半分シンプル

数学において、半単純性は、線型代数学、抽象代数学、表現論、圏論、代数幾何学などの分野で広く使われている概念です。半単純オブジェクトとは、単純オブジェクトの合計に分解できるオブジェクトであり、単純オブジェクトとは、非自明な適切なサブオブジェクトを含まないオブジェクトです。これらの単語の正確な定義は、文脈によって異なります。

たとえば、G が有限 群である場合、体上の非自明な有限次元表現 Vは、それに含まれる部分表現が {0} またはV のいずれかだけである場合に単純であると言われます(これらは既約表現とも呼ばれます)。ここで、マシュケの定理は、有限群の任意の有限次元表現は、単純表現の直和であると述べています (基本体の特性によって群の位数が割り切れない場合)。したがって、この条件を満たす有限群の場合、すべての有限次元表現は半単純です。特に代数と表現論では、「半単純性」は完全還元可能性とも呼ばれます。たとえば、完全還元可能性に関するワイルの定理は、半単純コンパクトリー群の有限次元表現は半単純であると述べています。

正方行列（言い換えれば、有限次元ベクトル空間Vを持つ線型演算子）は、 Tによる唯一の不変線型部分空間が {0} とVである場合に単純であると言われます。 体が代数的に閉じている場合（複素数など）、単純な行列はサイズが 1 行 1 列のものだけです。半単純行列は、単純な行列の直和に似た行列です。 体が代数的に閉じている場合、これは対角化可能であることと同じです。 ${\displaystyle T:V\to V}$

これらの半単純性の概念は、半単純 モジュールの言語を使用して統一でき、半単純カテゴリに一般化できます。

すべてのベクトル空間（体 上、たとえば実数上）を考慮すると、単純なベクトル空間とは、適切な非自明な部分空間を含まない空間のことです。したがって、1次元ベクトル空間は単純なベクトル空間です。したがって、任意の有限次元ベクトル空間は単純なベクトル空間の直和であるということは線型代数の基本的な結果です。言い換えると、すべての有限次元ベクトル空間は半単純です。

有限次元ベクトル空間V上の正方行列、またはそれと同等の線型作用素 T は、すべてのT不変部分空間に相補的なT不変部分空間がある場合に半単純と呼ばれます。^{[1] [2]これは、} Tの最小多項式が平方自由であること と同等です。

代数的に閉じた体F上のベクトル空間では、行列の半単純性は対角化可能性と同値である。^[1]これは、そのような演算子が常に固有ベクトルを持つためである。さらに半単純であれば、相補的な不変超平面を持ち、それ自体が固有ベクトルを持つため、帰納的に対角化可能である。逆に、対角化可能な演算子は、不変部分空間が固有空間の直和であり、この部分空間の任意の固有基底を全空間の固有基底に拡張できるため、半単純であることが簡単にわかる。

固定環 Rに対して、非自明なR加群M は、 0 とM以外の部分加群を持たない場合、単純である。R加群Mが半単純であるとは、 MのすべてのR部分加群がMのR加群直和である場合である（自明な加群 0 は半単純だが単純ではない）。R加群Mに対して、Mが半単純であるのは、それが単純加群の直和である場合に限る（自明な加群は空の直和である）。最後に、 R がR加群として半単純である場合、Rは半単純環と呼ばれる。結局のところ、これは任意の有限生成R加群Mが半単純であることを要求するのと同等である。^[3]

半単純環の例には、体や、より一般的には体の有限直積が含まれる。有限群Gに対して、 マシュケの定理は、ある環R上の群環 R [ G ]が半単純であるための必要十分条件は、Rが半単純であり、 | G | がRにおいて可逆である場合である。 R [ G ]の加群の理論はR加群上のGの表現論と同じであるため、この事実は重要な二分法であり、これにより、特に R が特性 0 の体である場合に、加群表現論、すなわち、 | G | が R の特性を割り切る場合の方が、| G |が特性を割り切らない場合よりも難しくなる。アルティン・ウェダーバーンの定理によれば、単位アルティン環Rが半単純であるための必要十分条件は、それが (と同型) であり、各 が除算環であり、 がDに要素を持つn行n列の行列の環である場合である。 ${\displaystyle M_{n_{1}}(D_{1})\times M_{n_{2}}(D_{2})\times \cdots \times M_{n_{r}}(D_{r})}$${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle M_{n}(D)}$

演算子T が上記の意味で半単純であるためには、Vの自己準同型環内のTのべき乗 (つまり反復) によって生成される部分代数が半単純である必要があります。 ${\displaystyle F[T]\subseteq \operatorname {End} _{F}(V)}$

上で述べたように、半単純環の理論は一般環の理論よりもはるかに簡単です。例えば、任意の短完全列

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

半単純環上の加群は必ず分解する、つまり。ホモロジー代数の観点からは、これは非自明な拡大が存在しないことを意味する。整数環Zは半単純ではない。つまり、Z はn ZとZ / nの直和ではない。 ${\displaystyle M\cong M'\oplus M''}$

上記の半単純性の概念の多くは、半単純カテゴリCの概念によって再現されます。簡単に言えば、カテゴリとは、オブジェクトとそのようなオブジェクト間のマップのコレクションであり、オブジェクト間のマップは、これらのオブジェクトに固有の構造を保持するという考え方です。たとえば、Rモジュールとそれらの間のR線形マップは、任意の環Rに対してカテゴリを形成します。

アーベル圏^[4] Cが半単純であるとは、単純対象、すなわち零対象0 とそれ自身以外の部分対象を持たない対象 の集合が存在し、任意の対象Xが有限個の単純対象の直和（すなわち、余積または、同値な積）となる場合をいう。シュアーの補題から、自己準同型環は${\displaystyle X_{\alpha }\in C}$${\displaystyle X_{\alpha }}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{C}(X)=\operatorname {Hom} _{C}(X,X)}$

半単純カテゴリでは、分割環上の行列環の積、つまり半単純です。

さらに、環R が半単純であるためには、有限生成R加群のカテゴリが半単純である必要があります。

ホッジ理論からの例は、分極可能な純粋ホッジ構造、すなわち適切な正定値 双線型形式を備えた純粋ホッジ構造のカテゴリである。このいわゆる分極の存在により、分極可能なホッジ構造のカテゴリは半単純になる。^{[5]代数幾何学からの別の例は、}適切な同値関係を法とする体k上の滑らかな射影多様体の純粋モチーフ のカテゴリである。グロタンディークによって予想され、ヤンセンによって示されたように、このカテゴリが半単純であるための必要十分条件は、同値関係が数値的同値である場合である。^[6]この事実は、モチーフ理論の概念的な基礎である。 ${\displaystyle \operatorname {Mot} (k)_{\sim }}$ ${\displaystyle \sim }$

半単純アーベル圏は、 t構造と（適切に関連した）三角圏上の重み構造の組み合わせからも生じる。^[7]

群またはリー代数の有限次元表現のカテゴリが半単純であるかどうか、つまり、すべての有限次元表現が既約表現の直和として分解されるかどうかという疑問がある。答えは一般に「いいえ 」である。たとえば、${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi (x)={\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}}$

は既約な要素の直和ではない。^[8]（非自明な不変部分空間は、第 1 基底要素 のスパンだけである。）一方、がコンパクトの場合、 のすべての有限次元表現はに関する内積がユニタリであるものを許容し、 は既約な要素の和として分解することを示す。^[9]同様に、 が複素半単純リー代数の場合、 のすべての有限次元表現は既約な要素の和である。^[10]ワイルの元の証明では、ユニタリアンのトリックが使用されました。このようなものはすべて、単連結コンパクトリー群のリー代数の複素化です。 は単連結であるため、 の有限次元表現と の有限次元表現の間には 1 対 1 対応があります。^[11]したがって、コンパクト群の表現に関する先ほど述べた結果が適用されます。ホールの本のセクション 10.3 にあるように、 の表現の半単純性を代数的手段によって直接証明することも可能です。${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

参照:融合カテゴリ(半単純)。

• 半単純リー代数は、単純リー代数の直和であるリー代数です。
• 半単純代数群は、単位元成分の根号が自明である線型代数群です。
• 半単純代数
• 半単純表現

• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer

• MathOverflow : アーベル非退化テンソルカテゴリは半単純ですか?
• nラボの半単純カテゴリ