推移的グループアクションを乗算する

群が集合 に2-推移的に作用するとは、それが異なる順序付きペア の集合 に推移的に作用する場合です。つまり、(一般性を実際に失うことなく)が の左側に作用すると仮定すると、および の各ペアのペアに対して、となる が存在することになります。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle \{(x,y)\in S\times S:x\neq y\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (x,y),(w,z)\in S\times S}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle w\neq z}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g(x,y)=(w,z)}$

グループの作用は、それが一意である場合、鋭く2推移的です。 ${\displaystyle g\in G}$

2 推移群とは、2 推移的かつ忠実な群作用が存在する群です。同様に、2推移群を明確に定義できます。

同様に、および です。異なるペアの集合に対する誘導作用は だからです。 ${\displaystyle gx=w}$${\displaystyle gy=z}$${\displaystyle g(x,y)=(gx,gy)}$

この定義は一般に、 2 をkに置き換えて機能します。このような多重推移的置換群は、任意の自然数kに対して定義できます。具体的には、 n個の点に作用する置換群Gがk推移的であるとは、すべてのa _iが異なり、すべてのb _iが異なり、 2 組の点a ₁、... a _kとb ₁、... b _{k が}与えられたときに、 1 からkまでの各iに対してa _{i を}b _iに写像する群元g がGに存在する場合です。マシュー群は重要な例です。

すべてのグループは、左乗算によるそれ自体への作用により、自明に 1 推移的です。

を に作用する対称群とすると、作用は鋭く n 推移的である。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{1,...,n\}}$

n 次元の相似変換群はに対して 2 推移的に作用します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

n 次元射影変換 の群は、n 次元実射影空間に対してほぼ(n+2) 推移的に鋭く作用します。ほぼである理由は、(n+2) 点が一般線形位置になければならないからです。言い換えれば、n 次元射影変換はの射影フレームの空間に対して推移的に作用します。 ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$

すべての 2 推移群は原始群ですが、その逆は成り立ちません。すべてのZassenhaus 群は2 推移ですが、その逆は成り立ちません。解ける2 推移群はBertram Huppertによって分類され、推移有限線型群の一覧に記載されています。解けない群は有限単純群の分類を使用して (Hering 1985) によって分類され、すべてほぼ単純群です。

• 推移群の乗算

• ディクソン、ジョン・D.、モーティマー、ブライアン（1996）、順列群、Graduate Texts in Mathematics、第163巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94599-6、MR  1409812
• ヘリング、クリストフ（1985）「推移線型群と素数位数の既約部分群を含む線型群。II」、代数ジャーナル、93（1）：151–164、doi：10.1016/0021-8693（85）90179-6、ISSN  0021-8693、MR  0780488
• Huppert、Bertram (1957)、「Zweifach transitive, auflösbare Permutationsgruppen」、Mathematische Zeitschrift、68 : 126–150、doi :10.1007/BF01160336、ISSN  0025-5874、MR  0094386
• ユペール、ベルトラム。ブラックバーン、ノーマン (1982)、有限群。 Ⅲ．、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 243、ベルリン-ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-10633-2、MR  0650245
• ジョンソン、ノーマン L.; ジャー、ヴィクラム; ビリオッティ、マウロ (2007)、「有限変換平面ハンドブック」、純粋および応用数学、第 289 巻、ボカラトン: チャップマン & ホール/CRC、ISBN 978-1-58488-605-1、MR  2290291