指数オブジェクト

数学、特に圏論において、指数オブジェクトまたは写像オブジェクトは、集合論における関数空間の圏論的一般化である。すべての有限積と指数オブジェクトを持つカテゴリは、直積閉カテゴリと呼ばれる。隣接積を持たないカテゴリ（ Topのサブカテゴリなど）でも、指数法則が成り立つ場合がある。^{[1] [2]}

をカテゴリとし、およびを の対象とし、 がとのすべての二項積を持つものとします。射を伴うオブジェクトが指数オブジェクトであるとは、任意のオブジェクトおよび射に対して、次の図がと可換となるような一意の射（の転置と呼ばれる）が存在する場合です。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle Y}$${\textstyle Z^{Y}}$ ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$${\displaystyle X}$${\textstyle g\colon X\times Y\to Z}$${\textstyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$${\displaystyle g}$

それぞれに固有のを割り当てることで、ホム集合の同型性（全単射）が確立されます。${\displaystyle \lambda g}$${\displaystyle g}$${\textstyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y}).}$

内のすべてのオブジェクトに対して が存在する場合、 によってオブジェクト上に定義され、 によって矢印上に定義される関数は、積関数の右随伴関数です。このため、射とは、互いの指数随伴関数と呼ばれることがあります。 ^[3]${\textstyle Z^{Y}}$${\displaystyle Z,Y}$${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle (-)^{Y}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle Z\mapsto Z^{Y}}$${\displaystyle (f\colon X\to Z)\mapsto (f^{Y}\colon X^{Y}\to Z^{Y})}$${\displaystyle -\times Y}$${\displaystyle \lambda g}$${\displaystyle g}$

あるいは、指数オブジェクトは方程式を通じて定義することもできます。

• の存在は、操作 の存在によって保証されます。${\displaystyle \lambda g}$${\displaystyle \lambda -}$
• 上記の図の可換性は等式によって保証されます。${\displaystyle \forall g\colon X\times Y\to Z,\ \mathrm {eval} \circ (\lambda g\times \mathrm {id} _{Y})=g}$
• の一意性は等式によって保証されます。${\displaystyle \lambda g}$${\displaystyle \forall h\colon X\to Z^{Y},\ \lambda (\mathrm {eval} \circ (h\times \mathrm {id} _{Y}))=h}$

指数関数は、積関数からオブジェクトへの普遍射によって与えられます。この普遍射は、オブジェクト と射で構成されます。 ${\displaystyle Z^{Y}}$${\displaystyle -\times Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z^{Y}}$${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$

集合のカテゴリでは、指数オブジェクトはすべての関数の集合です。^[4]マップは、ペアを に送る評価マップです。任意のマップに対して、マップはのカリー化された形式です。 ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Y\to Z}$${\displaystyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$${\displaystyle (f,y)}$${\displaystyle f(y)}$${\displaystyle g\colon X\times Y\to Z}$${\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lambda g(x)(y)=g(x,y).\,}$

Heyting 代数は 、すべての指数オブジェクトを持つ有界格子です。Heyting 含意 は、 の別の表記です。上記の随伴の結果は、含意 ( ) が( )を満たす右随伴であることを意味します。この随伴は と書くこともできますが、より完全には次のように 書くこともできます。${\displaystyle H}$${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$${\displaystyle Z^{Y}}$${\displaystyle \Rightarrow :H\times H\to H}$${\displaystyle \wedge :H\times H\to H}$${\displaystyle (-\wedge Y)\dashv (Y\Rightarrow -)}$$${\displaystyle (-\wedge Y):H{\stackrel {\longrightarrow }{\underset {\longleftarrow }{\top }}}H:(Y\Rightarrow -)}$$

位相空間 のカテゴリでは、 が局所コンパクトハウスドルフ空間である場合に指数対象が存在する。その場合、空間はから への連続関数全体とコンパクト開位相の集合である。評価写像は集合のカテゴリの場合と同じであり、上記の位相と連続している。^[5]が局所コンパクト ハウスドルフでない場合、指数対象は存在しない可能性がある (空間は存在するが、評価関数が連続する必要がないため、指数対象ではなくなる可能性がある)。このため、位相空間のカテゴリは直積閉にならない。しかし、局所コンパクト位相空間のカテゴリも直積閉ではない。なぜなら、 は局所コンパクト空間およびに対して局所コンパクトである必要がないためである。空間の直積閉カテゴリは、たとえば、コンパクトに生成されたハウスドルフ空間によって張られる完全なサブカテゴリによって与えられる。 ${\displaystyle Z^{Y}}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z^{Y}}$${\displaystyle Z^{Y}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$

関数型プログラミング言語では、射はと呼ばれることが多く、構文はと記述されることが多いです。射は、引用符で囲まれた式を評価する一部のプログラミング言語の 関数と混同しないでください。 ${\displaystyle \operatorname {eval} }$${\displaystyle \operatorname {apply} }$${\displaystyle \lambda g}$${\displaystyle \operatorname {curry} (g)}$${\displaystyle \operatorname {eval} }$eval

• 閉じたモノイド圏

• アダメク、イジー。ホルスト・ヘルリッヒ;ジョージ・ストレッカー (2006) [1990]。抽象的なカテゴリーと具体的なカテゴリー (猫の喜び)。ジョン・ワイリー＆サンズ。
• Awodey, Steve (2010)。「第 6 章: 指数関数」。カテゴリー理論。オックスフォード ニューヨーク: オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0199237180。
• Mac Lane, Saunders (1998)。「第 4 章: 随伴関数」。現役数学者のためのカテゴリ。ニューヨーク: Springer。ISBN 978-0387984032。

• 指数オブジェクトやその他のカテゴリ構造の例を生成するインタラクティブな Web ページ。Jocelyn Paine によって作成されました。