反対グループ

数学の一分野である群論において、反対群とは、右作用を左作用の特殊なケースとして定義することを可能にする別の群から群を構築する方法である。

モノイド、群、環、代数は、単一のオブジェクトを持つカテゴリとして見ることができます。反対のカテゴリの構築により、反対の群、反対の環など が一般化されます。

を演算 による群とします。 の反対群 はと同じ基底集合を持ち、その群演算はによって定義されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle *}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathbin {\ast '}}}$${\displaystyle g_{1}{\mathbin {\ast '}}g_{2}=g_{2}*g_{1}}$

がアーベル群である場合、それはその反対群と等しい。また、すべての群（必ずしもアーベル群ではない）は、その反対群と自然に同型である。同型はによって与えられる。より一般的には、任意の反自己同型はを介し​​て対応する同型を生じる。なぜなら、 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi :G\to G^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle \varphi (x)=x^{-1}}$ ${\displaystyle \psi :G\to G}$${\displaystyle \psi ':G\to G^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle \psi '(g)=\psi (g)}$

${\displaystyle \psi '(g*h)=\psi (g*h)=\psi (h)*\psi (g)=\psi (g){\mathbin {\ast '}}\psi (h)=\psi '(g){\mathbin {\ast '}}\psi '(h).}$

を何らかのカテゴリの対象とし、を右アクションとします。すると、 は、またはによって定義される左アクション となります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (X)}$${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }:G^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Aut} (X)}$${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }(g)x=x\rho (g)}$${\displaystyle g^{\mathrm {op} }x=xg}$

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