空間を覆う

{\displaystyle U} — 直感的に言えば、局所的な覆いは、開けた近隣地域の上に「積み重ねたパンケーキ」のように張り巡らされている。 $U$ に $U$

位相幾何学において、被覆または被覆射影とは、位相空間間の写像であり、直感的には、局所的に空間の複数のコピーをそれ自身に射影するのと似た働きをする。特に、被覆は局所同相写像の特殊なタイプである。 $p:{\tilde {X}}\to X$ カバーであり、 $({\tilde {X}},p)$ は、覆いの空間または覆いであると言われています。 $X$ 、そして $X$ は、覆いの土台、または単に土台であると言われています。用語の誤用により、 $\displaystyle {\tilde {X}}}$ そして $p$ 被覆空間は、被覆空間とも呼ばれることがあります。被覆は局所同相写像であるため、被覆空間は特殊なエタレ空間です。

被覆空間は、複素解析（特に解析接続の手法）の文脈で初めて登場し、リーマンによって、自然に多価複素関数が単価になる領域として導入されました。これらの空間は現在、リーマン面と呼ばれています。^{[ 1 ]}^{： 10}

被覆空間は、数学のいくつかの分野で重要なツールです。現代幾何学では、被覆空間（または、条件がやや弱い分岐被覆）は、多様体、オービフォールド、およびそれらの間の射の構成に使用されます。代数トポロジーでは、被覆空間は基本群と密接に関連しています。例えば、すべての被覆はホモトピー持ち上げ特性を持つため、被覆空間はホモトピー群の計算において重要なツールとなります。この流れにおける標準的な例は、被覆を用いて円の基本群を計算することです。 $\displaystyle S^{1}}$ による $\mathbb {R}$ （下記参照）。^{[ 2 ]}^{： 29}特定の条件下では、被覆空間は基本群の部分群とのガロア対応も示す。

意味

させて $X$ 位相空間である。 $X$ 連続マップ

{\displaystyle \pi

すべての $x\in X$ 開放的な近隣地域が存在する $U_{x}$ の $x$ そして独立した空間 $D_{x}$ そのため $\pi ^{-1}(U_{x})$ は互いに素な和集合です $\displaystyle \displaystyle \bigsqcup _{d\in D_{x}}V_{d}}$ そして $\pi |_{V_{d}}:V_{d}\rightarrow U_{x}$ はすべての同相写像である $d ∈ D_x$ 開集合 $V_{d}$ これらはシートと呼ばれ、同相を除いて一意に決定されます。 $U_{x}$ 接続されています。^{[ 2 ]}^{： 56}各 $x\in X$ 離散集合 $\displaystyle \pi ^{-1}(x)$ 繊維と呼ばれる $x$ 。もし $X$ 接続されている（そして $\displaystyle {\tilde {X}}}$ が空でない場合、次のことが示せる。 $\pi$ は全射であり、濃度は $D_{x}$ すべて同じです $x\in X$ ; この値は被覆度と呼ばれます。 $\displaystyle {\tilde {X}}}$ パス連結である場合、被覆 ${\displaystyle \pi$ はパス連結被覆と呼ばれます。この定義は、次の記述と同等です。 $\pi$ は局所的に自明なファイバー束である。

また、著者の中には、 $\pi$ の場合、全射である $X$ 接続されていません。^{[ 3 ]}

例

すべての位相空間 $X$ アイデンティティマップ $\operatorname {id} :X\rightarrow X$ は覆いである。同様に、あらゆる離散空間についても同様である。 $D$ 投影 $\pi :X\times D\rightarrow X$ 取っている $(x,i)\mapsto x$ は被覆です。このタイプの被覆は自明な被覆と呼ばれます。 $D$ 有限個の（例えば） $k$ ）要素の場合、被覆は自明な $k$ -シート状の覆い $X$ 。

{\displaystyle Y=[0,1]\times \mathbb {R} } — 無限帯 $Y=[0,1]\times \mathbb {R}$ 環状部の被覆空間である $X=[0,1]\times S^{1}$ 互いに素な開集合 $S_{i}$ 同相写像される $U$ 繊維 $x$ 無限点集合から構成される $\{y_{i}\}_{i\in \mathbb {Z} }$ 。

地図 $\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$ と $r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ 単位円の被覆である $\displaystyle S^{1}}$ カバーのベースは $\displaystyle S^{1}}$ そして被覆空間は $\mathbb {R}$ 任意の時点 $x=(x_{1},x_{2})\in S^{1}$ そのため $x_{1}>0$ セット $U:=\{(x_{1},x_{2})\in S^{1}\mid x_{1}>0\}$ は、 $x$ . の原像 $U$ 下 $r$ は
$r^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }\left(n-{\frac {1}{4}},n+{\frac {1}{4}}\right)$

そして、被覆材のシートは

V_{n}=(n-1/4,n+1/4)

のために

n\in \mathbb {Z} .

繊維

x

は

r^{-1}(x)=\{t\in \mathbb {R} \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=x\}.

単位円のもう一つの被覆は地図である $\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ と $q(z)=z^n$ ポジティブな面もある $n\in \mathbb {N} .$ 開放的な近隣地域 $U$ の $x\in S^{1}$ 1つは以下を持つ：

q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U

。

局所同相写像ではあるが単位円の被覆ではない写像は $p:\mathbb {R_{+}} \to S^{1}$ と $p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ オープンな近隣のシートがあります $(1,0)$ これは同相写像されない $U$ 。

させて $n\geq 1$ 奇妙だ。地図 $p:\mathrm {O} (n)\to \mathrm {SO} (n)$ 定義される $p(Q)=(\det Q)Q$ これは準同型二重被覆である。

物件

局所同相写像

カバーリング $\pi :E\rightarrow X$ 互いに素な開集合のそれぞれをマッピングする $\displaystyle \pi ^{-1}(U)$ 同形的に $U$ これは局所的な同相写像である。 $\pi$ は連続マップであり、すべての $e\in E$ 開放的な近隣地域が存在する $V\subset E$ の $e$ 、したがって $\pi |_{V}:V\rightarrow \pi (V)$ これは同相写像である。

したがって、被覆空間は $E$ そしてベーススペース $X$ ローカル環境では同じプロパティを共有します。

もし $X$ が連結かつ向き付け不可能な多様体であるならば、被覆が存在する。 ${\displaystyle \pi$ 次数 $2$ それによって $\displaystyle {\tilde {X}}}$ 連結かつ向き付け可能な多様体である。^{[ 2 ]}^{： 234}
もし $X$ が連結リー群である場合、被覆が存在する。 ${\displaystyle \pi$ はリー群準同型でもあり、 ${\displaystyle {\チルダ {X}}:=\{\gamma$ リー群である。^{[ 4 ]}^{: 174}
もし $X$ がグラフである場合、被覆については次のようになります。 $\pi :E\rightarrow X$ それ $E$ これもグラフである。^{[ 2 ]}^{： 85}
もし $X$ 連結多様体であれば、被覆が存在する。 ${\displaystyle \pi$ 、これにより $\displaystyle {\tilde {X}}}$ 連結かつ単連結な多様体である。^{[ 5 ]}^{： 32}
もし $X$ が連結リーマン面であるならば、被覆が存在する。 ${\displaystyle \pi$ は正則写像でもある^{[ 5 ]}^{: 22}および $\displaystyle {\tilde {X}}}$ 連結かつ単連結なリーマン面である。^{[ 5 ]}^{： 32}

因数分解

させて $X,Y$ そして $E$ パス接続された、局所的にパス接続された空間であり、 $p,q$ そして $r$ 連続マップである。

通勤。

もし $p$ そして $q$ カバーなので、 $r$ 。
もし $p$ そして $r$ カバーなので、 $q$ [ ⁶^]^：⁴⁸⁵

被覆材製品

させて $X$ そして $X'$ 位相空間であり、 $p:E\rightarrow X$ そして $p':E'\rightarrow X'$ 覆いとなるならば、 $p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'$ と $(p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))$ は覆いである。^{[ 6 ]}^{： 339}しかし、 $X\times X'$ 一般的に、この形式がすべて当てはまるわけではありません。

被覆の同等性

させて $X$ 位相空間であり、 $p:E\rightarrow X$ そして $p':E'\rightarrow X$ 被覆である。同相写像が存在する場合、両方の被覆は同値であると呼ばれる。 $h:E\rightarrow E'$ 図が

可換である。そのような同相写像が存在する場合、被覆空間を次のように呼ぶ。 $E$ そして $E'$ 同型。

持ち上げ特性

すべての被覆材は、以下の揚力特性を満たしています。

させて $I$ 単位区間とし、 $p:E\rightarrow X$ 覆いとせよ。 $F:Y\times I\rightarrow X$ 連続マップであり、 $\displaystyle {\tilde {F}}_{0}:Y\times \{0\}\rightarrow E}$ リフト $F|_{Y\times \{0\}}$ すなわち、連続写像で、 $p\circ {\tilde {F}}_{0}=F|_{Y\times \{0\}}$ そして、一意に決定された連続的な地図が存在する。 ${\tilde {F}}:Y\times I\rightarrow E$ そのために ${\チルダ {F}}(y,0)={\チルダ {F}}_{0}$ そしてそれはリフトである $F$ つまり $p\circ {\tilde {F}}=F$ [ ²^]^：⁶⁰

もし $X$ は経路連結空間である。 $Y=\{0\}$ つまり地図は ${\tilde {F}}$ 道のリフトは $X$ そして $Y=I$ これは、パスのホモトピーの持ち上げです。 $X$ 。

その結果、基本群が $\pi _{1}(S^{1})$ 単位円の無限巡回群は、ループのホモトピー類によって生成される。 $\gamma :I\rightarrow S^{1}$ と $\gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ [ ²^]^：²⁹

させて $X$ 経路でつながった空間であり、 $p:E\rightarrow X$ 連結被覆とする。 $x,y\in X$ パスで結ばれた任意の2点とする。 $\gamma$ つまり $\gamma (0)=x$ そして $\gamma (1)=y$ 。させて ${\tilde {\gamma }}$ ユニークなリフト $\gamma$ そして地図

L_{\gamma }:p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)

と

L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)

全単射である。^{[ 2 ]}^{: 69}

もし $X$ は経路で繋がった空間であり、 $p:E\rightarrow X$ 連結被覆、そして誘導群準同型

p_{\#}:\pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)

と

p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]

、

は単射であり、部分群は $p_{\#}(\pi _{1}(E))$ の $\pi _{1}(X)$ ループのホモトピークラスから構成される $X$ エレベーターはループ状になっている $E$ [ ²^]^:⁶¹

枝分かれした被覆

定義

リーマン面間の正則写像

させて $X$ そして $Y$ をリーマン面、すなわち1次元複素多様体とし、 $f:X\rightarrow Y$ 連続した地図であること。 $f$ ある点において正則である $x\in X$ チャートの場合 $\phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}$ の $x$ そして $\phi _{f(x)}:U_{2}\rightarrow V_{2}$ の $f(x)$ 、と $\phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}$ 地図 $\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ 正則である。

もし $f$ 全く正則ではない $x\in X$ 私たちは言う $f$ 正則である。

地図 $F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}$ は、 $f$ で $x\in X$ 。

もし $f:X\rightarrow Y$ はコンパクトリーマン面間の非定数正則写像である。 $f$ 全射かつ開写像である、^{[ 5 ]}^{: 11}すなわちすべての開集合に対して $U\subset X$ 画像 $f(U)\subset Y$ こちらも営業中です。

分岐点と分岐点

させて $f:X\rightarrow Y$ コンパクトリーマン面間の非定数正則写像とする。 $x\in X$ チャートが存在する $x$ そして $f(x)$ そして、唯一決定された $k_{x}\in \mathbb {N_{>0}}$ ローカル表現 $F$ の $f$ で $x$ 形式は $z\mapsto z^{k_{x}}$ [ ⁵^]^：¹⁰番号 $k_{x}$ これは、 $f$ で $x$ そしてポイントは $x\in X$ 分岐点と呼ばれるのは、 $k_{x}\geq 2$ 。もし $k_{x}=1$ のために $x\in X$ 、それから $x$ 分岐していない。イメージポイント $y=f(x)\in Y$ 分岐点の端は分岐点と呼ばれる。

正則写像の次数

させて $f:X\rightarrow Y$ コンパクトリーマン面間の非定数正則写像である。次数は $\operatorname {deg} (f)$ の $f$ 分岐していない点のファイバーの濃度 $y=f(x)\in Y$ つまり $\operatorname {deg} (f):=|f^{-1}(y)|$ 。

この数値は明確に定義されており、すべての $y\in Y$ 繊維 $f^{-1}(y)$ 離散的である^{[ 5 ]}^{： 20}、任意の2つの非分岐点に対して $y_{1},y_{2}\in Y$ それは次のとおりです。 $|f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|.$

計算方法は以下のとおりです。

\sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=\operatorname {deg} (f)

^{[ 5 ]}^{： 29}

枝分かれした被覆

意味

連続マップ $f:X\rightarrow Y$ 稠密な補集合を持つ閉集合が存在する場合、それは分岐被覆と呼ばれる。 $E\subset Y$ 、したがって $f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}:X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E$ 覆いである。

例

させて $n\in \mathbb {N}$ そして $n\geq 2$ 、それから $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ と $f(z)=z^{n}$ 次数を持つ分岐被覆 $n$ それによって $z=0$ 分岐点です。
コンパクトリーマン面間のすべての非定数正則写像 $f:X\rightarrow Y$ 学位 $d$ 次数を持つ分岐被覆 $d$ 。

ユニバーサルカバー

意味

させて $p:{\tilde {X}}\rightarrow X$ 単純に連結された被覆である。 $\beta :E\rightarrow X$ が別の単連結被覆である場合、一意に決定される同相写像が存在する。 ${\displaystyle \alpha$ 、図式が

通勤。^{[ 6 ]}^{： 482}

これはつまり $p$ は、等価性を除いて一意に決定され、その普遍的な性質ゆえに空間の普遍的被覆として表される。 $X$ 。

存在

普遍被覆は必ずしも存在するとは限らない。以下の定理は、ある種の基底空間に対して普遍被覆の存在を保証する。

させて $X$ 連結で局所的に単連結な位相空間とする。このとき、普遍被覆が存在する。 $p:{\tilde {X}}\rightarrow X.$

セット ${\tilde {X}}$ は次のように定義される。 ${\displaystyle {\tilde {X}}=\{\gamma$ ここで $x_{0}\in X$ は任意の選択された基準点です。地図 $p:{\tilde {X}}\rightarrow X$ 定義される $p([\gamma ])=\gamma (1).$ ^{[ 2 ]}^{： 64}

トポロジー ${\tilde {X}}$ は次のように構築されます。 $\gamma :I\rightarrow X$ 道となる $\gamma (0)=x_{0}.$ させて $U$ 終点の単純連結近傍である $x=\gamma (1).$ そして、すべての $y\in U,$ 道がある $\sigma _{y}$ 内部 $U$ から $x$ に $y$ これはホモトピーを除いて一意である。次に、集合を考える。 ${\tilde {U}}=\{\gamma \sigma _{y}:y\in U\}/{\text{homotopy with fixed ends}}.$ 制限 $p|_{\tilde {U}}:{\tilde {U}}\rightarrow U$ と $p([\gamma \sigma _{y}])=\gamma \sigma _{y}(1)=y$ は全単射であり、 ${\tilde {U}}$ 最終的なトポロジーを備えることができる $p|_{\tilde {U}}.$

基本グループ $\pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma$ 自由に行動する ${\tilde {X}}$ による $([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma {\tilde {x}}],$ そして軌道空間 $\Gamma \backslash {\tilde {X}}$ は同相である $X$ 地図を通して $[\Gamma {\tilde {x}}]\mapsto {\tilde {x}}(1).$

例

$p:\mathbb {R} \to S^{1}$ と $p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ は単位円の普遍被覆である $S^{1}$ 。
$p:S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}$ と $p(x)=[x]$ 射影空間の普遍被覆である $\mathbb {R} P^{n}$ のために $n>1$ 。

$p:\mathrm {SU} (n)\times \mathbb {R} \to U(n)$ と $p(A,t)=\exp(2\pi it)A$ はユニタリ群の普遍被覆である $U(n)$ 。

以来 $\mathrm {SU} (2)\cong S^{3}$ 商写像は $p:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SU} (2)/\mathbb {Z_{2}} \cong \mathrm {SO} (3)$ は普遍的な被覆である $\mathrm {SO} (3)$ 。

普遍被覆を持たない位相空間の例として、ハワイアンイヤリングが挙げられる。 $X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}$ 原点のどの近傍も $(0,0)$ 単純に連結されている。^{[ 6 ]}^{： 487、例1}

Gカバーリング

Gを位相空間Xに作用する離散群とする。これは、 Gの各要素gに対して、 Xから自身への同相写像 H _gが対応付けられ、H _g_hは常に H _{gと等しくなることを意味する。} $\circ$ Gの任意の2 つの要素gとhに対してH _{h が}成り立つ。（言い換えれば、空間Xに対する群Gの群作用は、単に群GからXの自己同相写像の群 Homeo( X ) への群準同型写像である。） Xから軌道空間X / Gへの射影が被覆写像となる条件は何かと問うのは自然なことである。作用が固定点を持つ可能性があるため、これは常に真であるとは限らない。その例として、非単位元が( x , y ) ↦ ( y , x )によって作用するツイスト作用によって積X × Xに作用する位数 2 の巡回群が挙げられる。したがって、 XとX / Gの基本群間の関係の研究はそれほど単純ではない。

しかし、群G はXの基本群圏に作用するため、群圏に作用する群とそれに対応する軌道群圏を考えることで、この研究は最も適切に処理できます。この理論は、後述する書籍「トポロジーと群圏」の第 11 章に記載されています。主な結果は、普遍被覆を持つハウスドルフ空間Xに対する群Gの不連続作用の場合、軌道空間X / Gの基本群圏は、 Xの基本群圏の軌道群圏、すなわちその群圏を群Gの作用で割った商群と同型であるということです。これにより、例えば空間の対称正方形の基本群などの具体的な計算が可能になります。

滑らかな被覆材

$E$ と $M$ を境界の有無にかかわらず滑らかな多様体とする。被覆 $\pi :E\to M$ が滑らかな写像であり、シートが対応する $M$ の開集合に微分同相写像される場合、それは滑らかな被覆と呼ばれる。（これは、シートが対応する開集合に同相写像されることだけを要求する被覆の定義とは対照的である。）

デッキの変形

意味

させて $p:E\rightarrow X$ 覆いとなる。デッキの変形は同相写像である。 $d:E\rightarrow E$ 連続写像の図

通勤。地図の構成とともに、デッキ変換のセットはグループを形成します。 $\operatorname {Deck} (p)$ これは、 $\operatorname {Aut} (p)$ 。

さて、 $p:C\to X$ カバーマップであり、 $C$ （したがって、 $X$ ) は接続されており、ローカルパス接続されています。 $\operatorname {Aut} (p)$ 各ファイバー上では自由である。この作用が何らかのファイバー上で推移的であれば、すべてのファイバー上で推移的であり、その被覆を正則（または正規、ガロア）被覆と呼ぶ。このような正則被覆はすべて主被覆である。 $G$ -バンドル、 $G=\operatorname {Aut} (p)$ 離散位相群とみなされる。

すべてのユニバーサルカバー $p:D\to X$ は正則であり、デッキ変換群は基本群と同型である。 $\pi _{1}(X)$ 。

例

させて $q:S^{1}\to S^{1}$ 覆いとなる $q(z)=z^{n}$ 一部の人にとって $n\in \mathbb {N}$ そして地図 $d_{k}:S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi ik/n}$ のために $k\in \mathbb {Z}$ デッキの変形であり、 $\operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 。
させて $r:\mathbb {R} \to S^{1}$ 覆いとなる $r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ そして地図 $d_{k}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k$ のために $k\in \mathbb {Z}$ デッキの変形であり、 $\operatorname {Deck} (r)\cong \mathbb {Z}$ 。
もう一つの重要な例として、 $\mathbb {C}$ 複素平面と $\mathbb {C} ^{\times }$ 複素平面から原点を除いたもの。そして地図 $p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }$ と $p(z)=z^{n}$ は通常のカバーです。デッキの変換は、 $n$ したがって、 1のn乗根であり、デッキ変換群は巡回群と同型である。 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 同様に、地図 ${\displaystyle \exp$ かつ $\exp(z)=e^{z}$ これは汎用カバーです。

物件

させて $X$ 経路でつながった空間であり、 $p:E\rightarrow X$ 接続されたカバーになります。デッキの改造以来 $d:E\rightarrow E$ 全単射であり、ファイバーの要素を置換する。 $p^{-1}(x)$ と $x\in X$ そして、それは単一の点をどこに送るかによって一意に決定されます。特に、恒等写像のみがファイバー内の点を固定します。^{[ 2 ]}^{： 70}この性質により、すべてのデッキ変換は、上のグループアクションを定義します。 $E$ つまり、 $U\subset X$ オープンな近隣地域である $x\in X$ そして ${\tilde {U}}\subset E$ オープンな近隣 $e\in p^{-1}(x)$ 、それから $\operatorname {Deck} (p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})$ これはグループ行動です。

通常のカバー

意味

カバー $p:E\rightarrow X$ 正常と呼ばれる場合、 $\operatorname {Deck} (p)\backslash E\cong X$ これは、すべての $x\in X$ そして任意の２つ $e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)$ デッキの変形が存在する $d:E\rightarrow E$ 、したがって $d(e_{0})=e_{1}$ 。

物件

させて $X$ 経路でつながった空間であり、 $p:E\rightarrow X$ 連結被覆とする。 $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$ サブグループである $\pi _{1}(X)$ 、それから $p$ 通常の被覆である場合 $H$ は、 $\pi _{1}(X)$ 。

もし $p:E\rightarrow X$ 通常のカバーであり、 $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$ 、それから $\operatorname {Deck} (p)\cong \pi _{1}(X)/H$ 。

もし $p:E\rightarrow X$ は経路連結被覆であり、 $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$ 、それから $\operatorname {Deck} (p)\cong N(H)/H$ それによって $N(H)$ は正規化器です $H$ [ ²^]^：⁷¹

させて $E$ 位相空間である。群 $\Gamma$ 不連続に作用する $E$ すべて $e\in E$ 開放的な近隣地域 $V\subset E$ と $V\neq \emptyset$ 、すべての $d_{1},d_{2}\in \Gamma$ と $d_{1}V\cap d_{2}V\neq \emptyset$ 1つは $d_{1}=d_{2}$ 。

グループが $\Gamma$ 位相空間に不連続に作用する $E$ 商マップ $q:E\rightarrow \Gamma \backslash E$ と $q(e)=\Gamma e$ 通常の被覆である。^{[ 2 ]}^{： 72}ここに $\Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}$ は商空間であり、 $\Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}$ これは集団作用の軌道である。

例

カバー $q:S^{1}\to S^{1}$ と $q(z)=z^{n}$ あらゆるものに対する通常のカバー $n\in \mathbb {N}$ 。
単連結な被覆はすべて通常の被覆である。

計算

させて $\Gamma$ 位相空間に不連続に作用する群である $E$ そして $q:E\rightarrow \Gamma \backslash E$ 通常の被覆である。

もし $E$ パスが接続されているならば、 $\operatorname {Deck} (q)\cong \Gamma$ [ ²^]^:⁷²

もし $E$ 単純に接続すると、 $\operatorname {Deck} (q)\cong \pi _{1}(\Gamma \backslash E)$ [ ²^]^：⁷¹

例

させて $n\in \mathbb {N}$ 対蹠点地図 $g:S^{n}\rightarrow S^{n}$ と $g(x)=-x$ 地図の構成とともにグループを生成する $D(g)\cong \mathbb {Z/2Z}$ そして集団行動を誘発する $D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)$ 不連続に作用する $S^{n}$ 。のため $\mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}$ したがって、商マップは $q:S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}$ 通常のカバーであり、 $n>1$ 普遍的な覆い、したがって $\operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})$ のために $n>1$ 。
させて $\mathrm {SO} (3)$ を特殊直交群とすると、写像は $f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash \mathrm {SU} (2)$ 通常のカバーであり、 $\mathrm {SU} (2)\cong S^{3}$ それは普遍的な覆いであり、したがって $\operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {SO} (3))$ 。
グループ行動で $(z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)$ の $\mathbb {Z^{2}}$ の上 $\mathbb {R^{2}}$ それによって $(\mathbb {Z^{2}} ,*)$ 半直積 $\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z}$ 普遍的なカバー力を得る $f:\mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K$ クラインの壺の $K$ したがって $\operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)$ 。
させて $T=S^{1}\times S^{1}$ に埋め込まれたトーラスである。 $\mathbb {C^{2}}$ すると同相写像が得られる。 $\alpha :T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})$ これは不連続な群作用を引き起こす。 $G_{\alpha }\times T\rightarrow T$ それによって $G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z}$ したがって、地図は $f:T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K$ クラインの壺の通常の覆いであるため、 $\operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z}$ 。
させて $S^{3}$ 埋め込まれる $\mathbb {C^{2}}$ 集団行動以来 $S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})$ 不連続であるため、 $p,q\in \mathbb {N}$ 互いに素である、マップ $f:S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}$ レンズ空間の普遍的な被覆である $L_{p,q}$ したがって $\operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})$ 。

ガロア対応

させて $X$ 連結かつ局所的に単純連結な空間である場合、すべての部分群に対して $H\subseteq \pi _{1}(X)$ 経路連結被覆が存在する $\alpha :X_{H}\rightarrow X$ と $\alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H$ [ ²^]^:⁶⁶

させて $p_{1}:E\rightarrow X$ そして $p_{2}:E'\rightarrow X$ 2 つの経路連結被覆である場合、部分群が等しい場合に限り、それらは同値である。 $H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))$ そして $H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))$ 互いに共役である。 ^{[ 6 ]}^{： 482}

させて $X$ 空間が連結かつ局所的に単連結である場合、被覆間の同値性を除いて、全単射が存在する。

${\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{path-connected covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normal subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normal covering }}p:E\rightarrow X\}\end{matrix}}$

一連のサブグループの場合 $\displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)$ 一連の被覆が得られる ${\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}$ サブグループの場合 $H\subset \pi _{1}(X)$ インデックス付き $\displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d$ 覆い $\alpha :X_{H}\rightarrow X$ 学位を取得している $d$ 。

分類

定義

カバーの種類

させて $X$ 位相空間である。このカテゴリーの対象は ${\boldsymbol {Cov(X)}}$ カバーは $p:E\rightarrow X$ の $X$ そして2つの被覆間の射 $p:E\rightarrow X$ そして $q:F\rightarrow X$ 連続マップ $f:E\rightarrow F$ 図が

通勤。

Gセット

させて $G$ 位相群である。 ${\boldsymbol {G-Set}}$ は、 G集合である集合の圏である。射はG写像である。 $\phi :X\rightarrow Y$ G集合の間。条件を満たす。 $\phi (gx)=g\,\phi (x)$ すべての $g\in G$ 。

等価

させて $X$ つながりがあり、ローカルでシンプルにつながった空間であること、 $x\in X$ そして $G=\pi _{1}(X,x)$ 基本群である $X$ 。以来 $G$ パスの持ち上げと持ち上げの終点での評価によって、被覆のファイバー上の群作用を定義するファンクター $F:{\boldsymbol {Cov(X)}}\longrightarrow {\boldsymbol {G-Set}}:p\mapsto p^{-1}(x)$ これはカテゴリーの等価性である。^{[ 2 ]}^{： 68-70}

アプリケーション

ジンバルロックは、任意の写像T ³ → RP ³が被覆写像ではないために発生します。特に、関連する写像は、 T ³ の任意の要素、つまり角度 (実数 mod 2 $π$ )の順序付き三つ組 (a,b,c) を、3 つの座標軸回転 R _x (a)の合成に変換します。 $\circ$ R _y (b) $\circ$ R _z (c) は、それぞれこれらの角度で回転します。これらの回転とその合成は、位相的にRP ^{3である回転群 SO(3) の要素です。このアニメーションは、3 つのジンバルを一緒に取り付けて}*3 つの*自由度を可能にするセットを示しています。3 つのジンバルすべてが一直線に並んでいる場合 (同じ平面上)、システムはこの構成から 2 次元にしか移動できず、3 次元には移動できず、*ジンバルロック*状態になります。この場合、ピッチまたはヨーはできますが、ロール (すべての軸が存在する平面内での回転) はできません。

{\displaystyle \circ } — ジンバルロックは、任意の写像T ³ → RP ³が被覆写像ではないために発生します。特に、関連する写像は、 T ³ の任意の要素、つまり角度 (実数 mod 2 $π$ )の順序付き三つ組 (a,b,c) を、3 つの座標軸回転 R _x (a)の合成に変換します。 $\circ$ R _y (b) $\circ$ R _z (c) は、それぞれこれらの角度で回転します。これらの回転とその合成は、位相的にRP ^{3である回転群 SO(3) の要素です。このアニメーションは、3 つのジンバルを一緒に取り付けて}*3 つの*自由度を可能にするセットを示しています。3 つのジンバルすべてが一直線に並んでいる場合 (同じ平面上)、システムはこの構成から 2 次元にしか移動できず、3 次元には移動できず、*ジンバルロック*状態になります。この場合、ピッチまたはヨーはできますが、ロール (すべての軸が存在する平面内での回転) はできません。

被覆空間の重要な実用的応用例は、回転群SO (3) 上のチャートに見られます。この群は、航海、海事工学、航空宇宙工学など、多くの用途で 3 次元回転が多用されるため、工学分野で広く用いられています。位相的には、SO( ³ ) は基本群Z /2 を持つ実射影空間RP3であり、唯一の (非自明な) 被覆空間は超球面S3で、これは群Spin(3)^であり、単位四元数で表されます。したがって、四元数は空間回転を表す好ましい方法です (四元数と空間回転を参照)。

しかし、平面回転に慣れている人にとっては概念的に理解しやすいことと、3つのジンバルを組み合わせることで3次元回転を生成できることから、回転をオイラー角（様々なバリエーションがある）と呼ばれる3つの数値で表すことが望ましい場合が多い。位相的には、これは3つの角度を表す3次元トーラスT3から回転を表す実射影空間RP3への写像に対応し^、^結果として得られる写像は被覆写像にはなり得ないため不完全性を持つ。具体的には、写像が特定の点で局所同相写像にならないことをジンバルロックと呼び、右側のアニメーションで示されている。軸が同一平面上にある場合、写像のランクは3ではなく2となり、角度を変更することでその点から実現できる回転次元は2次元に限られる。これは応用上問題となり、被覆空間の概念によって形式化される。

さらに読む

ハッチャー、アレン（2002）。代数トポロジー。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-79160-XOCLC 45420394。
フォースター、オットー（1981）。リーマン面に関する講義。ニューヨーク。ISBN 0-387-90617-7OCLC 7596520 {{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)
マンクレス、ジェームス R. (2018)。トポロジー。ニューヨーク州ニューヨーク州。ISBN 978-0-13-468951-7OCLC 964502066 {{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)
キュネル、ヴォルフガング (2011)。Matrizen und Lie-Gruppen Eine geometrische Einführung (ドイツ語)。ヴィースバーデン: Vieweg+Teubner Verlag。土井: 10.1007/978-3-8348-9905-7。ISBN 978-3-8348-9905-7. OCLC 706962685 .

参考文献

↑フォースター、オットー (1981)。「第 1 章：空間の被覆」。リーマン面に関する講義。GTM。ブルース・ギリアン訳。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 9781461259633。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16ハッチャー、アレン (2001)。代数トポロジー。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-79160-X。
↑ローランド、トッド。「カバリングマップ」。MathWorld（Wolfram Webリソース）より、エリック・W・ワイススタイン作成。https ://mathworld.wolfram.com/CoveringMap.html
↑ヴォルフガングのキューネル (2010 年 12 月 6 日)。マトリゼンとリーグルッペン。シュトゥットガルト: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH。ISBN 978-3-8348-9905-7。
1 2 3 4 5 6 7フォースター、オットー (1991).リーマン面に関する講義. ミュンヘン: シュプリンガー・ベルリン. ISBN 978-3-540-90617-9。
1 2 3 4 5マンクレス、ジェームズ(2000).トポロジー. アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: プレンティスホール社. ISBN 978-0-13-468951-7。

[Gillian-1] フォースター、オットー (1981)。「第 1 章：空間の被覆」。リーマン面に関する講義。GTM。ブルース・ギリアン訳。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 9781461259633。

[Hatcher-2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16ハッチャー、アレン (2001)。代数トポロジー。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-79160-X。

[3] ローランド、トッド。「カバリングマップ」。MathWorld（Wolfram Webリソース）より、エリック・W・ワイススタイン作成。https ://mathworld.wolfram.com/CoveringMap.html

[4] ヴォルフガングのキューネル (2010 年 12 月 6 日)。マトリゼンとリーグルッペン。シュトゥットガルト: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH。ISBN 978-3-8348-9905-7。

[Forster-5] 1 2 3 4 5 6 7フォースター、オットー (1991).リーマン面に関する講義. ミュンヘン: シュプリンガー・ベルリン. ISBN 978-3-540-90617-9。

[Munkres-6] 1 2 3 4 5マンクレス、ジェームズ(2000).トポロジー. アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: プレンティスホール社. ISBN 978-0-13-468951-7。

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[ 4 ]

[ 5 ]

6

意味

例

物件

局所同相写像

因数分解

被覆材製品

被覆の同等性

持ち上げ特性

枝分かれした被覆

定義

リーマン面間の正則写像

分岐点と分岐点

正則写像の次数

枝分かれした被覆

意味

例

ユニバーサルカバー

意味

存在

例

Gカバーリング

滑らかな被覆材

デッキの変形

意味

例

物件

通常のカバー

意味

物件

例

計算

例

ガロア対応

分類

定義

カバーの種類

Gセット

等価

アプリケーション

関連項目

さらに読む

参考文献

関連するトピック

開けた近隣地域の上に「積み重ねたパンケーキ」のように張り巡らされている。

位相幾何学

位相空間

写像