定義 サブグループ N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} は正規部分群 と呼ばれる。G {\displaystyle G} 共役 に関して不変である場合、つまり、要素の共役がN {\displaystyle N} G {\displaystyle G} N 。 {\displaystyle N.} N ◃ G 。 {\displaystyle N\triangleleft G.}
同等の条件 任意のサブグループN {\displaystyle N} G 、 {\displaystyle G,} 同等です N {\displaystyle N} G 。 {\displaystyle G.}
共役のイメージN {\displaystyle N} G {\displaystyle G} N 、 {\displaystyle N,} g N g − 1 ⊆ N {\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N} g ∈ G {\displaystyle g\in G} 共役のイメージN {\displaystyle N} G {\displaystyle G} N 、 {\displaystyle N,} g N g − 1 = N {\displaystyle gNg^{-1}=N} g ∈ G {\displaystyle g\in G} すべての人にとってg ∈ G 、 {\displaystyle g\in G,} 剰余類 g N {\displaystyle gN} N g {\displaystyle Ng} 左剰余類と右剰余類 の集合N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} 乗算G {\displaystyle G} g 、 g ′ 、 h 、 h ′ ∈ G {\displaystyle g,g',h,h'\in G} g N = g ′ N {\displaystyle gN=g'N} h N = h ′ N {\displaystyle hN=h'N} （ g h ） N = （ g ′ h ′ ） N 。 {\displaystyle (gh)N=(g'h')N.} 左剰余類の集合上に群が存在するN {\displaystyle N} g N {\displaystyle gN} h N {\displaystyle hN} （ g h ） N {\displaystyle (gh)N} 商群 と呼ばれます）G {\displaystyle G} モジュロ N {\displaystyle N} G / N {\displaystyle G/N} N {\displaystyle N} 、 G 。 {\displaystyle G.} N {\displaystyle N} 内部自己同型 によって保存されるG 。 {\displaystyle G.} 群準同型 が存在するG → H {\displaystyle G\to H} 核 はN 。 {\displaystyle N.} 群準同型が存在するϕ : G → H {\displaystyle \phi :G\to H} 繊維は 、同一要素がN {\displaystyle N} ϕ − 1 （ h 1 ） {\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1})} ϕ − 1 （ h 2 ） {\displaystyle \phi ^{-1}(h_{2})} ϕ − 1 （ h 1 h 2 ） {\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1}h_{2})} G / N {\displaystyle G/N} 合同関係 がいくつかあるG {\displaystyle G} 同値 類は N {\displaystyle N} すべての人にとってn ∈ N {\displaystyle n\in N} g ∈ G 、 {\displaystyle g\in G,} [ n 、 g ] = n − 1 g − 1 n g {\displaystyle [n,g]=n^{-1}g^{-1}ng} N 。 {\displaystyle N.} 任意の2つの要素は、正規部分群メンバーシップ関係を法として可換である。すなわち、すべてのg 、 h ∈ G 、 {\displaystyle g,h\in G,} g h ∈ N {\displaystyle gh\in N} h g ∈ N 。 {\displaystyle hg\in N.}
例 どのグループでもG 、 {\displaystyle G,} { e } {\displaystyle \{e\}} G {\displaystyle G} G 。 {\displaystyle G.} G {\displaystyle G} G 。 {\displaystyle G.} G {\displaystyle G} （単純 であると言われている。） 任意の群の他の正規部分群には、群の中心 （他のすべての要素と可換な要素の集合）と交換子部分群がある。 [ G 、 G ] 。 {\displaystyle [G,G].} 任意の特性部分群 は正規部分群である。
もしG {\displaystyle G} がアーベル群 である場合、すべての部分群N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} g N = { g n } n ∈ N = { n g } n ∈ N = N g 。 {\displaystyle gN=\{gn\}_{n\in N}=\{ng\}_{n\in N}=Ng.} G {\displaystyle G} 中心 のすべてのサブグループZ （ G ） {\displaystyle Z(G)} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} ハミルトン群 と呼ばれる。
正規部分群の具体的な例としては、部分群が挙げられます。N = { （ 1 ） 、 （ 123 ） 、 （ 132 ） } {\displaystyle N=\{(1),(123),(132)\}} 対称群 のS 3 、 {\displaystyle S_{3},} N {\displaystyle N} N {\displaystyle N} （ 12 ） N = { （ 12 ） 、 （ 23 ） 、 （ 13 ） } 。 {\displaystyle (12)N=\{(12),(23),(13)\}.} H = { （ 1 ） 、 （ 12 ） } {\displaystyle H=\{(1),(12)\}} S 3 {\displaystyle S_{3}} （ 123 ） H = { （ 123 ） 、 （ 13 ） } ≠ { （ 123 ） 、 （ 23 ） } = H （ 123 ） 。 {\displaystyle (123)H=\{(123),(13)\}\neq \{(123),(23)\}=H(123).} H ≤ G {\displaystyle H\leq G} インデックス 2の値は正常です。
行列群 内の正規部分群の例として、一般線形群を考えてみましょう。 G L n （ R ） {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )} n × n {\displaystyle n\times n} S L n （ R ） {\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )} n × n {\displaystyle n\times n} 行列式 1の行列(特殊線形群 )。部分群がなぜそうなるのかを見るためにS L n （ R ） {\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )} G L n （ R ） {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )} X {\displaystyle X} S L n （ R ） {\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )} A {\displaystyle A} 検出 （ A B ） = 検出 （ A ） 検出 （ B ） {\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)} 検出 （ A − 1 ） = 検出 （ A ） − 1 {\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}} 検出 （ A X A − 1 ） = 検出 （ A ） 検出 （ X ） 検出 （ A ） − 1 = 検出 （ X ） = 1 {\displaystyle \det(AXA^{-1})=\det(A)\det(X)\det(A)^{-1}=\det(X)=1} A X A − 1 ∈ S L n （ R ） {\displaystyle AXA^{-1}\in \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )} S L n （ R ） {\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )} G L n （ R ） {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )} [ a ]
ルービックキューブのグループ では、コーナーピースまたはエッジピースの向きのみに影響を与える操作で構成されるサブグループは正常である。
並進群は 、任意の次元のユークリッド群 の正規部分群です。 これは、剛体変換を適用し、続いて並進を行い、さらに逆剛体変換を行うと、単一の並進と同じ効果が得られることを意味します。対照的に、原点周りのすべての回転の部分群は、次元が少なくとも 2 である限り、ユークリッド群の正規部分群では ありません 。最初に並進し、次に原点周りに回転させ、次に元の位置に並進しても、通常は原点が固定されないため、原点周りの単一の回転と同じ効果は得られません。
物件 もしH {\displaystyle H} G 、 {\displaystyle G,} K {\displaystyle K} G {\displaystyle G} H 、 {\displaystyle H,} H {\displaystyle H} K 。 {\displaystyle K.} 群の正規部分群の正規部分群は、その群において正規である必要はない。つまり、正規性は推移的関係 ではない。この現象を示す最小の群は、位数 8 の二面体群である。 しかし、正規部分群の特性部分群は正規である。 正規性が推移的である群は、T 群 と呼ばれる。 2つのグループG {\displaystyle G} H {\displaystyle H} それらは直積 の正規部分群であるG × H 。 {\displaystyle G\times H.} グループがG {\displaystyle G} 直積 G = N ⋊ H 、 {\displaystyle G=N\rtimes H,} N {\displaystyle N} G 、 {\displaystyle G,} H {\displaystyle H} G 。 {\displaystyle G.} もしM {\displaystyle M} N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} G = M + N {\displaystyle G=M+N} M ∩ N = { 0 } {\displaystyle M\cap N=\{0\}} G = M ⊕ N 。 {\displaystyle G=M\oplus N.} 全射準同型の下では正規性は保持される。つまり、G → H {\displaystyle G\to H} N {\displaystyle N} G 、 {\displaystyle G,} f （ N ） {\displaystyle f(N)} H 。 {\displaystyle H.} 逆像を 取ることで正規性が保たれる。つまり、G → H {\displaystyle G\to H} N {\displaystyle N} H 、 {\displaystyle H,} f − 1 （ N ） {\displaystyle f^{-1}(N)} G 。 {\displaystyle G.} 直積 をとると正規性が保たれる。つまり、N 1 ◃ G 1 {\displaystyle N_{1}\triangleleft G_{1}} N 2 ◃ G 2 、 {\displaystyle N_{2}\triangleleft G_{2},} N 1 × N 2 ◃ G 1 × G 2 。 {\displaystyle N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}.} 指数 2のすべてのサブグループは正常です。より一般的には、サブグループ、H 、 {\displaystyle H,} n 、 {\displaystyle n,} G {\displaystyle G} K 、 {\displaystyle K,} G {\displaystyle G} n ! {\displaystyle n!} 通常のコア と呼ばれる。特に、p {\displaystyle p} G 、 {\displaystyle G,} p {\displaystyle p} 通常のサブグループがG {\displaystyle G} G {\displaystyle G} 単純であり、 有限群は、素指数 の正規部分群を持たない場合に限り完全 であり、導来部分 群が適切な正規部分群によって補われていない場合に限り不完全です。
もしN {\displaystyle N} （ 1 1 N ） （ 1 2 N ） := （ 1 1 1 2 ） N 。 {\displaystyle \left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_{1}a_{2}\right)N.} G / N × G / N → G / N 。 {\displaystyle G/N\times G/N\to G/N.} 1 1 、 1 2 {\displaystyle a_{1},a_{2}} 1 1 ′ ∈ 1 1 N 、 1 2 ′ ∈ 1 2 N 。 {\displaystyle a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N.} n 1 、 n 2 ∈ N {\displaystyle n_{1},n_{2}\in N} 1 1 ′ = 1 1 n 1 、 1 2 ′ = 1 2 n 2 。 {\displaystyle a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}.} 1 1 ′ 1 2 ′ N = 1 1 n 1 1 2 n 2 N = 1 1 1 2 n 1 ′ n 2 N = 1 1 1 2 N 、 {\displaystyle a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N,} N {\displaystyle N} 正規 部分群であり、したがってn 1 ′ ∈ N {\displaystyle n_{1}'\in N} n 1 1 2 = 1 2 n 1 ′ 。 {\displaystyle n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'.}
この操作により、剰余類の集合自体が群となり、商群 と呼ばれ、で表されます。G / N 。 {\displaystyle G/N.} 自然な準同型 が存在する。f : G → G / N 、 {\displaystyle f:G\to G/N,} f （ 1 ） = 1 N 。 {\displaystyle f(a)=aN.} N {\displaystyle N} G / N 、 {\displaystyle G/N,} e N = N 、 {\displaystyle eN=N,} カー （ f ） = N 。 {\displaystyle \ker(f)=N.}
一般に、群準同型は、f : G → H {\displaystyle f:G\to H} G {\displaystyle G} H 。 {\displaystyle H.} H {\displaystyle H} G 。 {\displaystyle G.} { e } {\displaystyle \{e\}} H {\displaystyle H} を カー f 。 {\displaystyle \ker f.} G 、 f （ G ） 、 {\displaystyle G,f(G),} 同型 であるG / カー f {\displaystyle G/\ker f} 第一同型定理 ）。実際、この対応は、すべての商群の集合と、G 、 G / N 、 {\displaystyle G,G/N,} G {\displaystyle G} を除いて ）。また、商写像の核は、f : G → G / N 、 {\displaystyle f:G\to G/N,} N {\displaystyle N} それ自体なので、正規部分群は、定義域 を持つ準同型の核に正確に一致する。G 。 {\displaystyle G.}
参考文献 バーグヴァル、オロフ。エリン・ヒニング。ヘドバーグ、ミカエル。ジョエル・ミケリン。マサウェ、パトリック（2010 年 5 月 16 日）。「ルービックキューブについて」（PDF） 。KTH 。 カントレル、CD（2000）。物理学者とエンジニアのための現代数学的手法 。ISBN 978-0-521-59180-5 。 Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004).オートマタネットワークの代数理論 . SIAM 離散数学および応用に関するモノグラフ. SIAM. ジョン B. フレーリー (2003)。抽象代数の最初のコース (第 7 版)。アディソン・ウェスリー。ISBN 978-0-321-15608-2 。 ホール、マーシャル（1999）。群論 。プロビデンス：チェルシー出版。ISBN 978-0-8218-1967-8 。 ハンガーフォード、トーマス（2003）。代数学 。大学院数学テキスト。シュプリンガー。 ハンガーフォード、トーマス（2013）。抽象代数学入門 。ブルックス/コール・センゲージ・ラーニング。 ジャドソン、トーマス W. (2020).抽象代数学：理論と応用 。 Robinson, Derek JS (1996).群論入門 . 大学院数学テキスト. 第 80巻 (第2 版). Springer-Verlag . ISBN 978-1-4612-6443-9 . Zbl 0836.20001 . サーストン、ウィリアム （1997）。レヴィ、シルヴィオ（編）。三次元幾何学とトポロジー、第1巻 。プリンストン数学シリーズ。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-08304-9 。ブラッドリー、CJ（2010）。立体の対称性の数学理論 ：点群と空間群の表現論 。オックスフォード、ニューヨーク：クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-958258-7 OCLC 859155300
さらに読む IN Herstein 、『代数学のトピックス』 第2版。Xerox College Publishing、マサチューセッツ州レキシントン、オンタリオ州トロント、1975年。xi+388ページ。
![{\displaystyle [n,g]=n^{-1}g^{-1}ng}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790f6d6b3dc4cbd133dac4423c1ef93c96131068)
![{\displaystyle [G,G].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6733075f76db7d7910fae5342b94508ee54fca94)
