群コホモロジー

数学(より具体的にはホモロジー代数)において、群コホモロジーは、代数位相幾何学からの技術であるコホモロジー理論を用いて群を研究するために用いられる数学的ツールの集合である。群表現と同様に、群コホモロジーは、群Gの関連するG加群Mにおける群作用に注目して、群の特性を解明する。G 加群を、n 個の単体を表す要素を持つ一種の位相空間として扱うことにより、コホモロジー群の集合などの空間の位相特性を計算できる。次に、コホモロジー群は、群GおよびG加群M自体の構造についての知見を提供する。群コホモロジーは、加群または空間における群作用の不動点、および群作用に関する商加群または空間の調査において役割を果たす。群コホモロジーは、抽象代数学、ホモロジー代数、代数的位相幾何学、代数的数論の分野、および群論そのものへの応用で使用されます。代数的位相幾何学と同様に、群ホモロジーと呼ばれる双対理論があります。群コホモロジーの手法は、 G加群の代わりに、G が非可換G群に作用する場合にも拡張できます。つまり、加群を非可換係数に一般化することです。 ${\displaystyle G^{n}}$${\displaystyle H^{n}(G,M)}$

これらの代数的概念は位相的概念と密接に関係している。離散群Gの群コホモロジーとは、 G を基本群とする適切な空間、すなわち対応するアイレンバーグ・マクレーン空間の特異コホモロジーである。したがって、 の群コホモロジーは円S ¹の特異コホモロジーと考えることができる。同様に、 の群コホモロジーはの特異コホモロジーである。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

群のコホモロジーについては、低次元コホモロジーの解釈、関数性、群の変更方法など、多くのことが知られています。群のコホモロジーの主題は 1920 年代に始まり、1940 年代後半に成熟し、現在でも活発な研究分野として続いています。

群論における一般的なパラダイムは、群 G はその群表現を介して研究されるべきであるというものです。これらの表現を少し一般化したものには、 G加群があります。G加群は、アーベル群 Mと、 GのMへの群作用を組み合わせたもので、 Gのすべての要素はMの自己同型として機能します。 G を乗法的に、M を加法的に記述します。

このようなGモジュールMが与えられた場合、 G不変元のサブモジュールを考えるのが自然です。

${\displaystyle M^{G}=\lbrace x\in M\ |\ \forall g\in G:\ gx=x\rbrace .}$

さて、N がMのGサブモジュール（つまり、 Gの作用によって自身に写像されたMのサブグループ）である場合、 の不変量はMの不変量をNの不変量で割った商として見つかるというのは一般には正しくありません。つまり、「 Nを法として」不変であるというのはより広い意味です。第一群コホモロジーの目的は、この違いを正確に測定することです。 ${\displaystyle M/N}$${\displaystyle H^{1}(G,N)}$

一般に、群コホモロジー関数は、不変量をとることが正確なシーケンスを尊重しない程度を測定します。これは、長い正確なシーケンスによって表現されます。 ${\displaystyle H^{*}}$

すべてのG加群のコレクションはカテゴリです(射は同変群準同型、つまり、GのすべてのgとMのすべてのxに対して の性質を持つ群準同型 fです)。各加群Mを不変量のグループに送ると、 G加群のカテゴリからアーベル群のカテゴリAbへの関数が得られます。この関数は左厳密ですが、右厳密である必要はありません。したがって、その右導来関数を形成できます。^[a]それらの値はアーベル群であり、 、 「Mに係数を持つGのn番目のコホモロジー群」によって表されます。さらに、グループはと同一視される場合があります。 ${\displaystyle f(gx)=g(f(x))}$${\displaystyle M^{G}}$${\displaystyle H^{n}(G,M)}$${\displaystyle H^{0}(G,M)}$${\displaystyle M^{G}}$

導来関手を用いた定義は概念的には非常に明確であるが、具体的な応用には、一部の著者が定義としても使用している以下の計算が役立つことが多い。^[1]を からMへのすべての関数の群とする（ここではを意味する）。これはアーベル群であり、その要素は（非同次） n-コチェーンと呼ばれる。コバウンダリー準同型は次のように定義される。 ${\displaystyle n\geq 0,}$${\displaystyle C^{n}(G,M)}$${\displaystyle G^{n}}$${\displaystyle G^{0}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}d^{n+1}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)\\\left(d^{n+1}\varphi \right)(g_{1},\ldots ,g_{n+1})=g_{1}\varphi (g_{2},\dots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi \left(g_{1},\ldots ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1}\right)+(-1)^{n+1}\varphi (g_{1},\ldots ,g_{n}).\end{cases}}}$

をチェックすると、これはコホモロジーを計算できるコチェーン複体を定義する。導来関手による群コホモロジーの上記の定義は、この複体のコホモロジーと同型であることが示される。 ${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0,}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=Z^{n}(G,M)/B^{n}(G,M).}$

ここで、 n -共環群とn -共境界群はそれぞれ次のように定義される。

${\displaystyle Z^{n}(G,M)=\ker(d^{n+1})}$

${\displaystyle B^{n}(G,M)={\begin{cases}0&n=0\\\operatorname {im} (d^{n})&n\geqslant 1\end{cases}}}$

G加群を群環 上の加群として解釈すると、次のことがわかる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G],}$

${\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$

すなわち、 MのG不変元の部分群は、からの準同型群と同一視され、これはMへの自明なG加群（Gのすべての元が恒等関数として作用する）として扱われます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

したがって、Ext関手はHomの導来関手なので、自然な同型性が存在する。

${\displaystyle H^{n}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M).}$

これらの Ext 群は の射影分解によっても計算できます。この利点は、このような分解がGのみに依存し、 Mには依存しないことです。この文脈では、 Ext の定義をより明示的に思い出します。F を自明な- モジュールの射影分解(たとえば、自由- 分解)とします。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\to F_{n-1}\to \cdots \to F_{0}\to \mathbb {Z} \to 0.}$

例えば、群環の分解は常に射によって 行われる。${\displaystyle F_{n}=\mathbb {Z} [G^{n+1}],}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:\mathbb {Z} [G^{n+1}]\to \mathbb {Z} [G^{n}]\\(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(g_{0},\ldots ,{\widehat {g_{i}}},\dots ,g_{n}\right)\end{cases}}}$

-加群NとMについて、 Hom _G ( N , M ) はNからMへの-準同型からなるアーベル群であることを思い出してください。は反変関数であり、矢印を反転するため、Fに項ごとに適用して削除すると、コチェーン複体が生成されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)(F,M)}$

${\displaystyle \cdots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n},M)\leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n-1},M)\leftarrow \dots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{0},M)\leftarrow 0.}$

モジュールMに係数を持つGのコホモロジー群は、上記のコチェーン複体のコホモロジーとして定義されます。 ${\displaystyle H^{*}(G,M)}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=H^{n}({\rm {Hom}}_{G}(F,M)),\qquad n\geqslant 0.}$

この構成は、まず「同次」コチェーンに 作用する共境界演算子につながる。これらは の要素、つまり、${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(F,M)}$${\displaystyle \phi _{n}\colon G^{n}\to M}$

${\displaystyle g\phi _{n}(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n})=\phi _{n}(gg_{1},gg_{2},\ldots ,gg_{n}).}$

共境界演算子は、例えば次のように自然に定義される。 ${\displaystyle \delta \colon C^{n}\to C^{n+1}}$

${\displaystyle \delta \phi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})=\phi _{2}(g_{2},g_{3})-\phi _{2}(g_{1},g_{3})+\phi _{2}(g_{1},g_{2}).}$

前の節で定義され、「不均質」なコチェーンに作用するコ境界演算子dとの関係は、次のように再パラメータ化することによって与えられる。 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{2}(g_{1},g_{2})&=\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\\varphi _{3}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\phi _{4}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3}),\end{aligned}}}$

などなど。

${\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\delta \phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})\\&=\phi _{3}(g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\phi _{3}(1,g_{2},g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\varphi _{2}(g_{2},g_{3})-\varphi _{2}(g_{1}g_{2},g_{3})+\varphi _{2}(g_{1},g_{2}g_{3})-\varphi _{2}(g_{1},g_{2}),\end{aligned}}}$

前のセクションと同様。

群コホモロジーの構成と双対的に、群ホモロジーの次の定義がある：G加群 Mが与えられたとき、DMをg · m  −  m、g  ∈  G、m  ∈  Mの形式の元によって生成される部分加群 とする。Mにいわゆる共変量を割り当てると、商

${\displaystyle M_{G}:=M/DM,}$

は右完全関数である。その左導来関数は定義により群ホモロジーである

${\displaystyle H_{n}(G,M).}$

M _{G を}Mに割り当てる共変関手は、Mをに送る関手と同型であり、この関手は自明なG作用を備えている。^{[b]したがって、} Tor 関手に関する群ホモロジーの表現も得られる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M,}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{n}(G,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}$

コホモロジー/ホモロジーの上付き/下付き表記は、グループ不変量/共変量の表記と一致しますが、これは「co-」スイッチで示されます。

• 上付き文字はコホモロジーH*と不変量X ^Gに対応し、
• 下付き文字はホモロジーH _∗と共変量X _G  := X / Gに対応する。

具体的には、ホモロジー群H _n ( G , M ) は次のように計算できます。前のセクションと同様に、自明な- モジュールの射影分解 Fから始めます。共変関数をFに項ごとに適用して、連鎖複体を取得します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \cdot \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to F_{n-1}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \cdots \to F_{0}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M.}$

このとき、H _n ( G , M ) は、 n ≥ 0 に対してこの鎖複合体のホモロジー群である。${\displaystyle H_{n}(G,M)=H_{n}(F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M)}$

群ホモロジーおよびコホモロジーは、いくつかの群、特に有限群に対して、完全解決およびテイトコホモロジー群の観点から均一に扱うことができます。

主イデアル領域k内の値を持つアーベル群Gの群ホモロジーは外積代数と密接に関係している。^[c]${\displaystyle H_{*}(G,k)}$ ${\displaystyle \wedge ^{*}(G\otimes k)}$

最初のコホモロジー群は、いわゆる交差準同型写像、すなわち、Gのすべてのa、bに対してf ( ab ) = f ( a ) + af ( b )を満たす（集合の）写像f  : G → M の商であり、いわゆる主交差準同型写像、すなわち、ある固定されたm ∈ Mに対してf ( g ) = gm − mで与えられる写像f  : G → Mを法とする。これは、上記のコチェーンの定義に従う。

GのMへの作用が自明であれば、交差準同型は通常の準同型であり、共境界（つまり主交差準同型）は必ず像が同一にゼロになるので、上記はH ¹ ( G , M ) = Hom( G , M )、つまり群準同型 G → Mの群に要約されます。したがって、ゼロ共境界のみが存在することになります。

一方、 の場合を考えます。ここで は、任意の に対してa を-aに送る、整数の加法群上の非自明な-構造を表します。また、を群 と見なします。 の像のすべての可能なケースを考慮すると、交差準同型は、任意の整数tに対して、およびを満たすすべての写像を構成することがわかります。主交差準同型は、さらに、ある整数mに対して を満たす必要があります。したがって、 -1 を偶数に送るすべての交差準同型は主であり、したがって次のようになります。 ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \{\pm 1\}}$${\displaystyle \{1,-1\}}$${\displaystyle f_{t}:\{\pm 1\}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle f_{t}(1)=0}$${\displaystyle f_{t}(-1)=t}$${\displaystyle f_{t}(-1)=(-1)*m-m=-2m}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle t=-2m}$

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})\cong \mathbb {Z} /2={\rm {\ (say)\ {\it {}}}}\langle f:f(1)=0,f(-1)=1\rangle ,}$

群演算は点ごとの加算です: 、 は単位元であることに注意してください。 ${\displaystyle (f_{s}+f_{t})(x)=f_{s}(x)+f_{t}(x)=f_{s+t}(x)}$${\displaystyle f_{0}}$

M が自明なG加群（つまり、 GのMへの作用が自明な）である場合、第 2 コホモロジー群H ² ( G , M ) は、 MによるGの中心拡大の集合と一対一に対応します（自然な同値関係を除きます）。より一般的には、GのMへの作用が自明でない場合、H ² ( G , M ) は、 GのEへの作用（内部自己同型による）がM（の像）に同型G加群構造を与える、 MによるGのすべての拡大の同型類を分類します。 ${\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 0}$

すぐ上ののセクションの例では、与えられた非自明な作用による によるの唯一の拡張は、分割拡張である無限二面体群であるため、群の内部では自明です。これは、群論的な観点から見ると、 の唯一の非自明な要素の重要性です。 ${\displaystyle H^{1}}$${\displaystyle H^{2}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})=0,}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle H^{2}}$${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$

2番目のコホモロジー群の例はブラウアー群である。これは、可分閉包の可逆元に作用する 体kの絶対ガロア群のコホモロジーである。

${\displaystyle H^{2}\left(\mathrm {Gal} (k),(k^{\mathrm {sep} })^{\times }\right).}$

[1]も参照。

生成元 を持つ の位数 の 有限巡回群の場合、関連する群環の元はとの積が次式で与えられるため、ゼロの約数となる。${\displaystyle G=C_{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma -1\in \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=1+\sigma +\sigma ^{2}+\cdots +\sigma ^{m-1}\in \mathbb {Z} [G],}$

与える

${\displaystyle {\begin{aligned}N(1-\sigma )&=1+\sigma +\cdots +\sigma ^{m-1}\\&\quad -\sigma -\sigma ^{2}-\cdots -\sigma ^{m}\\&=1-\sigma ^{m}\\&=0.\end{aligned}}}$

この性質は、複素数を介して自明な- 加群の解決^{[2] [3]}を構築するために使用できる。${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {N} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\text{aug}} \mathbb {Z} \to 0}$

任意の- モジュールに対する群コホモロジー計算を与える。増加写像は自明なモジュールに - 構造を与えることに注意すること。${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

${\displaystyle {\text{aug}}\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)=\sum _{g\in G}a_{g}}$

この解決は、コホモロジー群の同型性が存在するため、群コホモロジーの計算を与える。

${\displaystyle H^{k}(G,A)\cong {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} [G]}^{k}(\mathbb {Z} ,A)}$

上の複体に関手を適用すると（この解決は準同型なので は削除）、次の計算が得られる。${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,A)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{k}(G,A)={\begin{cases}A^{G}/NA&k{\text{ even}},k\geq 2\\{}_{N}A/(\sigma -1)A&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$

のために

${\displaystyle {}_{N}A=\{a\in A:Na=0\}}$

例えば、 が自明なモジュールである場合、 、、 となり、したがって${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{G}=\mathbb {Z} }$${\displaystyle N\mathbb {Z} ={\text{aug}}(N)\mathbb {Z} =m\mathbb {Z} }$${\displaystyle {}_{N}\mathbb {Z} =0}$

${\displaystyle H^{k}(C_{m},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} &k{\text{ even}},k\geq 2\\0&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$

巡回群の群コホモロジーに対するコサイクルは、バー分解^[4]を用いて明示的に与えることができる。奇数に対するコサイクルの生成元は、写像${\displaystyle l}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \omega _{a}:B_{l}\to k^{*}}$

与えられた

${\displaystyle [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]\mapsto \zeta _{m}^{ai_{1}\left[{\frac {i_{2}+i_{3}}{m}}\right]\cdots \left[{\frac {i_{l-1}+i_{l}}{m}}\right]}}$

奇数 の場合、 、原始- 乗根、- 乗根を含む体、および${\displaystyle l}$${\displaystyle 0\leq a\leq m-1}$${\displaystyle \zeta _{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \left[{\frac {a}{b}}\right]}$

はを超えない最大の整数を表す有理数です。また、表記法として${\displaystyle a/b}$${\displaystyle a/b}$

${\displaystyle B_{l}=\bigoplus _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{l}\leq m-1}\mathbb {Z} G\cdot [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]}$

ここでは の生成元です。ゼロでない偶数インデックスの場合、コホモロジー群は自明であることに注意してください。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle G=C_{m}}$${\displaystyle l}$

集合が与えられた場合、関連する自由群は自明なモジュールの明示的な解決^[5]を持ち、これは簡単に計算できる。拡大写像に注目${\displaystyle S}$${\displaystyle G={\text{Free}}(S)={\underset {s\in S}{*}}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

${\displaystyle {\text{aug}}:\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

は集合によって生成された自由サブモジュールによって与えられた核を持つので、${\displaystyle I_{S}}$${\displaystyle \{s-1:s\in S\}}$

${\displaystyle I_{S}=\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} [G]\cdot (s-1)}$。

このオブジェクトは自由であるため、解像度が与えられます

${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}\to 0}$

したがって、係数が であるの群コホモロジーは、関数を複素数 に適用することで計算でき、${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to 0}$

${\displaystyle H^{k}(G,\mathbb {Z} _{\text{triv}})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

これはデュアルマップ

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} _{\text{triv}})\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})}$

任意の-module 射を送信する${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

${\displaystyle \phi :\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

をの誘導写像に包含を合成することで与える。 に送られる写像は増加写像の -倍数のみであり、最初のコホモロジー群を与える。2番目のコホモロジー群は、他の写像のみに注目することで見つけることができる。${\displaystyle I_{S}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \psi \in {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})}$

は、固定された に対して を送出し、任意の に対して を送出するマップの -基底によって生成できます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (s-1)\mapsto 1}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle (s'-1)\mapsto 0}$${\displaystyle s'\in S-\{s\}}$

文字によって生成される 自由群の群コホモロジーは、群コホモロジーを位相幾何学におけるその解釈と比較することで簡単に計算できる。すべての群に対して、群の分類空間と呼ばれる位相空間が存在し、その性質が次の通りであることを思い出そう。${\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$

${\displaystyle \pi _{1}(BG)=G{\text{ and }}\pi _{k}(BG)=0{\text{ for }}k\geq 2}$。

さらに、その位相コホモロジーは群コホモロジーと同型であるという性質を持つ。

${\displaystyle H^{k}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{k}(G,\mathbb {Z} )}$

いくつかのグループコホモロジー群を計算する方法を与える。注：写像によって決定される任意の局所系に置き換えることができる。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \pi _{1}(G)\to GL(V)}$

あるアーベル群 に対しては、 となる。の文字に対しては、これは円のくさび和^[6]で表され、これはヴァン・カンペンの定理を用いて示され、群のコホモロジー^{[7]を与える。}${\displaystyle V}$${\displaystyle B(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{1}\vee \cdots \vee S^{1}}$

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{n}&k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

階数の 整格子（したがって と同型）の場合、その群コホモロジーは比較的簡単に計算できます。まず、、およびは を持ち、これらはアーベル群として と同型であるため、群コホモロジーは同型${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle B\mathbb {Z} \cong S^{1}}$${\displaystyle B\mathbb {Z} \times B\mathbb {Z} }$${\displaystyle \pi _{1}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{k}(\Lambda ,\mathbb {Z} _{\text{triv}})\cong H^{k}(\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} )}$

階数 のトーラスの積分コホモロジーを持つ。 ${\displaystyle n}$

以下では、M をG加群とします。

実際には、コホモロジー群は次のような事実を使って計算されることが多い。

${\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0}$

がG加群の短完全列である場合、長完全列が誘導される:

${\displaystyle 0\longrightarrow L^{G}\longrightarrow M^{G}\longrightarrow N^{G}{\overset {\delta ^{0}}{\longrightarrow }}H^{1}(G,L)\longrightarrow H^{1}(G,M)\longrightarrow H^{1}(G,N){\overset {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}H^{2}(G,L)\longrightarrow \cdots }$

いわゆる接続準同型、

${\displaystyle \delta ^{n}:H^{n}(G,N)\to H^{n+1}(G,L)}$

は、不均質コチェーンの観点から次のように記述できます。^[8]がnコサイクルで表される場合、は次のように表されます。ここで、 nコチェーン「リフティング」（つまり、射影写像M → Nとの合成） です。${\displaystyle c\in H^{n}(G,N)}$${\displaystyle \phi :G^{n}\to N,}$${\displaystyle \delta ^{n}(c)}$${\displaystyle d^{n}(\psi ),}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle G^{n}\to M}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$

群コホモロジーは群Gに反変的に依存する。つまり、f  : H → Gが群準同型ならば、自然に誘導される写像H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( H , M ) が存在する（後者では、M はf を介してH加群として扱われる） 。この写像は制限写像と呼ばれる。GにおけるHの添え字が有限ならば、逆方向の写像も存在し、転送写像と呼ばれる。^[9]

${\displaystyle cor_{H}^{G}:H^{n}(H,M)\to H^{n}(G,M).}$

0次では、写像によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{cases}M^{H}\to M^{G}\\m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm\end{cases}}}$

G加群の射M → Nが与えられると、 H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( G , N )におけるコホモロジー群の射が得られます。

特異コホモロジーやド・ラームコホモロジーなどの位相幾何学における他のコホモロジー理論と同様に、群コホモロジーは積構造を持ち、カップ積と呼ばれる自然な写像が存在する。

${\displaystyle H^{n}(G,N)\otimes H^{m}(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)}$

任意の 2 つのG加群MとNに対して成り立つ。これにより、 上の次数付き反可換環構造が得られる。ここで、Rはまたは などの環である。有限群Gに対して、特性pにおけるこのコホモロジー環の偶数部は、群Gの構造について多くの情報を持ち、たとえば、この環のクルル次元はアーベル部分群の最大階数に等しい。^[10]${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{n}(G,R),}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p.}$${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{2n}(G,\mathbb {Z} /p)}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{r}}$

例えば、離散位相の下で2つの元を持つ群をGとする。実射影空間は Gの分類空間である。2つの元の体を考える。すると、 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x],}$

これは単一の生成子上の多項式k代数である。これは${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

M = k が体であれば、 H* ( G ; k ) は次数付きk代数であり、群の積のコホモロジーは個々の群のコホモロジーとキュネス公式によって関連付けられる。

${\displaystyle H^{*}(G_{1}\times G_{2};k)\cong H^{*}(G_{1};k)\otimes H^{*}(G_{2};k).}$

例えば、G が階数rの基本アーベル 2 群である場合、キュネスの公式は、GのコホモロジーがH ¹ ( G ; k ) のrクラスによって生成される多項式k代数であることを示します。 ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x_{1},\ldots ,x_{r}].}$

他のコホモロジー理論、例えば特異コホモロジー、群コホモロジー、ホモロジーは、短い正確なシーケンスによって互いに関連している^[11]

${\displaystyle 0\to \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}\left(H_{n-1}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to H^{n}(G,A)\to \mathrm {Hom} \left(H_{n}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to 0,}$

ここで、Aは自明なG作用を与えられており、左側の項は最初のExt 群です。

2つの群G ₁とG ₂の部分群である群Aが与えられたとき、（整数係数を持つ）併合積のホモロジーは、長い正確な列に存在する。 ${\displaystyle G:=G_{1}\star _{A}G_{2}}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(G_{1})\oplus H_{n}(G_{2})\to H_{n}(G)\to H_{n-1}(A)\to \cdots }$

のホモロジーは次のように計算できます。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /4\star _{\mathbb {Z} /2}\mathbb {Z} /6}$

${\displaystyle H_{n}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=0\\\mathbb {Z} /12&{\text{odd degrees}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

この正確なシーケンスは、無限体kに対してと特殊線型群のホモロジーが一致することを示すのにも適用できます。^[12]${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k[t])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k)}$

ホッホシルト・セールのスペクトル列は、Gの正規部分群Nのコホモロジーと商G/N を、群Gのコホモロジー((準)有限群Gの場合) に関連付けます。この列から、インフレーション制限の正確な列が得られます。

群コホモロジーは、層コホモロジーなどの位相コホモロジー理論と同型性^[13]によって密接に関連している。

${\displaystyle H^{n}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{n}(G,\mathbb {Z} ).}$

左の式は の分類空間である。これはEilenberg–MacLane 空間、つまり基本群がで高次ホモトピー群が消える空間である。^[d]およびの分類空間は、それぞれ1 次元球面S ¹、無限実射影空間、レンズ空間である。一般に、は商 として構築でき、ここで はが自由に作用する収縮可能な空間である。しかし、は通常、簡単に従える幾何学的記述を持たない。 ${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )=\cup _{n}\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle EG/G}$${\displaystyle EG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$

より一般的には、任意の- 加群に局所係数系を付加することができ、上記の同型は同型^{[14]に一般化される。}${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle BG}$

${\displaystyle H^{n}(BG,M)=H^{n}(G,M).}$

ファイバの位相とアイレンバーグ・マクレーン空間の性質を使って群の半直積を計算する方法がある。群の半直積には、関連する群の短い完全列があることを思い出すとよい。${\displaystyle G=N\rtimes H}$

${\displaystyle 1\to N\to N\rtimes H\to H\to 1}$

関連するアイレンバーグ・マクレーン空間を用いると、セールファイバーが存在する。

${\displaystyle K(N,1)\to K(G,1)\to K(H,1)}$

これをセールスペクトル列に当てはめると、ページ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(K(H,1),H^{q}(K(N,1)))\Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))}$

これは、の群コホモロジー群から の群コホモロジーに関する情報を与えます。この形式主義は、Lyndon–Hochschild–Serre スペクトル列を使って純粋に群論的な方法で適用できることに留意してください。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H,N}$

有限群Gのコホモロジー群H ⁿ ( G , M ) は、すべてのn ≥ 1に対して捩れ群である。実際、マシュケの定理により、有限群の表現のカテゴリは、特性が 0 の任意の体 (またはより一般的には、特性が群の位数を割り切らない任意の体) 上で半単純であるため、群コホモロジーをこのアーベルカテゴリの導来関手と見なすと、それが 0 であることがわかる。もう 1 つの議論は、特性が 0 の体上では、有限群の群代数は行列代数の直和 (おそらく元の体の拡張である除算代数上) であるのに対し、行列代数はその基底体とMorita 同値であるため、自明なコホモロジーを持つというものである。

Gの順序がG加群Mにおいて可逆である場合（たとえば、Mが -ベクトル空間である場合）、転送写像を使用して、に対してであることを示すことができます。この事実の典型的な応用は次のとおりです。短完全列の長完全コホモロジー列（3つのグループすべてが自明なG -作用を持つ） ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle H^{n}(G,M)=0}$${\displaystyle n\geqslant 1.}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to 0}$

同型性が得られる

${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=H^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong H^{2}(G,\mathbb {Z} ).}$

テイトコホモロジー群は有限群Gのホモロジーおよびコホモロジーの両方を組み合わせたものである。

${\displaystyle {\widehat {H}}^{n}(G,M):={\begin{cases}H^{n}(G,M)&n\geqslant 1\\\operatorname {coker} N&n=0\\\ker N&n=-1\\H_{-n-1}(G,M)&n\leqslant -2,\end{cases}}}$

ここで、ノルムマップによって誘導されるものは次のとおりです。 ${\displaystyle N:M_{G}\to M^{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}M\to M\\m\mapsto \sum _{g\in G}gm\end{cases}}}$

テイトコホモロジーは、長い完全列、積構造などの同様の特徴を備えています。重要な応用は類体理論です。類形成を参照してください。

有限巡回群のテイトコホモロジーは、同型が存在するという意味で2周期的である。 ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n,}$

${\displaystyle {\widehat {H}}^{m}(G,M)\cong {\widehat {H}}^{m+2}(G,M)\qquad {\text{for all }}m\in \mathbb {Z} .}$

d周期コホモロジーの必要かつ十分な条件は、 Gの唯一のアーベル部分群が巡回的であるということである。^[15]例えば、互いに素な整数nとmに対しては、任意の半直積が この性質を持つ。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\rtimes \mathbb {Z} /m}$

代数的K理論は群コホモロジーと密接に関係している。QuillenのK理論の+構築では、環RのK理論は空間のホモトピー群として定義される。ここでは無限一般線型群である。空間は、すなわちGL( R )の群ホモロジーと同じホモロジーを持つ。場合によっては、安定性の結果から、コホモロジー群の列が ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}.}$${\displaystyle \mathrm {GL} (R)=\cup _{n\geq 1}\mathrm {GL} _{n}(R)}$${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}}$${\displaystyle \mathrm {BGL} (R),}$

${\displaystyle \dots \to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n}(R)\right)\to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n+1}(R)\right)\to \cdots }$

は十分大きいnに対して定常となり、したがって無限一般線型群のコホモロジーの計算は何らかのものの計算に簡約される。このような結果はRが体^[16]のとき、または数体内の整数環^[17]のときに確立されている。${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$

一連の群の群ホモロジーが安定する現象をホモロジー安定性という。この現象は、今述べた場合の他に、対称群や写像類群など、さまざまな群に当てはまる。 ${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G_{n}=\mathrm {GL} _{n}(R)}$

量子力学では対称群を持つ系がしばしばある。ユニタリ行列によるヒルベルト空間への作用が期待される。期待できるかもしれないが、量子力学のルールでは ${\displaystyle G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle U(g).}$${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=U(g_{1}g_{2}),}$

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}U(g_{1}g_{2}),}$

ここで は位相である。の射影表現は、の群拡張の慣例的な表現として考えられ、正確なシーケンスによって記述される。 ${\displaystyle \exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}\in {\rm {U}}(1)}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {U} (1),}$

${\displaystyle 1\to {\rm {U}}(1)\to {\tilde {G}}\to G\to 1.}$

連想性の要求

${\displaystyle U(g_{1})[U(g_{2})U(g_{3})]=[U(g_{1})U(g_{2})]U(g_{3})}$

つながる

${\displaystyle \omega (g_{2},g_{3})-\omega (g_{1}g_{2},g_{3})+\omega (g_{1},g_{2}g_{3})-\omega (g_{1},g_{2})=0,}$

これは、すなわち、 がの値を取るコサイクルであるというステートメントとして認識されます。を再定義することで位相を除去できるかどうかを尋ねることができます。 ${\displaystyle d\omega (g_{1},g_{2},g_{3})=0,}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq {\rm {U}}(1).}$

${\displaystyle U(g)\to \exp\{2\pi i\eta (g)\}U(g)}$

変化する

${\displaystyle \omega (g_{1},g_{2})\to \omega (g_{1},g_{2})+\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

これを共境界によるシフトと認識する。したがって、異なる射影表現は次のように分類される。位相自体がグループによって作用されることを許容する場合（たとえば、時間反転は位相を複素共役にする）、共境界の各操作の最初の項は、前のセクションの共境界の一般的な定義と同様に、作用する。たとえば、${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega \to \omega +d\eta .}$${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {R} /\mathbb {Z} ).}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle d\eta (g_{1},g_{2})\to g_{1}\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

位相群 G、すなわち積と逆写像が連続な位相を持つ群が与えられた場合、連続G加群を考えることは自然である。すなわち、作用

${\displaystyle G\times M\to M}$

は連続写像である。このような加群に対して、再び の導来関手を考えることができる。代数と数論で起こる特殊なケースは、 Gが profinite である場合、たとえば体の絶対ガロア群である。結果として生じるコホモロジーはガロアコホモロジーと呼ばれる。 ${\displaystyle M\mapsto M^{G}}$

G不変量と 1-コチェーンを使用すると、非アーベル群の係数を持つグループGの 0 番目と 1 番目のグループコホモロジーを構築できます。具体的には、 Gグループは、 Gによる作用を伴う(必ずしもアーベルではない) グループAです。

Aに係数を持つGのゼロ次コホモロジーは、部分群として定義される。

${\displaystyle H^{0}(G,A)=A^{G},}$

Gによって固定されたAの要素。

A に係数を持つ G の最初のコホモロジーは、 1-コ境界ではなく同値関係を法とする 1-コサイクルとして定義されます。写像が1-コサイクルになるための条件は、となるAにaが存在する場合であり、 となることです。一般に、Aが非可換である場合、 は群ではありません。代わりに、尖った集合の構造を持ちます。まったく同じ状況が 0 次ホモトピー群でも発生しますが、これは一般的な位相空間では群ではなく尖った集合です。群は特に尖った集合であり、単位元が区別された点であることに注意してください。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (gh)=\varphi (g)[g\varphi (h)]}$${\displaystyle \ \varphi \sim \varphi '}$${\displaystyle \ a\varphi '(g)=\varphi (g)\cdot (ga)}$${\displaystyle H^{1}(G,A)}$${\displaystyle \ \pi _{0}(X;x)}$

明示的な計算を用いると、コホモロジーにおける 切断された長完全列が得られる。具体的には、

${\displaystyle 1\to A\to B\to C\to 1\,}$

がG群の短完全列である場合、尖端集合の完全列が存在する。

${\displaystyle 1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C).\,}$

群の低次元コホモロジーについては、群コホモロジーの概念が1943-45年に定式化されるよりずっと以前から、古典的には別の形で研究されてきた。この主題の最初の定理は、 1897年のヒルベルトの定理90である。これは、ガロア理論におけるエミー・ネーターの方程式（ に対するコサイクルの出現）に書き直された。群（ と関連）の 拡大問題に対する因子集合の考え方は、オットー・ヘルダー（1893年）の研究、イサイ・シューアの1904年の射影表現の研究、オットー・シュライアーの1926年の扱い、およびリチャード・ブラウアーの1928年の単純代数とブラウアー群の研究で生まれた。この歴史に関するより詳しい議論は、（Weibel 1999、pp. 806-811）に記載されている。 ${\displaystyle H^{1}}$${\displaystyle H^{2}}$

1941 年、ハインツ ホップは、(群において特別な役割を果たす) を研究中に、現在ホップの積分ホモロジー公式(Hopf 1942) と呼ばれるものを発見しました。これは、有限で有限に提示された群のシューア 乗数に対するシューアの公式と同一です。${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R],}$

ここで、F は自由群です。 ${\displaystyle G\cong F/R}$

ホップの結果は、1943年から1945年にかけて、米国のサミュエル・アイレンバーグとサンダース・マクレーン（Rotman 1995、p. 358）、スイスのホップとベノ・エックマン、オランダのハンス・フロイデンタール（Weibel 1999、p. 807）、ソ連のドミトリー・ファデーエフ（Arslanov 2011、p. 29、Faddeev 1947）など、いくつかのグループによる群コホモロジーの独立発見につながった。第二次世界大戦中はこれらの国々の間のコミュニケーションが困難であったため、状況は混乱していた。

位相的観点からは、G のホモロジーおよびコホモロジーは、上で述べたように、位相的分類空間 BGのモデルのホモロジーおよびコホモロジーとして最初に定義されました。実際には、これは、形式的な代数定義で使用される連鎖複体を生成するために位相を使用することを意味します。モジュール理論の観点からは、これは1950 年代初頭にホモロジー代数のカルタン-アイレンベルグ理論に統合されました。

代数的整数論における類体理論への応用は、一般のガロア拡大（アーベル拡大だけではない）に有効な定理を与えた。類体理論のコホモロジー部分は、類形成の理論として公理化された。今度は、これはガロアコホモロジーとエタールコホモロジー（その上に構築される）の概念につながった（Weibel 1999、p. 822）。1960年以降、連続コサイクルやジョン・テイトの再定義など、理論にいくつかの改良が加えられたが、基本的な概要は同じままである。これは大きな分野であり、現在では代数群の理論の基本となっている。

リー代数の類似の理論であるリー代数コホモロジーは、1940年代後半にクロード・シュヴァレーとアイレンバーグ、ジャン＝ルイ・コズルによって初めて開発されました（Weibel 1999、p. 810）。これは形式的に似ており、リー代数の作用に対応する不変量の定義を使用しています。これは表現論で広く応用されており、理論物理学のBRST量子化と密接に関連しています。

群コホモロジー理論は凝縮物質物理学にも直接応用されている。群論が自発的対称性の破れの位相の数学的基礎であるのと同様に、群コホモロジー理論は物質の量子状態、すなわち対称性を持つ短距離エンタングルメント状態の数学的基礎である。対称性を持つ短距離エンタングルメント状態は対称性保護位相状態とも呼ばれる。^{[18] [19]}

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