キューブ

キューブ
タイプ	プラトン立体 正多面体 平行 面体 ゾノヘドロン プレシオ ヘドロン ハンナー多面体
顔	6
エッジ	12
頂点	8
対称グループ	八面体対称性 ${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$
二面角（度）	90°
二重多面体	正八面体
プロパティ	凸、 面推移、 辺推移、 頂点推移、 非複合

幾何学において、立方体または正六面体は、6 つの合同な正方形の面で囲まれた3 次元の立体で、多面体の一種です。 立方体には、12 の合同な辺と 8 つの頂点があります。 立方体は、向かい合った面のペアが平行な平行六面体の一種で、より具体的には、合同な辺を持つ菱面体、および交差する面のペアと交差する辺のペアが直角である直方体です。 立方体は、プラトン立体、正多面体、平行面体、ゾノヘドロン、プレシオヘドロンなど、多くの多面体のクラスの一例です。立方体の双対多面体は、正八面体です。

立方体は、3 次元の超立方体であり、 2 次元の正方形や 4 次元の四次元立方体も含む多面体の族です。単位辺の長さを持つ立方体は、3 次元空間における体積の標準的な単位で、他の立体の測定基準となります。

立方体はさまざまな方法で表現できますが、そのうちの 1 つは立方体グラフと呼ばれるグラフです。これは、グラフの直積を使用して構築できます。立方体は古代に発見されました。プラトン立体の創始者であるプラトンは、立方体を地球の性質と関連付けました。ヨハネス ケプラーが提唱した太陽系の一部として使用されました。立方体をさまざまな方法で導出してより多くの多面体を作成することもできますし、他の多面体を接続して 新しい多面体を構築するという用途もあります。

立方体は、辺の長さが等しい直方体の特殊なケースです。 ^[1]他の直方体と同様に、立方体のすべての面には 4 つの頂点があり、各頂点は 3 つの合同な直線で接続されています。これらの辺は正方形の面を形成し、隣接する 2 つの正方形間の立方体の二面角は正方形の内角である90° になります。したがって、立方体には 6 つの面、12 の辺、8 つの頂点があります。^[2]このような特性のため、立方体は 5 つのプラトン立体の 1 つ、つまりすべての正多角形が合同で、各頂点で同じ数の面が接する多面体として分類されます。 ^[3]

辺の長さが の立方体があるとします。立方体の面対角線は正方形の対角線であり、立方体の空間対角線はと定式化される、同じ面にない 2 つの頂点を結ぶ線です。両方の式は、ピタゴラスの定理を使用して決定できます。立方体の表面積は、正方形の面積の 6 倍です。^[4] 直方体の体積は、その長さ、幅、高さの積です。立方体の辺の長さはすべて等しいため、次の式が成り立ちます。^[4]${\displaystyle a}$${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$${\displaystyle a{\sqrt {3}}}$${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=6a^{2}.}$$ $${\displaystyle V=a^{3}.}$$

特別なケースの 1 つに単位立方体があります。これは、各辺の長さが1 単位であることからそのように名付けられています。したがって、各面は単位正方形であり、図形全体の体積は 1 立方単位です。 ^{[5] [6]} ライン公ルパートにちなんで名付けられたルパート王子の立方体は、辺が約 6% 長いにもかかわらず、単位立方体に開けられた穴を通過できる最大の立方体です。^[7]同じサイズかそれより小さいコピーを通過できる多面体は、ルパート特性を持つと言われています。^[8]

立方体を2倍にする幾何学の問題（デリアン問題とも呼ばれる）では、コンパスと定規だけを使って、元の2倍の体積を持つ立方体を作成する必要があります。古代の数学者はこの古い問題を解くことができませんでしたが、1837年にフランスの数学者ピエール・ワンツェルが不可能であることを証明しました。^[9]

立方体の内接球面は、辺の長さが のとき、立方体の面の重心で接する半径 の球面です。立方体の中球面は、立方体の辺に接する半径 の球面です。立方体の外接球面は、立方体の頂点に接する半径 の球面です。^[10]${\displaystyle a}$${\textstyle {\frac {1}{2}}a}$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}a}$${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

外接球面の半径が の立方体の場合、その立方体の8つの頂点から の距離を持つ3次元空間内の任意の点について、次の式が成り立ちます。 ^[11]${\displaystyle R}$${\displaystyle d_{i}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.}$$

立方体は正八面体対称性 を持つ。立方体は鏡映対称性、つまり平面で半分に切ることによる対称性で構成されている。鏡映対称性は 9 つあり、そのうち 5 つは立方体を辺の中点から切り取ったもので、4 つは対角線上に切ったものである。また、立方体は回転対称性、つまり外観が交換可能な軸の周りを回転させることによる対称性で構成されている。立方体は正八面体回転対称性を持つ。つまり、立方体の反対側の面の重心を 3 本、反対側の辺の中点を 6 本、反対側の頂点を 4 本通る軸があり、これらの軸はそれぞれ 4 回回転対称 (0°、90°、180°、270°)、2 回回転対称 (0° と 180°)、3 回回転対称 (0°、120°、240°) である。^{[12] [13] [14]}${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$${\displaystyle \mathrm {O} }$

双対多面体は、多面体の各頂点を平面に接するように配置することで得られる。この方法は極反転と呼ばれる。 ^[15]双対多面体の一般的な特性として、多面体とその双対が3次元対称点群を共有することがあげられる。この場合、立方体の双対多面体は正八面体であり、これら2つの多面体はともに同じ対称性、すなわち八面体対称性を持つ。^[16]

立方体は面推移的であり、つまり2つの正方形は似ており、回転や鏡映によって写像できる。^[17]立方体は頂点推移的であり、つまり全ての頂点は等しく、対称性の下で等長的に写像できる。^[18]また、辺推移的であり、つまり同じ種類の面が同じまたは逆の順序で各頂点を囲み、隣接する2つの面はすべて同じ二面角を持つ。したがって、立方体はこれらの特性を必要とするため、正多面体である。 ^[19]

立方体はあらゆる直方体の中でも特別なケースです。前述のように、立方体は辺の長さが等しく、すべての面が正方形である直方体として表すことができます。 ^[1]立方体は、すべての辺が等しい平行六面体と考えることができます。 ^[20]

立方体はプレシオヘドロンであり、対称的なデローネ集合のボロノイセルとして定義できる特殊な空間充填多面体である。^[21]プレシオヘドロンには平行面体も含まれ、回転せずに平行移動してハニカムと呼ばれる空間を埋めることができる。ハニカムでは、そのコピーの各面が別のコピーの同様の面に取り付けられている。平行面体には5種類あり、そのうちの1つが直方体である。^[22]すべての3次元平行面体はゾノヘドロンであり、中心対称の多面体で、その面は中心対称の多角形である。^[23]

立方体を構築する基本的な方法は、ネットを使用することです。ネットとは、多角形の辺をつなげて多面体を構成する、辺をつなげた多角形の配置です。ここでは、立方体のネットが11個示されています。^[24]

解析幾何学では、立方体は直交座標系を用いて構築される。原点を中心とし、辺が軸に平行で辺の長さが 2 である立方体の場合、頂点の直交座標はである。^[25]その内部は、すべてのに対して となるすべての点から構成される。中心がで辺の長さが である立方体の表面は、 ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2})}$${\displaystyle -1<x_{i}<1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle (x,y,z)}$$${\displaystyle \max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.}$$

立方体は3つの線分の直積で構成できるため、ハンナー多面体である。その双対多面体である正八面体は3つの線分の直和で構成されている。 ^[26]

シュタイニッツの定理によれば、グラフは多面体の骨格として表すことができる。大まかに言えば、多面体の骨組みである。このようなグラフには2つの特性がある。1つは平面グラフであり、グラフの辺は他の辺と交差することなくすべての頂点に接続されている。もう1つは3連結グラフであり、3つ以上の頂点を持つグラフでは、2つの頂点を削除しても辺は接続されたままである。^{[27] [28]}立方体の骨格はグラフとして表すことができ、立方体グラフ、プラトングラフと呼ばれる。立方体と同じ数の頂点と辺を持ち、頂点は12個、辺は8個である。^[29]

立方体グラフは、グラフの直積と呼ばれる演算を使って構築できるため、超立方体グラフまたは-立方体 の特殊なケースであり、 と表記されます。簡単に言えば、その構築には、2 つのグラフの頂点のペアを辺で接続して新しいグラフを形成することが含まれます。^[30]立方体グラフの場合、それは 2 つの の積であり、大まかに言えば、正方形に似たグラフです。言い換えると、立方体グラフは、2 つの正方形の各頂点を辺で接続することによって構築されます。表記上、立方体グラフは と表記できます。^{[31]超立方体グラフの一部として、}単位距離グラフの例でもあります。^[32]${\displaystyle n}$${\displaystyle Q_{n}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle Q_{3}}$

他の直方体グラフと同様に、立方体グラフもプリズムグラフに分類されます。^[33]

平行光線で照らされた物体は、その光線に垂直な平面に影を落とします。これを正射影といいます。多面体は、光の何らかの位置においてその正射影が正多角形となる場合、等射影的であると考えられます。立方体は、頂点と反対の頂点を結ぶ4本の線のうちの1本に光が平行である場合、その投影が正六角形となるため、等射影的です。慣例的に、立方体は6-等射影的です。^[34]

立方体は、構成行列として表すことができます。構成行列とは、行と列が頂点、辺、面などの多面体の要素に対応する行列です。行列の対角線は、多面体に現れる各要素の数を示しますが、行列の非対角線は、行の要素内またはその要素に現れる列の要素の数を示します。前述のように、立方体には 8 つの頂点、12 の辺、6 つの面があります。行列の対角線の各要素は、8、12、6 と表されます。中央の行の最初の列は、各辺に (つまり、端に) 2 つの頂点があることを示し、2 と表されます。最初の行の中央の列は、各頂点で 3 つの辺が交わることを示し、3 と表されます。次の行列は次のようになります。^[35] $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&3&3\\2&12&2\\4&4&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$$

プラトン立体は古代から知られている多面体の集合である。この立体はプラトンの『ティマイオス対話』にちなんで名付けられた。プラトンはこれらの立体を自然界に帰した。そのうちの一つである立方体は、その安定性から古典的な土の要素を表した。 ^[36] ユークリッドの『原論』は、立方体を含むプラトン立体を定義し、これらの立体を、外接球の直径と辺の長さの比を求める問題に使用した。^[37]

ヨハネス・ケプラーは、プラトンが自然界に帰属させたことに従い、著書『世界の調和』の中でプラトン立体のそれぞれをスケッチした。その一つは立方体で、ケプラーは立方体に木を描いた。^[36]ケプラーはまた、著書『宇宙の神秘』の中で、プラトン立体を別の立体の中に収め、それらを6つの惑星に似た6つの球で区切るという太陽系を提唱した。整列した立体は、最も内側から最も外側に向かって、正八面体、正二十面体、正十二面体、正四面体、立方体であった。^[38]

立方体は多面体の構築に現れることがあり、そのタイプのいくつかは次のように異なって派生することがあります。

• 立方体をファセット化すると、つまり立方体の新しい頂点を作らずに多角形の面の一部を削除すると、結果として得られる多面体は星型八面体になります。^[39]
• 立方体は非複合多面体であり、2つ以上の正多面体に分離できない凸多面体である。立方体は、別の正多面体を接合することで新しい凸多面体を構築するために応用することができる。^[40]立方体の各正方形の面に四角錐を接合すると、クリートープと呼ばれる多面体が生成され、テトラキス六面体と呼ばれる。^[41] 1つと2つの正四角錐が正方形の面に接合されていると仮定する。その場合、それらはそれぞれジョンソン立体の例である細長い四角錐と細長い四角両錐の構築である。 ^[42]
• 立方体の各頂点は切り詰めることができ、その結果得られる多面体はアルキメデスの立体、つまり切り詰められた立方体である。^[43]辺を切り詰めると、菱形立方八面体となる。^[44]同様に、菱形立方八面体は、立方体の面を分離してから広げ、その間に他の三角形と四角形の面を追加することによっても構築でき、これは「拡張立方体」として知られている。同様に、立方体の双対である正八面体によっても構築できる。^[45]
• 立方体の角の領域は、平面（たとえば、隣接する 3 つの頂点によって張られる平面）によって切り取られることもあり、その結果、三直角四面体になります。
• スナブキューブは、立方体の面を分離し、その隙間をねじれた角度の正三角形で埋めることで構築できるアルキメデスの立体です。このプロセスはスナブとして知られています。^[46]

ハニカムは三次元空間における空間充填またはモザイク状の格子であり、多面体を隙間なくその面に貼り付けることによって構築される物体である。立方体はセルとして表すことができ、ハニカムの例としては、立方ハニカム、5次立方ハニカム、6次立方ハニカム、7次立方ハニカムなどがある。^{[47]立方体は6つの}四角錐で構築することができ、頂点同士を貼り付けることで空間をタイル張りする。^[48]

ポリキューブは、多数の立方体の面が接合された多面体である。同様に、3次元空間のポリオミノとして解釈することができる。 ^[49] 4つの立方体を垂直に積み重ね、残りの4つを積み重ねた上から2番目の立方体に接続すると、サルバドール・ダリにちなんでダリ十字となる。ダリ十字はタイル空間多面体であり、^{[50] [51]}テッセラクト網として表すことができる。テッセラクトとは、立方体に類似した24個の正方形で囲まれた4次元空間であり、セルと呼ばれる8つの立方体で囲まれている。^[52]

• Weisstein、Eric W.「Cube」。MathWorld。
• キューブ: インタラクティブ多面体モデル*
• インタラクティブなアニメーションによる立方体の体積
• Cube (ロバート・ウェッブのサイト)