放浪セット

力学系とエルゴード理論では、放浪集合の概念は、運動と混合の特定の概念を形式化します。力学系が非ゼロ測度の放浪集合を持つ場合、その系は散逸系です。これは、ポアンカレ再帰定理が適用される保守系とは逆です。直感的には、放浪集合と散逸の関係は簡単に理解できます。位相空間の一部が系の通常の時間発展中に「放浪」し、二度と訪れない場合、その系は散逸です。放浪集合の言語は、散逸系の概念に正確で数学的な定義を与えるために使用できます。位相空間における放浪集合の概念は、1927 年にバーコフによって導入されました。 ^{[引用が必要]}

さまよう集合の一般的な離散時間定義は、位相空間Xの写像から始まります。xの近傍Uと正の整数Nが存在し、すべての に対して反復写像が交差しない場合、その点はさまよう点と呼ばれます。 ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle f^{n}(U)\cap U=\varnothing .}$

より便利な定義では、交差が測度ゼロであることだけを要求します。正確に言うと、定義では、Xが測度空間、つまりボレル集合の3つ組の一部であり、次のような 測度を持つことを要求します。${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)=0,}$

すべての に対して成り立ちます。同様に、連続時間システムにはシステムの時間発展または流れを定義するマップがあり、時間発展演算子はXに対する1 パラメータ連続アーベル群の作用です。 ${\displaystyle n>N}$${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{t+s}=\varphi _{t}\circ \varphi _{s}.}$

このような場合、放浪点はxの近傍Uと時間T を持ち、すべての時間 に対して時間発展マップの測度は 0 になります。 ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle t>T}$

${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}(U)\cap U\right)=0.}$

これらのより単純な定義は、位相群の群作用に完全に一般化することができる。を測度空間、つまりボレル部分集合上に定義された測度を持つ集合とする。 をその集合に作用する群とする。点 が与えられたとき、集合 ${\displaystyle \Omega =(X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle x\in \Omega }$

${\displaystyle \{\gamma \cdot x:\gamma \in \Gamma \}}$

は点xの軌跡または軌道と呼ばれます。

要素が放浪点と呼ばれるのは、 xの近傍Uと単位元Vが存在し 、 ${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \mu \left(\gamma \cdot U\cap U\right)=0}$

すべてに対して。 ${\displaystyle \gamma \in \Gamma -V}$

非移動点はその逆である。離散的な場合、 xを含むすべての開集合UとすべてのN > 0に対して、 n > Nが存在し、 ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)>0.}$

連続時間および離散および連続グループアクションについても同様の定義が当てはまります。

放浪集合とは、放浪する点の集合である。より正確には、 Wの部分集合Wが離散群の作用の下で放浪集合であるとは、 Wが測定可能であり、かつ、任意の点の交点が ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \gamma \in \Gamma -\{e\}}$

${\displaystyle \gamma W\cap W}$

測度ゼロの集合です。

さまよう集合の概念は、ある意味ではポアンカレの漸化定理で表現されたアイデアと双対的です。正の測度のさまよう集合が存在する場合、 の作用は散逸的であると言われ、力学系は散逸系であると言われます。そのようなさまよう集合が存在しない場合、作用は保存的であると言われ、系は保存系です。たとえば、ポアンカレの漸化定理が成り立つ系は、定義により、正の測度のさまよう集合を持つことはできません。したがって、保存系の例です。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle (\Omega ,\Gamma )}$

放浪集合Wの軌道を次のように 定義する。

${\displaystyle W^{*}=\bigcup _{\gamma \in \Gamma }\;\;\gamma W.}$

の作用が完全に散逸的であるとは、軌道がほぼどこでもに等しいような正測度の放浪集合W が存在する場合、つまり、 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle W^{*}}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega -W^{*}}$

測度ゼロの集合です。

ホップ分解は、特異でない変換を持つすべての測度空間が不変保存集合と不変放浪集合に分解できること を述べています。

• 放浪領域定理はない

• ニコルズ、ピーター J. (1989)。離散群のエルゴード理論。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-37674-2。
• Alexandre I. Danilenko と Cesar E. Silva (2009 年 4 月 8 日)。エルゴード理論: 非特異変換。Arxiv arXiv:0803.2424 を参照。
• Krengel、Ulrich (1985)、エルゴード定理、De Gruyter Studies in Mathematics、vol. 6、デ・グリュイテル、ISBN 3-11-008478-3