合に限り準分裂する。^{[ 23 ]}

体k上の単連結分割半単純群Gに対して、ロバート・スタインバーグは抽象群G ( k ) の明示的な表現を与えた。^{[ 28 ]}これは、 Gの根 (根部分群) によってインデックス付けされたkの加法群のコピーによって生成され、関係はGの Dynkin 図によって決定される。

完全体k上の単連結分割半単純群Gに対して、スタインバーグは抽象群G ( k ) の自己同型群も決定した。すべての自己同型は、内部自己同型、対角自己同型（適切な共役を意味する）の積である。${\displaystyle {\bar {k}}}$最大トーラスの点）、グラフ自己同型（ディンキン図の自己同型に対応）、および体自己同型（体kの自己同型から生じる）である。^{[ 29 ]}

k-単純な代数群Gに対して、ティッツの単純性定理によれば、穏やかな仮定の下で、抽象群G ( k ) は単純に近い。すなわち、Gがk上で等方的であり、体kが少なくとも 4 つの要素を持つと仮定する。G ( k ) ^{+ を、}Gに含まれるk上の加法群G _aのコピーのk点によって生成される抽象群G ( k )の部分群とする。( Gがk上で等方的であるという仮定により、群G ( k ) ⁺は非自明であり、kが無限大の場合はG内で Zariski 稠密である。) このとき、 G ( k ) ⁺をその中心で割った商群は(抽象群として) 単純である。^{[ 30 ]}この証明は、ジャック・ティッツのBN ペアの仕組みを使用している。

_位数2または 3 の体に対する例外はよく理解されています。k = F 2の場合、 G がタイプA ₁、B ₂、またはG _{2で分割されている場合、またはタイプ}A ₂で分割されていない場合 (つまり、ユニタリである場合)を除いて、ティッツの単純性定理は有効です。k = F ₃の場合、この定理はタイプA _1のGを除いて成り立ちます。^{[ 31 ]}

k-単純群Gの場合、群G ( k )全体を理解するためには、ホワイトヘッド群W ( k , G )= G ( k )/ G ( k ) ⁺を考えることができる。単連結かつ準分裂のGの場合、ホワイトヘッド群は自明であり、したがって群G ( k ) 全体は中心を法として単純である。^{[ 32 ]}より一般的には、クネーザー-ティッツ問題は、どの等方性k-単純群に対してホワイトヘッド群が自明であるかを問うものである。既知のすべての例では、W ( k , G ) はアーベル群である。

異方性k単純群Gの場合、抽象群G ( k )は単純群とは程遠いものとなる。例えば、D をp進体kを中心とする可除代数とする。D のk上の次元が有限で 1 より大きいと仮定する。このとき、 G = SL(1, D ) は異方性k単純群となる。上述のように、G ( k ) は古典位相においてコンパクトである。また、完全に不連結であるため、G ( k ) はプロ有限群である（ただし有限群ではない）。結果として、G ( k ) は有限指数の正規部分群を無限に多く含む。^{[ 33 ]}

G を有理数Q上の線形代数群とする。このとき、G はZ上のアフィン群スキームGに拡張でき、これにより抽象群G ( Z ) が決定される。算術群とは、 G ( Q )の任意の部分群であって、 G ( Z )と可換なものを意味する。（ G ( Q )の部分群の算術性は、Z構造の選択に依存しない。）例えば、SL( n , Z ) は SL( n , Q ) の算術部分群である。

リー群Gにおいて、Gの格子とは、多様体G /Γ が（ G不変測度に関して）有限体積を持つようなGの離散部分群 Γ のことである。例えば、G /Γ がコンパクトであれば、離散部分群 Γ は格子である。マルグリスの算術性定理は、特に、実数階数が 2 以上の単純リー群Gに対して、 Gのすべての格子は算術群であると述べている。

分割する必要のない簡約群を分類しようとする場合、1つのステップは、異方性群の場合に問題を帰着させるティッツ指数です。この帰着は、代数学におけるいくつかの基本定理を一般化します。たとえば、ウィットの分解定理は、体上の非退化二次形式は、同型を除いて、そのウィット指数と異方性核によって決定されると述べています。同様に、アーティン・ウェダーバーン定理は、体上の中心単純代数の分類を可除代数の場合に帰着させます。これらの結果を一般化して、ティッツは、体k上の簡約群は、同型を除いて、そのティッツ指数と、関連する異方性半単純k群である異方性核によって決定されることを示しました。

体k上の簡約群Gに対して、絶対ガロア群Gal( k ^sep / k ) は、 Gの「絶対」ディンキン図、すなわち、可分閉包k ^sep上のGのディンキン図(これは代数閉包上のGのディンキン図でもある) に (連続的に) 作用する。${\displaystyle {\bar {k}}}$Gの Tits インデックスは、 G _{k ^sep}のルートデータ、その Dynkin 図上のガロア作用、および Dynkin 図の頂点のガロア不変部分集合から構成されます。従来、Tits インデックスは、与えられた部分集合内のガロア軌道を囲むことによって描画されます。

これらの用語では、準分裂群の完全な分類が存在します。すなわち、体kの絶対ガロア群がディンキン図に作用するたびに、与えられた作用を持つk上の単連結半単純準分裂群Hが一意に存在します。（準分裂群の場合、ディンキン図のすべてのガロア軌道が丸で囲まれます。）さらに、与えられた作用を持つk上の他の単連結半単純群Gは、準分裂群Hの内部形式であり、Gはガロアコホモロジー集合H ¹ ( k , H / Z )の要素に関連付けられた群です。ここで、 ZはHの中心です。言い換えれば、Gは、次のセクションで説明するように、 k上の何らかのH / Z -トルソルに関連付けられたHのツイストです。

例: q を、標数が 2 でない体k上の偶数次元 2 nの非退化二次形式とし、 n ≥ 5 とする。(これらの制約は回避できる。) G をk上の単純群SO ( q ) とする。G の絶対 Dynkin 図はD _n型であり、したがってその自己同型群は位数 2 で、D _n図の 2 つの「脚」を入れ替える。k の絶対 Galois 群の Dynkin 図への作用は、k * /( k *) ²におけるqの符号付き判別式dが自明である場合に限り自明である。d が自明でない場合、それは Dynkin 図への Galois 作用に符号化される。恒等式として作用する Galois 群の指数 2 の部分群は${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d}}))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)}$グループG は、 q が最大可能な値である Witt 指数nを持つ場合に限り分割され、 qが少なくともn − 1 のWitt 指数を持つ場合に限り準分割される。 ^{[ 23 ]}

体k上のアフィン群スキームGのトルソルとは、次のようなGの作用を持つk上のアフィンスキームXを意味する。${\displaystyle X_{\overline {k}}}$は同型である${\displaystyle G_{\overline {k}}}$の行動によって${\displaystyle G_{\overline {k}}}$左平行移動によって自身に重ね合わせることができる。トルソルは、 k上のfppf 位相、またはG がk上で滑らかな場合はエタール位相に関して、k上の主 G バンドルとみなすこともできる。k上のGトルソルの同型類の点付き集合は、ガロア コホモロジーの言葉でH ¹ ( k , G )と呼ばれる。

トルソルは、体k上の与えられた代数的対象Yの形式を分類しようとするときに現れます。ここで、 k上の対象Xが、 kの代数的閉包上でYと同型になることを意味します。つまり、そのような形式 (同型を除いて) は、集合H ¹ ( k , Aut( Y )) と 1 対 1 で対応します。たとえば、k上のn次元の (非退化) 二次形式はH ¹ ( k , O( n ))によって分類され、 k上のn次の中心単純代数はH ¹ ( k , PGL( n ))によって分類されます。また、与えられた代数群Gのk形式 ( Gの「ツイスト」と呼ばれることもあります) はH ¹ ( k , Aut( G ))によって分類されます。これらの問題は、特に簡約群Gの場合のGトルソルの体系的な研究を促します。

可能であれば、G -torsor をコホモロジー不変量を用いて分類することが望まれる。コホモロジー不変量とは、アーベル係数群MとH ^a ( k , M )を持つガロア コホモロジーの値をとる不変量である。この方向で、Steinberg はSerreの「予想 I」を証明した。完全体上の連結線形代数群Gのコホモロジー次元が最大 1 の場合、H ¹ ( k , G ) = 1 である。 ^{[ 34 ]} (有限体の場合については、Lang の定理として以前から知られていた。) 例えば、有限体上のすべての還元群は準分裂群であることが導かれる。

セールの予想IIは、コホモロジー次元が2以下の体上の単連結半単純群Gに対して、 H ¹ ( k , G ) = 1 が成り立つことを予測する。この予想は、コホモロジー次元が2である全虚数体に対して知られている。より一般的には、任意の数体kに対して、Martin Kneser、Günter Harder、およびVladimir Chernousov（1989）はハッセの原理を証明した。すなわち、 k上の単連結半単純群Gに対して、写像

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

は全単射である。^{[ 35 ]}ここで、v はkのすべての場所を走り、k _{v は}対応する局所体 (おそらくRまたはC ) である。さらに、任意の非アルキミデス局所体k _vに対して、点付き集合H ¹ ( k _v , G ) は自明であり、したがってkの実数の場所のみが重要である。正標数の大域体kに対する同様の結果は、以前に Harder (1975) によって証明されている。k上の任意の単連結半単純群Gに対して、H ¹ ( k , G ) は自明である ( k には実数の場所がないため)。^{[ 36 ]}

数体k上の随伴群Gという少し異なるケースでは、ハッセの原理はより弱い形で成り立つ。自然な写像

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

は単射である。^{[ 37 ]} G = PGL ( n ) の場合、これはアルベルト・ブラウアー・ハッセ・ネーターの定理に相当し、数体上の中心単純代数はその局所不変量によって決定されると述べている。

ハッセの原理に基づいて、数体上の半単純群の分類はよく理解されている。例えば、例外群E _{8には、E 8}の 3 つの実形式に対応するQ形式がちょうど 3 つ存在する。

• リー型群とは、有限体上の単純代数群から構成される有限単純群のことである。
• 一般化旗多様体、ブルハット分解、シューベルト多様体、シューベルト計算
• シュール代数、ドリーニュ・ルシュティヒ理論
• 実形式（嘘理論）
• 玉川数に関するワイルの予想
• ラングランズ分類、ラングランズ双対群、ラングランズプログラム、幾何学的ラングランズプログラム
• 特別なグループ、重要な側面
• 幾何学的不変量理論、ルナのスライス定理、ハブーシュの定理
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