マシューグループ

抽象代数学のトピックである群論において、マシュー群はマシュー (1861、1873)によって導入された5 つの散在単純群M ₁₁、M ₁₂、M ₂₂、M ₂₃ 、およびM ₂₄です。これらは、11、12、22、23、または 24 個のオブジェクト上の多重推移置換群です。これらは最初に発見された散在群です。

時には、 M ₈、M ₉、M ₁₀、M ₂₀、M ₂₁という表記が、関連群（それぞれ 8、9、10、20、21 個の点の集合に作用する）、つまり大きな群の点の安定群に使用される。これらは散在単純群ではないが、大きな群のサブグループであり、大きな群を構成するために使用できる。 ジョン・コンウェイは、このシーケンスを上に拡張して、13 個の点に作用するマシュー群M ₁₃を取得できることを示した。M _{21 は単純だが散在群ではなく、} PSL (3,4)と同型である。

Mathieu (1861, p.271) は多重推移的置換群の研究の一環として群M ₁₂を導入し、群M ₂₄について簡単に触れて (274 ページ) 、その順序を示した。Mathieu (1873) では、群の明示的な生成集合を含むさらなる詳細を示したが、生成された群が単なる交代群ではないことを彼の議論から理解するのは容易ではなく、彼の群の存在は数年間議論の的となった。Miller (1898) はM ₂₄が存在しないことを証明したと誤って主張する論文を発表したが、その後まもなく (Miller 1900) で彼は自分の証明が間違っていることを指摘し、Mathieu 群が単純であることを証明した。ウィット（1938a、1938b）は、これらの群を置換群の連続的な推移的拡張、およびシュタイナー系の自己同型群として構築することで、最終的にこれらの群の存在についての疑問を払拭しました。

マシュー群の後、1965 年にJ ₁群が発見されるまで、新しい散在群は発見されませんでした。

Mathieu は多重推移的置換群を見つけることに興味を持っていましたが、これをこれから定義します。自然数kに対して、 n個の点に作用する置換群Gがk推移的であるとは、すべてのa _iが異なり、すべてのb _iが異なっているという特性を持つ2 組の点a ₁、... a _kとb ₁、... b _kが与えられたときに、 1 からkまでの各iに対してa _{i を}b _iに写す群元g がGに存在する場合です。元gが一意である場合 (つまり、 k組への作用が推移的ではなく正則である場合)、このような群は鋭くk推移的であると呼ばれます。

M ₂₄は 5 推移的であり、M _{12 は}鋭く 5 推移的であり、他のマシュー群 (単純または非単純) はm点の安定群に対応する部分群であり、したがって推移性は低くなります ( M _{23は 4 推移的であるなど)。これらは、}対称群でも交代群でもない唯一の 2 つの 5 推移群です(Cameron 1992、p. 139)。

4 次元推移群は、kが4 以上のときの対称群 S _k 、 kが6 以上のときの交代群A _{k 、およびマシュー群}M ₂₄、M ₂₃、M ₁₂、およびM ₁₁のみです(Cameron 1999、p. 110)。完全な証明には有限単純群の分類が必要ですが、いくつかの特殊なケースはずっと以前から知られています。

対称群と交代群（それぞれ次数kとk  + 2）およびM ₁₂とM _11が、 k が少なくとも 4 の場合 に唯一の鋭いk推移的置換群であるというのは、ジョーダンの古典的な結果です。

多重推移群の重要な例としては、2 推移群とザッセンハウス群がある。ザッセンハウス群には、有限体上の射影直線の射影一般線型群PGL(2, F _q ) が含まれ、これは元に関して鋭く 3 推移的である (複比を参照) 。 ${\displaystyle q+1}$

マシュー群はさまざまな方法で構築できます。

M _{12 に}は、最大部分群である位数 660 の単純部分群がある。その部分群は、11 個の元の体上の射影特殊線型群PSL ₂ ( F ₁₁ )と同型である。 −1 をa、無限大をbと書くと、2 つの標準生成子は (0123456789a) と (0b)(1a)(25)(37)(48)(69) である。M _{12 を与える 3 番目の生成子は、} F ₁₁の元x を4 x ²  − 3 x ⁷ ; に送り、その順列は (26a7)(3945) である。

この群は有限単純群の無限族のどの要素とも同型ではないことがわかり、散在群と呼ばれます。M _11はM ₁₂の点の安定群であり、散在単純群でもあります。2点の安定群M ₁₀は散在群ではありませんが、その交換子部分群が交代群A ₆であるほぼ単純群です。したがって、これはA _6の例外的な外部自己同型と関連しています。 3点の安定群は射影特殊ユニタリ群PSU(3,2 ² ) であり、これは解けます。 4点の安定群は四元数群です。

同様に、M _{24 には、PSL 2} ( F ₂₃ )と同型の位数 6072 の最大単純部分群があります。1 つの生成子は、体の各元に 1 を加算します (無限大の点Nは固定したまま)、つまり (0123456789ABCDEFGHIJKLM)( N )。もう 1つの生成子は、 xを −1/ xに送信します、つまり (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI)。M _{24 を生成する 3 番目の生成子は、} F ₂₃の元x を4 x ⁴  − 3 x ¹⁵に送信します(これにより、完全平方数はx ⁴経由で、非完全平方数は 7 x ⁴経由で送信されます)。計算により、順列としてこれは (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF) であることが示されます。

1点と2点の安定群M ₂₃とM ₂₂も散在単純群であることがわかる。3点の安定群は単純であり、射影特殊線型群PSL ₃ (4)と同型である。

これらの構成は、Carmichael (1956、pp. 151、164、263) によって引用されました。Dixon & Mortimer (1996、p.209) は、これらの順列を Mathieu によるものとしています。

同値性を除いて 唯一のS (5,8,24)シュタイナー系W ₂₄ ( Witt 設計)が存在する。群M ₂₄はこのシュタイナー系の自己同型群、つまり、すべてのブロックを他のブロックにマップする順列の集合である。部分群M ₂₃とM ₂₂は、それぞれ 1 つの点と 2 つの点の安定化群として定義される。

同様に、同値性を除いて唯一のS (5,6,12)シュタイナー系W12_が存在し、群M12_はその自己同型群である。部分群M11_は点の安定群である。

W _12はベクトル空間F ₃ × F ₃上のアフィン幾何学、S (2,3,9)系から構築できる。

W ₁₂の別の構成としては、カーティス (1984) の「Kitten」があります。

RT Curtis のMiracle Octad GeneratorとConway のW _{12類似物である miniMOG を介した}W ₂₄の構築の概要は、Conway とSloaneの著書に記載されています。

群M ₂₄は、拡張バイナリ ゴレイ コードWの順列自己同型群、つまり、W をそれ自身にマッピングする 24 座標上の順列の群です。すべてのマシュー群は、バイナリ ゴレイ コード上の順列の群として構築できます。

M _{12 は}自己同型群に指数 2 を持ち、M _{12 :2 は}M ₂₄のサブグループと同型です。M _{12 は}、12 個の 1 のコードワードであるdodecadの安定化子です。 M ₁₂ :2 は、2 つの相補的な dodecad への分割を安定化します。

リーチ格子はバイナリゴレイコード上に構築され、実際には両方とも次元24の空間にあるため、マシュー群とより大きなコンウェイ群の間には自然なつながりがあります。コンウェイ群は、モンスター群に含まれています。 ロバートグリースは、モンスターに含まれる20個の散在群をハッピーファミリーと呼び、マシュー群を第1世代と呼んでいます。

マチュー グループは、子供の絵によって構築できます。M 12に関連付けられた子供の絵は_、 le Bruyn (2007) によって「Monsieur Mathieu」という暗示的な名前が付けられています。

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• Scientific American マシュー群の数学に基づいたパズルのセット
• Sporadic M12 M ₁₂に基づいたパズルを実装した iPhone アプリ。1 つの「スピン」順列と選択可能な「スワップ」順列として表示されます。