グループアクション

数学では、多くの変換の集合が関数合成によって群を形成します。たとえば、平面上の点の周りの回転などです。この群を抽象群とみなし、変換群の変換を実行することから成る抽象群の群作用があると言うと便利なことがよくあります。群を変換と区別する理由は、一般に、構造の変換群はさまざまな関連する構造にも作用するためです。たとえば、上記の回転群は、三角形を三角形に変換することによって三角形にも 作用します。

正式には、集合Sへの群Gの群作用は、 GからS自身へ の関数の何らかの群 (関数合成の下で)への群準同型です。

群が構造に作用する場合、通常はその構造から構築されたオブジェクトにも作用します。たとえば、ユークリッド等長写像群はユークリッド空間に作用し、その中に描かれた図形にも作用します。特に、すべての三角形の集合に作用します。同様に、多面体の対称群は多面体の 頂点、辺、面に作用します。

ベクトル空間への群作用は群の表現と呼ばれる。有限次元ベクトル空間の場合、多くの群を一般線型群GL( n , K )の部分群と同一視することができる。一般線型群は、体K上のn次元の可逆行列の群である。

対称群 S n_は、 n個の要素を持つ任意の集合に対して、集合の要素を置換することによって作用します。集合のすべての置換の群は形式的には集合に依存しますが、群作用の概念により、同じ濃度を持つすべての集合の置換を調べるために単一の群を検討することができます。

Gが単位元eを持つ群であり、Xが集合である場合、 GのXへの（左）群作用αは関数である。

${\displaystyle \alpha \colon G\times X\to X,}$

次の2つの公理を満たす：^[1]

すべてのgとh はGに含まれ、すべてのx はXに含まれる。

すると、群G は(左から) Xに作用すると言われます。集合XとGの作用は(左) G集合と呼ばれます。

作用α をカリー化すると表記上便利になるので、代わりに各群元g ∈ Gに対して 1 つの変換α _{g を}持つ変換α _g  : X → Xの集合が得られる。この場合、恒等関係と互換性関係は次のように表される。

${\displaystyle \alpha _{e}(x)=x}$

そして

${\displaystyle \alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)}$

ここで、∘は関数合成です。2番目の公理は、関数合成が群乗法と互換性があり、それらが可換図を形成することを述べています。この公理はさらに短縮され、α _g ∘ α _h = α _ghと書くことができます。

上記の理解に基づいて、 αを完全に書くことを避け、ドットに置き換えるか、何も書かないことが非常に一般的です。したがって、 α ( g , x )は、特に動作が文脈から明らかな場合は、 g ⋅ xまたはgxと短縮できます。公理は次のようになります。

${\displaystyle e{\cdot }x=x}$

${\displaystyle g{\cdot }(h{\cdot }x)=(gh){\cdot }x}$

これら2つの公理から、 G内の任意の固定されたgに対して、 xをg ⋅ xに写すXからそれ自身への関数は全単射であり、逆全単射はg ⁻¹に対する対応する写像であることがわかる。したがって、 GのXへの群作用を、GからXからそれ自身へのすべての全単射の対称群Sym( X )への群準同型として同値に定義することができる。^[2]

同様に、GのXに対する右群作用は関数である

${\displaystyle \alpha \colon X\times G\to X,}$

同様の公理を満たす：^[3]

（α（x、g）は、文脈から判断できる場合には xgまたはx⋅gと省略されることが多い）

すべてのgとh はGに含まれ、すべてのx はXに含まれる。

左作用と右作用の違いは、積gh がxに作用する順序にあります。左作用では、h が最初に作用し、次にgが作用します。右作用では、g が最初に作用し、次にh が作用します。式( gh ) ⁻¹ = h ⁻¹ g ⁻¹なので、グループの逆演算と合成することで、右作用から左作用を構築できます。また、グループGのXへの右作用は、その反対のグループ G ^opのXへの左作用と見なすことができます。

したがって、グループアクションの一般的な特性を確立するには、左アクションのみを考慮すれば十分です。ただし、これが不可能な場合もあります。たとえば、グループの乗算は、グループ自体に左アクションと右アクションの両方を引き起こします。それぞれ、左側の乗算と右側の乗算です。

Gを集合Xに作用する群とする。この作用は忠実またはg ⋅ x = x がすべてのx ∈ Xに対して成り立つとき有効であり、 g = e _Gが成り立つ。同様に、 Gから作用に対応するXの全単射群への準同型性単射で。

このアクションはg ⋅ x = xである何らかのx ∈ Xに対してg = e _Gが成り立つ場合、 g は自由(または半正則あるいは不動点自由)です。言い換えると、 Gの非自明な元はXの点を固定しません。これは忠実性よりもはるかに強い特性です。

たとえば、任意の群の左乗法による自身への作用は自由です。この観察は、任意の群が対称群（群が無限である場合は対称群も無限）に埋め込むことができるというケイリーの定理を暗示しています。有限群は、その濃度よりもはるかに小さいサイズの集合に対して忠実に作用する場合があります（ただし、このような作用は自由ではありません）。たとえば、アーベル 2 群( Z / 2 Z ) ⁿ (濃度2 ⁿ ) は、サイズ2 nの集合に対して忠実に作用します。これは常に当てはまるわけではなく、たとえば巡回群Z / 2 ⁿ Z は、サイズが2 ⁿ未満の集合に対して忠実に作用することはできません。

一般に、忠実な動作を定義できる最小の集合は、同じサイズのグループでも大きく異なります。たとえば、サイズが 120 の 3 つのグループは、対称グループS ₅、二十面体グループA ₅ × Z / 2 Z、および巡回グループZ / 120 Zです。これらのグループに対して忠実な動作を定義できる最小の集合のサイズは、それぞれ 5、7、および 16 です。

GのXに対する作用は任意の 2 点x、 y ∈ Xに対して、 g ∈ Gが存在してg ⋅ x = yが成立する場合、推移的である。

アクションは単純推移的（または鋭推移的、または推移的かつ自由である場合正則空間と呼ばれます。これは、 x、 y ∈ Xが与えられた場合、推移性の定義における元gが一意であることを意味します。 X が群Gによって単純に推移的に作用される場合、それはGのまたはG -トルソーと呼ばれます。

整数n ≥ 1の場合、作用はX が少なくともn個の要素を持ち、かつ、対ごとに異なるエントリ（つまり、 i ≠ j のとき、 x i ≠ x j 、 y i ≠ y j ）を持つ n 組の任意の対₍ x1 、..._、 xn ₎、( _y 1、 _...、y n ) ∈X_nに対して、i₌1, _... ,n^に対してg⋅xi=yiと_なるg∈ _Gが存在する場合、 n 推移的である。言い換えれば、重複エントリのない組のX ⁿの部分集合に対する作用は推移的である。n= 2、3 の場合、これはしばしば二重推移性、それぞれ三重推移性と呼ばれる。2推移群（つまり、作用が 2 推移的である有限対称群の部分群）およびより一般的には多重推移群有限群論でよく研究されている。

アクションとはX ⁿ内の重複エントリのないタプルに対するアクションが鋭く推移的である場合、鋭くn推移的です。

Xの対称群の作用は推移的であり、実際、Xの濃度までの任意のnに対してn推移的です。Xの濃度がnの場合、交代群の作用は( n − 2)推移的ですが、 ( n − 1)推移的ではありません。

ベクトル空間Vの一般線型群の非零ベクトルの集合V ∖ {0}への作用は推移的であるが、2 推移的ではない（ vの次元が少なくとも 2 の場合の特殊線型群の作用についても同様）。ユークリッド空間の直交群の作用は非零ベクトル上では推移的ではないが、単位球面上では推移的である。

GのXへの作用は、自明な分割 (単一部分への分割とその双対、シングルトンへの分割) を除いて、 Gのすべての要素によって保存されるXの分割がない場合に原始的と呼ばれます。

X が位相空間であり、 Gの作用が同相写像によるものであると仮定します。

あらゆるx∈Xに近傍Uがあり、g∈Gが有限個しか存在せず、g⋅U∩U ≠ ∅である場合、その作用はさまよっているということになる。^[4]

より一般的には、点x ∈ X がGの作用の不連続点と呼ばれるのは、開集合U ∋ xが存在してg ∈ Gが有限個しか存在せず、g ⋅ U ∩ U ≠ ∅となる場合である。作用の不連続の定義域は、すべての不連続点の集合である。同値には、 GのΩへの作用がさまようような最大のG安定開集合Ω ⊂ X^{である。 [5]}力学的な文脈では、これはさまよう集合とも呼ばれる。

作用が適切に不連続であるとは、すべてのコンパクト部分集合K ⊂ Xに対して、g ∈ G が有限個しか存在せず、g ⋅ K ∩ K ≠ ∅であるときである。これは厳密には放浪よりも強い。たとえば、 R ² ∖ {(0, 0)}に対するZの作用n ⋅( x , y ) = (2 ⁿ x , 2 ^{− n} y )は放浪的かつ自由であるが、適切に不連続ではない。^[6]

普遍被覆上の局所単連結空間の基本群のデッキ変換による作用は、放浪的かつ自由である。このような作用は、次の性質によって特徴付けられる。すべてのx ∈ Xには近傍Uがあり、すべてのg ∈ G ∖ { e _G }に対してg ⋅ U ∩ U = ∅ が成り立つ。^[7]この性質を持つ作用は自由不連続と呼ばれることもあり、作用が自由不連続となる最大の部分集合は自由正則集合と呼ばれる。^[8]

局所コンパクト空間Xへの群Gの作用は、X = G ⋅ Aとなるコンパクト部分集合A ⊂ Xが存在するとき、ココンパクトと呼ばれます。適切に不連続な作用の場合、ココンパクト性は商空間G \ Xのコンパクト性と同等です。

ここで、Gが位相群であり、X が同相写像によって作用する位相空間であると仮定します。写像G × X → Xが積位相に対して連続である場合、作用は連続であると言われます。

この行動は適切とは、 ( g , x )↦( x , g⋅x )で定義される写像G × X → X × Xが適切であること。^[9]これは、コンパクト集合K、 K ′とき、 g∈Gでg⋅K∩K ′ ≠ ∅となる集合がコンパクトであることを意味する。特に、これは適切な不連続性Gが離散群であること。

e _Gの近傍Uが存在して、すべてのx ∈ Xおよびg ∈ U ∖ { e _G }に対してg ⋅ x ≠ xが成り立つ場合、それは局所的に自由であると言われます。

軌道写像g ↦ g ⋅ xが任意のx ∈ Xに対して連続である場合、作用は強連続であると言われる。名前が示すものとは反対に、これは作用の連続性よりも弱い性質である。^[要出典]

Gがリー群でX が微分可能多様体である場合、作用に対する滑らかな点の部分空間は、写像g ↦ g ⋅ xが滑らかであるような点x ∈ Xの集合です。リー群作用、つまり空間全体で滑らかな作用 のよく発達した理論があります。

g が可換環上のモジュールに線型変換によって作用する場合、適切なg不変サブモジュールが存在しないとき、その作用は既約であると言われる。それが既約な作用の 直和として分解される場合、それは半単純であると言われる。

集合Xに作用する群Gを考える。Xの元xの軌道は、 Gの元によって x を移動できるXの元の集合です。 xの軌道はG ⋅ xで表されます。 $${\displaystyle G{\cdot }x=\{g{\cdot }x:g\in G\}.}$$

群の定義特性は、 Gの作用下での(点xの) Xの軌道の集合がXの分割を形成することを保証します。関連する同値関係は、g ⋅ x = yとなるG内のgが存在する場合のみ、x ~ yであると定義されます。軌道はこの関係の下での同値類です。2 つの要素xとy は、それらの軌道が同じである場合のみ、つまりG ⋅ x = G ⋅ y である場合に限り、同値です。

群作用が推移的となるのは、ちょうど 1 つの軌道を持つ場合、つまり、G ⋅ x = Xを満たすX内のx が存在する場合です。これは、 X内のすべてのxに対してG ⋅ x = Xとなる場合のみです( Xが空でない 場合)。

Gの作用下にあるXのすべての軌道の集合はX / G（または、あまり一般的ではないがG \ X ）と書かれ、作用の商。幾何学的な状況では、軌道空間、代数的な状況では空間と呼ばれることもあります共変量、およびX _Gと表記され、 X ^Gと表記される不変量（固定点）とは対照的です。共変量は商ですが、不変量は部分グループコホモロジーおよびグループホモロジーで特に使用されます。

Y がXのサブセットである場合、G ⋅ Y は集合{ g ⋅ y  : g ∈ Gかつy ∈ Y }を表します。サブセットY は、 G ⋅ Y = Y (これはG ⋅ Y ⊆ Yと同値) であるとき、Gのもとで不変であるといいます。その場合、G はYに作用を制限して作用します。サブセットYは、すべてのg がGに含まれ、すべてのyがYに含まれるとき、 g ⋅ y = yであるとき、 Gのもとで固定されているといいます。 Gのもとで固定されているすべてのサブセットはGのもとでも不変ですが、その逆は成り立ちません。

すべての軌道は、 G が推移的に作用するXの不変部分集合です。逆に、Xの任意の不変部分集合は軌道の和集合です。Xに対するGの作用が推移的であるのは、すべての要素が等しい場合、つまり軌道が 1 つしかない場合のみです。

Xの G 不変元とは、すべてのg ∈ Gに対してg ⋅ x = xとなるx ∈ Xのことです。そのようなx全体の集合はX ^Gと表され、 XのG不変量と呼ばれます。XがG加群のとき、X ^{G は}Xに係数を持つGのゼロ次コホモロジー群であり、高次のコホモロジー群はG不変量の関数の導出関数です。

g がGに、x がXに存在し、 g ⋅ x = xであるとき、「 x はgの不動点である」または「g はx を固定する」と言われる。Xの任意のxに対して、Gのxに関する安定部分群（等方性群または小群^[10]とも呼ばれる）は、 x を固定するGのすべての元の集合である。 これはGの部分群であるが、通常は正規部分群ではない。 GのXへの作用が自由である対称群との準同型写像G → Sym( X )核N は、 Xのすべてのxに対する安定群G _xの共通部分として与えられる。 Nが自明である場合、作用は忠実（または有効）であると言われる。 $${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.}$$

xとy をXの２つの元とし、g を y = g ⋅ x となる群の元とします。すると、２つの安定化群G _xとG _yはG _y = gG _x g ⁻¹で関連付けられます。証明：定義により、h ∈ G _yであるための必要十分条件は、h ⋅( g ⋅ x ) = g ⋅ xです。この等式の両辺にg ^{−1 を}適用すると、 ( g ⁻¹ hg )⋅ x = x、つまりg ⁻¹ hg ∈ G _xとなります。逆の包含も同様に、 h ∈ G _xおよびx = g ⁻¹ ⋅ yとすることで得られます。

上記は、同じ軌道にある要素の安定子は互いに共役であることを示しています。したがって、各軌道に、 Gの部分群の共役類(つまり、部分群のすべての共役の集合) を関連付けることができます。( H ) がHの共役類を表すものとします。すると、 O内のある/任意のxの安定子G _{x が}( H )に属する場合、軌道O はタイプ( H )を持ちます。最大軌道タイプは、主軌道タイプと呼ばれることがよくあります。

軌道と安定化因子は密接に関連している。X内の固定されたxに対して、 g ↦ g ⋅ xで与えられる写像f  : G → Xを考える。定義により、この写像の像f ( G )は軌道G ⋅ xである。2 つの要素が同じ像を持つ条件は 、言い換えれば、gとhが安定化因子サブグループG _xの同じ剰余類にある場合に限り、 f ( g ) = f ( h )である。したがって、G ⋅ x内の任意のy上のfのファイバーf ⁻¹ ({ y })はそのような剰余類に含まれ、そのような剰余類はすべてファイバーとしても発生する。したがって、f は安定化因子サブグループの剰余類の集合G / G _xと軌道G ⋅ xとの間の一対一関係を誘導し、 gG _x ↦ g ⋅ xを送信する。^{[11]この結果は}軌道安定化因子定理として知られている。 $${\displaystyle f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.}$$

Gが有限である場合、軌道安定化定理はラグランジュの定理とともに、 言い換えると、xの軌道の長さとその安定化の位数を掛けたものが群の位数となることを表します。特に、これは軌道の長さが群の位数の約数であることを意味します。 $${\displaystyle |G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,}$$

例: G をk個の元を持つ集合Xに作用する素数位数pの群とする。各軌道には1 個またはp個の元があるため、長さ1のG不変元であるk mod p 個の軌道が少なくとも存在する。より具体的には、kとG不変元の数はp を法として合同である。^[12]

この結果は、引数を数えるために使用できるため、特に便利です (通常、Xも有限である状況)。

例: 軌道安定化定理を使用してグラフの自己同型を数えることができます。図のような立方体グラフを考え、その自己同型群をG で表します。すると、G は頂点の集合{1, 2, ..., 8}に作用し、この作用は、立方体の中心の周りの回転を合成することでわかるように推移的です。したがって、軌道安定化定理により、| G | = | G ⋅ 1 | | G ₁ | = 8 | G ₁ |となります。この定理を安定化群G ₁に適用すると、 | G ₁ | = | ( G ₁ ) ⋅ 2 | | ( G ₁ ) ₂ |が得られます。 1 を固定するGの任意の要素は、必ず 2 を 2、4、または 5 に送る必要があります。このような自己同型の例として、 1 と 7 を通る対角軸の周りの2 π /3による回転を考えます。これにより、2、4、5 と 3、6、8 が入れ替わり、1 と 7 が固定されます。したがって、| ( G ₁ ) ⋅ 2 | = 3です。この定理を 3 回目に適用すると、 | ( G ₁ ) ₂ | = | (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | | (( G ₁ ) ₂ ) ₃ | が得られます。1 と 2 を固定するGの任意の要素は、必ず 3 を 3 または 6 に送る必要があります。立方体を 1、2、7、8 を通る平面で反射すると、3 を 6 に送るこのような自己同型となり、| (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | = 2。また、1、2、3 を固定するGの任意の要素は、他のすべての頂点も固定する必要があるため、それらは 1、2、3 への隣接性によって決定されるため、 (( G ₁ ) ₂ ) ₃は恒等自己同型のみで構成されることがわかります。前の計算を組み合わせると、 | G | = 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48が得られます。

軌道安定定理に密接に関連する結果はバーンサイドの補題です。 ここで、X ^{g は}gによって固定された点の集合です。この結果は主にGとXが有限である場合に役立ち、次のように解釈できます。軌道の数は、グループ要素ごとに固定された点の平均数に等しくなります。 $${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,}$$

群G を固定すると、有限G集合の形式的な差分の集合はGのバーンサイド環と呼ばれる環を形成します。ここで、加算は不連続和に、乗算は直積に対応します。

• の任意の群Gの任意の集合Xへの自明な作用は、 Gに含まれるすべてのgとXに含まれるすべてのxに対してg⋅x = xで定義される。つまり、すべての群元はX上の恒等置換を。^[13]
• あらゆる群Gにおいて、左乗法はGのGへの作用です。つまり、Gのすべてのg、xに対してg ⋅ x = gxです。この作用は自由かつ推移的（正則）であり、ケイリーの定理（あらゆる群は集合Gの対称置換群の部分群に同型であるという定理）の迅速な証明の基礎となります。
• 部分群Hを持つすべての群Gにおいて、左乗法は剰余類集合G / H : g ⋅ aH = gaHに対するGの作用である（すべてのg、a はGに属する） 。特に、HにGの非自明な正規部分群が含まれていない場合、これによりGから次数[ G  : H ]の置換群の部分群への同型性が誘導される。
• どの群Gにおいても、共役はGのGへの作用である: g ⋅ x = gxg ⁻¹。右作用の変形には指数表記が一般的に用いられる: x ^g = g ⁻¹ xg ; これは ( x ^g ) ^h = x ^ghを満たす。
• 部分群Hを持つすべての群Gにおいて、共役はHの共役に対するGの作用です。つまり、GのすべてのgとHのK共役に対してg ⋅ K = gKg ⁻¹です。
• 集合XへのZの作用は一意に決定し、 1 の作用によって与えられるXの自己同型によって決定されます。同様に、 XへのZ / 2 Zの作用は、 Xの反転のデータと同等です。
• 対称群S _nとその部分群は、集合{1, ..., n }の要素を置換することによって作用する。
• 多面体の対称群は、その多面体の頂点の集合に作用します。また、多面体の面の集合または辺の集合にも作用します。
• あらゆる幾何学的オブジェクトの対称群は、そのオブジェクトの点の集合に作用します。
• 単位群F *を持つ体F上の座標空間 Vに対して、 a × ( x ₁ , x ₂ , ..., x n ) ↦ ( ax ₁ , ax ₂ , ..., ax _n )によって与えられる写像F * × V → _Vは、スカラー乗算と呼ばれる群作用です。
• ベクトル空間 (またはグラフ、群、環など) の自己同型群は、ベクトル空間 (またはグラフ、群、環などの頂点の集合) に作用します。
• 一般線型群GL( n , K )とその部分群、特にそのリー部分群(特殊線型群SL( n , K )、直交群 O( n , K )、特殊直交群SO( n , K )、シンプレクティック群 Sp( n , K )を含む) は、ベクトル空間K ⁿに作用するリー群です。群の演算は、群の行列とK ⁿのベクトルを乗算することで行われます。
• 一般線型群GL( n , Z )^は自然行列作用によってZnに作用する。その作用の軌道はZnの^ベクトルの座標の最大公約数によって分類される。
• アフィン群はアフィン空間の点に対して推移的に作用し、アフィン群（つまりベクトル空間）の部分群Vはこれらの点に対して推移的かつ自由な（つまり正則な）作用を持つ。 ^{[14]実際、これを使って}アフィン空間の定義を与えることができる。
• 射影線型群 PGL( n + 1, K )とその部分群、特にリー部分群は、射影空間 P ⁿ ( K )に作用するリー群です。これは、一般線型群の射影空間への作用の商です。特に注目すべきは、射影直線の対称性であるPGL(2, K )で、これは鋭く 3 推移的であり、複比を保存します。メビウス群 PGL(2, C )は特に興味深いものです。
• 平面の等長写像は、壁紙のパターンなどの 2D 画像とパターンの集合に作用します。画像やパターンが何を意味するか、たとえば色の集合の値を持つ位置の関数などを指定することにより、定義をより正確にすることができます。等長写像は、実際にはアフィン群 (作用) の一例です。^{[疑わしい–議論する]}
• 群Gによって作用される集合は、オブジェクトがG集合であり、射がG集合準同型であるG集合のカテゴリを構成します。準同型とは、 G内のすべてのgに対してg ⋅( f ( x )) = f ( g ⋅ x )となるような関数f  : X → Yです。
• 体拡大L / Kのガロア群は体Lに作用しますが、部分体Kの元には自明な作用しか及ぼしません。Gal( L / K )の部分群は、 K を含むLの部分体、つまりLとK の間の中間体拡大に対応します。
• 実数 ( R、 + )の加法群は、時間変換によって古典力学(およびより一般的な動的システム)の「行儀の良い」システムの位相空間に作用します。つまり、tがRにあり、x が位相空間にある場合、x はシステムの状態を表し、t + xは、 tが正の場合t秒後のシステムの状態、またはtが負の場合− t秒前のシステムの状態として定義されます。
• 実数( R , + )の加法群は、実変数の実関数の集合にさまざまな方法で作用します。( t ⋅ f )( x )は、たとえば、f ( x + t )、f ( x ) + t、f ( xe ^t )、f ( x ) e ^t、f ( x + t ) e ^t、またはf ( xe ^t ) + t に等しくなりますが、 f ( xe ^t + t )には等しくなりません。
• GのXへの群作用が与えられたとき、 Xのすべての部分集合Uと G のすべてのgに対してg ⋅ U = { g ⋅ u  : u ∈ U }と設定することにより、 GのXの冪集合への誘導作用を定義できます。 これは、たとえば、大きなマシュー群の 24 集合への作用を研究したり、有限幾何学の特定のモデルにおける対称性を研究したりする場合に役立ちます。
• ノルム1の四元数(ベルソル) は、乗法群としてR ³に作用します。任意のそのような四元数z = cos α /2 + v sin α /2に対して、写像f ( x ) = z x z ^{* は、単位ベクトル}vによって与えられた軸の周りの角度αの反時計回りの回転です。zも同じ回転です。四元数と空間回転を参照してください。四元数−1は四元数1と同様にすべての点を元の位置に残すため、これは忠実な動作ではありません。
• 左G集合X、Y が与えられたとき、要素が G 同変写像 α : X × G → Y であり^、左G作用がg  ⋅ α = α ∘ ( id X × – g ) で与えられる左 G 集合 Y X が存在する（ここで「– g _」はgによる右乗算を示す）。このG集合は、その不動点が同変写像X → Yに対応するという性質を持つ。より一般的には、これはG集合のカテゴリにおける指数オブジェクトである。