サブグループ

数学の一分野である群論では、群 G の部分集合は、その部分集合のメンバーが G における群演算に関して群を形成する場合、G の部分集合である。

正式には、二項演算∗による群 $G$ が与えられたとき、 $G$ の部分集合 $H は、$ $H$ も演算 ∗ による群を形成する場合、 $G$ の部分群と呼ばれます。より正確には、 ∗ の $H$ $\times$ $H$ への制限が $H$ 上の群演算である場合、 $Hは$ $G$ の部分群です。これはしばしば $H$ $\leq$ $G$ と表記され、「 $Hは$ $G$ の部分群である」と読みます。

任意の群の自明な部分群は、単位元だけからなる部分群{ e }である。 ^[1]

群 $Gの$ 真部分群とは、部分群 $H$ が $G$ の真部分集合(つまり、 $H$ $\neq$ $G$ ) であるものである。これはしばしば $H$ $<$ $G$ $と表記され、「 H は$ $G$ の真部分群である」と読み替えられる。著者の中には、自明な群を真から除外する者もいる (つまり、 $H$ $\neq {$ $e$ $}$ )。^[2]^[3]

$H が$ $G$ のサブグループである場合、 $Gは$ $H$ のオーバーグループと呼ばれることがあります。

$G が$ 任意の半群である場合、同じ定義がより一般に適用されますが、この記事では群のサブグループのみを扱います。

サブグループテスト

$G$ が群であり、 $H が$ $G$ のサブセットであると仮定します。ここでは、 $G$ の群演算が乗法的に記述され、並置で表されるものと仮定します。

すると、 $H が$ $G$ の部分群であるための必要十分条件は、 $H$ が空でなく、積と逆元に関して閉じている場合である。積に関して閉じているとは、 $H$ の任意の $a$ と $b$ に対して、積 $abが$ $H$ に含まれることを意味する。 逆元に関して閉じているとは、 $H$ の任意の $a$ に対して、逆元 $a$ $-1$ $がH$ に含まれることを意味する。これら 2 つの条件は、 $H$ の任意の $a$ と $b$ に対して、元 $ab$ $-1$ $がH$ に含まれるという 1 つの条件に組み合わせることができるが、2 つの閉包条件を別々にテストする方が自然で、通常は同じくらい簡単である。^[4]
$H$ が有限のとき、テストは簡略化できる。H $が$ 部分群であるためには、それが空でなく、積に関して閉じている必要がある。これらの条件だけで、 $H$ のあらゆる元 $a が$ $H$ の有限巡回部分群、たとえば位数 $n を$ 生成すること、そして $aの逆元が$ $a$ $n$ $-1$ であることが分かる。^[4]

群演算が代わりに加算によって表される場合、積に対して閉じているは加算に対して閉じているに置き換えられるべきであり、これは $H の任意の$ $a$ と $b$ に対して、和 $a$ $+$ $b$ $がH$ に含まれるという条件であり、逆に対して閉じているは $H$ の任意の $a$ に対して、逆 $-$ $a$ $がH$ に含まれると編集されるべきである。

部分群の基本的性質

部分群の単位元は群の単位元です。つまり、 $G が単位元$ $e G を$ 持つ群であり、 $H が$ 単位元 $e$ $H$ $を持つG$ の部分群である場合、 $e$ $H$ $=$ $e$ $G$ です。
部分群の元の逆は、群の元の逆です。つまり、 $H が$ 群 $G$ の部分群であり、 $a$ と $b が$ $H$ の元で $ab = ba = e H$ である場合、 $ab = ba = e G$ です。
$H が$ $G$ の部分群である場合、 $H$ の各要素 $a$ をそれ自身に写す包含写像 $H \to G は$ 準同型である。
$G$ の部分群 $A$ と $B$ の交差も $G$ の部分群である。^[5]たとえば、加法の下での⁠ ⁠における $x$ 軸と $y$ 軸の交差は自明な部分群である。より一般的には、 $G$ の部分群の任意の集合の交差は $G$ の部分群である。 $\mathbb {R} ^{2}$
部分群 $A$ と $Bの$ 和集合が部分群となるのは、 $A$ $\subseteq$ $B$ または $B$ $\subseteq$ $A$ の場合のみです。例: ⁠ ⁠ は⁠ ⁠の部分群ではありません。2 と 3 はこの部分集合の要素であり、その和 5 は部分集合に含まれないからです。同様に、 ⁠ ⁠ の $x$ 軸と $y$ 軸の和集合は⁠ ⁠の部分群ではありません。 $2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} ,$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}.$
$S が$ $G$ の部分集合である場合、 $S を$ 含む最小の部分群、すなわち $S を$ 含むすべての部分群の共通集合が存在する。これは $⟨ S ⟩$ で表され、 $S$ によって生成される部分群と呼ばれる。 $G$ の元が $⟨ S ⟩$ に含まれるのは、それが $S$ の元とその逆元の有限積（重複してもよい）である場合のみである。^[6]
群 $G$ の任意の元 $a は$ 巡回部分群 $⟨$ $a$ $⟩$ を生成する。⟨ $a$ $⟩$ $が$ 何らかの正の整数 $nに対して$ ⁠ ⁠ ( $n$ $を法とする$ 整数)と同型である場合、 $n は$ $a$ $n$ $=$ $e$ となる最小の正の整数であり、 $n は$ $a$ の位数と呼ばれる。⟨ $a$ $⟩$ $が$ ⁠ ⁠と同型である場合、 $a は$ 無限位数を持つと言われる。 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} ,$
任意のグループの部分群は包含に関して完全な格子を形成し、これを部分群の格子と呼びます。(ここでの最小値は通常の集合論的交差ですが、部分群の集合の上限は部分群の集合論的和集合によって生成される部分群であり、集合論的和集合そのものではありません。) $e が$ $G$ の単位元である場合、自明群 ${e}は$ $G$ の最小部分群であり、最大部分群はグループ $G$ 自体です。

剰余類とラグランジュの定理

部分群 $Hと$ $G$ 内の何らかの $a が与えられたとき、$ 左剰余類 $aH$ $= {$ $ah$ $:$ $h$ $in$ $H$ $}$ を定義します。a $は$ 可逆なので、 $φ($ $h$ $) =$ $ah$ で与えられる写像 $φ :$ $H$ $\to$ $aH$ は一対一です。さらに、 $G$ のどの元も $H$ のちょうど 1 つの左剰余類に含まれます。左剰余類は、 ⁠ ⁠ が $H$ 内にある場合に限り、同値関係 $a$ $1$ $~$ $a$ $2$ に対応する同値類です $。H$ の左剰余類の数は $G$ 内の $H$ のインデックスと呼ばれ、 $[$ $G$ $:$ $H$ $]$ と表されます。 $a_{1}^{-1}a_{2}$

ラグランジュの定理は、有限群 $G$ と部分群 $H$ に対して、

[G:H]={|G| \over |H|}

ここで $| G |$ と $| H | はそれぞれ$ $G$ と $H$ の位数を表す。特に、 $Gのすべての部分群の位数（および$ $G$ のすべての元の位数）は $|$ $G$ $|$ の約数でなければならない。^[7]^[8]

右剰余類も同様に定義されます: $Ha = {ha : h in H}。$ これらは適切な同値関係の同値類でもあり、その数は $[G : H]$ に等しくなります。

$G$ の任意の $aに対して$ $aH = Ha が$ 成り立つ場合、 $H は$ 正規部分群であるといわれます。指数 2 のすべての部分群は正規です。つまり、左剰余類と右剰余類は、単に部分群とその補群です。より一般的には、 $p が$ 有限群 $Gの位数を割り切る最小の素数である場合、指数$ $p$ の任意の部分群(存在する場合) は正規です。

例: Zのサブグループ₈

$Gを$ 巡回群 $Z 8$ とし、その要素は

G=\left\{0,4,2,6,1,5,3,7\right\}

そしてその群演算は8を法とする加算である。そのケーリー表は

この群には2つの非自明な部分群がある: $■ J = {0, 4}$ と $■ H = {0, 4, 2, 6}$ 、ここで $Jは$ $H$ の部分群でもある。 $H$ のケーリー表は $G$ のケーリー表の左上象限である。 $J$ のケーリー表は $H$ のケーリー表の左上象限である。群 $Gは$ 巡回群であり、その部分群も巡回群である。一般に巡回群の部分群も巡回群である。^[9]

例: Sのサブグループ₄

$S 4$ は、その要素が4 つの要素の順列に対応する対称群です。以下は、そのサブグループすべてを濃度順に並べたものです。各グループ(濃度 1 と 2 を除く)は、そのケイリー表によって表されます。

24 要素

各グループと同様に、 $S 4 は$ それ自身のサブグループです。

12 要素

交代群には偶順列のみが含まれます。これは $S$ $4$ の2 つの非自明な固有正規部分群
のうちの 1 つです。(もう 1 つはクラインの部分群です。)

8つの要素

6つの要素

4つの要素

3つの要素

2 要素

2次の順列 $p$ はそれぞれサブグループ ${1, p$ }を生成する。これらは2サイクルのみを持つ順列である。

2 サイクルが 1 つある転置が6 つあります。 (緑の背景)
そして、2 つの 2 サイクルを含む 3 つの順列。 (白い背景、太字の数字)

1 要素

自明な部分群は、位数が 1 の唯一の部分群です。

その他の例

偶数は整数環の部分群を形成します。2つの偶数の $2\mathbb {Z}$ 和は偶数であり、偶数の負数は偶数です。 $\mathbb {Z} :$
環 $R$ のイデアルは、 $R$ の加法群の部分群です。
ベクトル空間の線型部分空間は、ベクトルの加法群の部分群です。
アーベル群では、有限順序の要素が捩れ部分群と呼ばれる部分群を形成します。

参照

注記

^ ガリアン2013、61ページ。
^ ハンガーフォード1974年、32ページ。
^ アルティン2011、43頁。
^ ab Kurzweil & Stellmacher 1998、p. 4.
^ ジェイコブソン2009、41ページ。
^ アッシュ 2002.
^ このビデオで教訓的な証明をご覧ください。
^ ダミット＆フット2004、90ページ。
^ ガリアン2013、81ページ。

参考文献

ジェイコブソン、ネイサン（2009）、基礎代数、第1巻（第2版）、ドーバー、ISBN 978-0-486-47189-1。
ハンガーフォード、トーマス（1974）、代数学（第1版）、Springer-Verlag、ISBN 9780387905181。
マイケル・アーティン(2011)、代数(第 2 版)、プレンティス・ホール、ISBN 9780132413770。
ダミット、デビッド S.; フット、リチャード M. (2004)。抽象代数(第 3 版)。ホーボーケン、ニュージャージー: Wiley。ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
ギャリアン、ジョセフ A. (2013)。現代抽象代数（第 8 版）。ボストン、マサチューセッツ州：ブルックス/コールセンゲージラーニング。ISBN 978-1-133-59970-8. OCLC 807255720.
カーツワイル、ハンス。ベルント・シュテルマッハー (1998)。理論デアエンドリッヒェングルッペン。シュプリンガー・レールブーフ。土井：10.1007/978-3-642-58816-7。
Ash, Robert B. (2002)。抽象代数: 大学院基礎課程。イリノイ大学数学部。

[FOOTNOTEGallian201361-1] ガリアン2013、61ページ。

[FOOTNOTEHungerford197432-2] ハンガーフォード1974年、32ページ。

[FOOTNOTEArtin201143-3] アルティン2011、43頁。

[FOOTNOTEKurzweilStellmacher19984-4] Kurzweil & Stellmacher 1998、p. 4.

[FOOTNOTEJacobson200941-5] ジェイコブソン2009、41ページ。

[FOOTNOTEAsh2002-6] アッシュ 2002.

[7] このビデオで教訓的な証明をご覧ください。

[FOOTNOTEDummitFoote200490-8] ダミット＆フット2004、90ページ。

[FOOTNOTEGallian201381-9] ガリアン2013、81ページ。

サブグループ

サブグループテスト

部分群の基本的性質

剰余類とラグランジュの定理

例: Zのサブグループ₈