メビウス変換

幾何学と複素解析において、複素平面のメビウス変換は、 1 つの複素変数z の形の 有理関数です。ここで、係数a、b、c、d は、 ad − bc ≠ 0を満たす複素数です。 $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$

幾何学的には、メビウス変換は、まず平面から単位球への逆立体射影を適用し、球を空間内の新しい位置と方向に移動および回転させ、次に立体射影を適用して球から平面にマッピングすることで得られます。^[1]これらの変換は角度を保存し、すべての直線を線または円にマッピングし、すべての円を線または円にマッピングします。

メビウス変換は、複素射影直線の射影変換です。これらは、射影線型群PGL(2, C )であるメビウス群と呼ばれる群を形成します。その部分群とともに、数学や物理学でさまざまな用途があります。

メビウス幾何学とその変換は、このケースを他のフィールド上の任意の数の次元に一般化します。

メビウス変換はアウグスト・フェルディナント・メビウスにちなんで名付けられ、ホモグラフィ、線型分数変換、双線型変換、スピン変換（相対性理論）の例である。 ^[2]

メビウス変換は拡張複素平面 （つまり、無限遠点によって拡大された複素平面）上で定義されます。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

立体射影は球面と同一視され、リーマン球面と呼ばれます。あるいは、複素射影直線と考えることもできます。メビウス変換は、リーマン球面からそれ自身への全単射の等角写像、すなわち、複素多様体としてのリーマン球面の自己同型、あるいは代数多様体 としての の自己同型です。したがって、すべてのメビウス変換の集合は、合成に関して群を形成します。この群はメビウス群と呼ばれ、 と表記されることもあります。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})}$

メビウス群は、双曲 3 次元空間の方向保存等長写像群と同型であるため、双曲 3 次元多様体を研究する際に重要な役割を果たします。

物理学では、ローレンツ群の恒等成分は、メビウス群がリーマン球面に作用するのと同じように天球面に作用する。実際、これら 2 つの群は同型である。相対論的速度まで加速する観測者は、地球の近くで見られる星座のパターンが微小なメビウス変換に従って連続的に変化するのを観察する。この観察は、ツイスター理論の出発点とされることが多い。

メビウス群の特定の部分群は、他の単連結リーマン面（複素平面と双曲平面）の自己同型群を形成します。そのため、メビウス変換はリーマン面の理論で重要な役割を果たします。すべてのリーマン面の基本群は、メビウス群の離散部分群です（フクシアン群とクライン群を参照）。メビウス群の特に重要な離散部分群はモジュラー群であり、多くのフラクタル、モジュラー形式、楕円曲線、およびペル方程式の理論の中心となります。

メビウス変換は、より一般的には、 n > 2次元の空間において、n球面からn球面への全単射の等角方向保存写像として定義できます。このような変換は、ドメインの等角写像の最も一般的な形式です。リウヴィルの定理によれば、メビウス変換は、平行移動、相似、直交変換、反転の組み合わせとして表現できます。

メビウス変換の一般的な形式は次のように表されます。 ここで、a、b、c、dはad − bc ≠ 0 を満たす任意の複素数です。 $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$

c ≠ 0の場合、この定義はリーマン球面全体に拡張され、次のように定義される。 $${\displaystyle f\left({\frac {-d}{c}}\right)=\infty {\text{ かつ }}f(\infty )={\frac {a}{c}}.}$$

c = 0の場合、次のように定義する。 $${\displaystyle f(\infty )=\infty .}$$

したがって、メビウス変換は常にリーマン球面からリーマン球面への 全単射の正則関数です。

すべてのメビウス変換の集合は、合成のもとで群を形成します。この群は、合成と反転が正則写像であるような方法で複素多様体の構造を与えることができます。したがって、メビウス群は複素リー群です。メビウス群は通常、リーマン球面の 自己同型群として表されます。${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})}$

ad = bcの場合、上で定義された有理関数は定数です（c = d = 0の場合は未定義になります）。 ここで、分母がゼロの分数は無視されます。定数関数は全単射ではないため、メビウス変換とは見なされません。 $${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}},}$$

別の定義は、シュワルツ微分核として与えられます。

すべての非恒等変換は、リーマン球面上に2 つの不動点を持ちます。ここでは不動点は 重複度で数えられます。放物型変換は、不動点が一致する変換です。これらの不動点のいずれかまたは両方が無限遠点になる場合があります。 ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

変換の不動点は、 不動点方程式f ( γ ) = γ を解くことで得られます。c ≠ 0の場合、この方程式を に展開して 二次方程式の公式 を適用することで得られる 2 つの根があります。根は 判別式 を持ち、 行列は 変換を表します。放物型変換では判別式がゼロであるため、不動点が一致します。cがゼロでなく判別式がゼロでない場合、変換は楕円型または双曲型になります。 $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$$${\displaystyle c\gamma ^{2}-(ad)\gamma -b=0\ ,}$$$${\displaystyle \gamma _{1,2}={\frac {(ad)\pm {\sqrt {(ad)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(ad)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}}$$$${\displaystyle \Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc),}$$$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$

c = 0のとき、二次方程式は線形方程式に退化し、変換は線形になります。これは、固定点の1つが無限遠点である状況に対応します。a ≠ d のとき、2番目の固定点は有限であり、次のように表されます。 $${\displaystyle \gamma =-{\frac {b}{ad}}.}$$

この場合、変換は平行移動、回転、拡大縮小で構成される単純な変換になります。 $${\displaystyle z\mapsto \alpha z+\beta .}$$

c = 0かつa = dの場合、両方の固定点は無限大にあり、メビウス変換は純粋な変換に対応します。 $${\displaystyle z\mapsto z+\beta .}$$

位相的に、（非恒等）メビウス変換が2つの点（重複点を含む）を固定するという事実は、球面の オイラー特性が2であることに対応します。$${\displaystyle \chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.}$$

まず、射影線型群 PGL(2, K )は鋭く 3 推移的です 。つまり、異なる点の任意の 2 つの順序付き 3 つ組に対して、メビウス変換の場合と同様に、同じ代数的証明 (基本的に、群は 3 次元であるため次元を数える) によって、1 つの 3 つ組を他の 3 つ組に写像する唯一の写像が存在します。したがって、少なくとも 3 つの点を固定する写像はすべて恒等写像です。

次に、メビウス群を と同一視することで、任意のメビウス関数が恒等写像にホモトピーであることがわかります。実際、一般線型群の任意の要素は、ガウス・ジョルダン消去法によって恒等写像に還元できます。これは、射影線型群もパス接続されており、恒等写像にホモトピーを提供することを示しています。レフシェッツ・ホップの定理は、有限個の固定点を持つ写像の固定点のインデックス（この文脈では、重複度）の合計が、写像のレフシェッツ数に等しいことを述べています。この場合、レフシェッツ数はホモロジー群上の恒等写像のトレースであり、単純にオイラー特性です。 ${\displaystyle \mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )}$

対照的に、実射影直線の射影線型群PGL(2, R )は、点を固定する必要がありません。たとえば、(実) 固定点はありません。複素変換として ± i ^{[注 1]}を固定します が、写像 2 x は0 と ∞ の 2 点を固定します。これは、円 (実射影直線) のオイラー特性が 0 であるという事実に対応しており、したがって、レフシェッツの不動点定理は、少なくとも 0 点を固定する必要があるが、それ以上の点を固定してもよいとだけ述べています。 ${\displaystyle (1+x)/(1-x)}$

メビウス変換は、いわゆる正規形の固定点を用いて記述されることもあります。まず、2 つの異なる固定点が存在する非放物型の場合を扱います。

非放物線の場合:

すべての非放物型変換は膨張/回転、つまり 0 と ∞ に固定点がある 形式( k ∈ C )の変換と共役です。これを確認するには、 点 ( γ ₁、γ _{2 ) を (0、∞) に送るマップを定義します。ここで、} γ ₁とγ _{2 は}別個で有限であると仮定します。どちらか一方がすでに無限大にある場合は、無限大を固定し、もう一方の点を 0 に送るように g を変更できます。$${\displaystyle z\mapsto kz}$$ $${\displaystyle g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}}$$

f が異なる不動点 ( γ ₁ , γ ₂ ) を持つ場合、変換は0 と ∞ に固定点を持ち、したがって拡大変換になります。変換fの不動点方程式は次のように表すことができます 。${\displaystyle gfg^{-1}}$${\displaystyle gfg^{-1}(z)=kz}$$${\displaystyle {\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z -\ガンマ _{2}}}。}$$

fについて解くと次のようになります (行列形式): または、固定点の 1 つが無限大にある場合は次のようになります: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&( k-1)\ガンマ _{1}\ガンマ _{2}\\1-k&k\ガンマ _{1}-\ガンマ_{2}\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.}$$

上記の式から、固定点における fの導関数を計算することができます。$${\displaystyle f'(\gamma _{1})=k}$$$${\displaystyle f'(\gamma _{2})=1/k.}$$

不動点の順序が与えられれば、 fの乗数の 1 つ ( k ) をfの特性定数として区別できることに注目してください。不動点の順序を逆にすることは、特性定数の逆乗数を取ることと同じです。 $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1}).}$$

斜航変換では、| k | > 1 のときはいつでも、 γ _{1 は}反発固定点であり、γ _{2 は}引力固定点であると言えます。 | k | < 1の場合、役割は逆になります。

放物線の場合:

放物線の場合、固定点γ は1 つだけです。その点を ∞ に送る変換は、 γがすでに無限大にある 場合は恒等変換です。変換は無限大を固定するため、変換になります。 $${\displaystyle g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}}$$${\displaystyle gfg^{-1}}$$${\displaystyle gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.}$$

ここで、βは変換長と呼ばれる。放物線変換の固定点式は、 $${\displaystyle {\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .}$$

fを（行列形式で） 解くと次のように なる。$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )=|{\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )|=\det {\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}=1-\gamma ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\beta ^{2}=1}$

γ = ∞の場合: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}}$$

β はfの特性定数ではないことに注意してください。 f の特性定数は放物線変換では常に 1 です。上記の式から、次の式を計算できます。 $${\displaystyle f'(\gamma )=1.}$$

⁠ ⁠ の点はの極と呼ばれます。これは⁠ ⁠の下で無限遠点に変換される点です。 ${\textstyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

逆極は、無限遠点が変換される点です。2 つの極の中間点は、常に 2 つの固定点の中間点と同じです。 ${\textstyle Z_{\infty }={\frac {a}{c}}}$$${\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}=z_{\infty }+Z_{\infty }.}$$

これら 4 つの点は、変換の 特性平行四辺形と呼ばれることもある平行四辺形の頂点です。

変換は、 2 つの固定点γ ₁、γ _{2 、}および極を使用して指定できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle z_{\infty }}$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}Z_{\infty }&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix}},\;\;Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty }.}$$

これにより、 kと与えられた の間の変換式を導く​​ことができ、 これは次のように簡約される。 ${\displaystyle z_{\infty }}$${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$$${\displaystyle z_{\infty }={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}}}$$ $${\displaystyle k={\frac {\gamma _{2}-z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}}{Z_{\infty }-\gamma _{2}}}={\frac {a-c\gamma _{1}}{a-c\gamma _{2}}},}$$$${\displaystyle k={\frac {(a+d)+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}.}$$

最後の式は、（相互に逆数の）固有値比の1つと一致します（前のセクションの変換の特性定数に関する議論と比較してください）。その特性多項式は、 根を持つ ${\textstyle {\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$$${\displaystyle \det(\lambda I_{2}-{\mathfrak {H}})=\lambda ^{2}-\operatorname {tr} {\mathfrak {H}}\,\lambda +\det {\mathfrak {H}}=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)}$$$${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2}}=c\gamma _{i}+d\,.}$$

メビウス変換は、一連の単純な変換として 構成できます。

次の単純な変換もメビウス変換です。

• ${\displaystyle f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)}$翻訳です。
• ${\displaystyle f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)}$は、相似性(均一なスケーリング) と回転の組み合わせです。 の場合は回転であり、の場合は相似性です。${\displaystyle |a|=1}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)}$（実軸に対する反転と反射）

の場合、次のようにします。 ${\displaystyle c\neq 0}$

• ${\displaystyle f_{1}(z)=z+d/c\quad }$（翻訳：d / c）
• ${\displaystyle f_{2}(z)=1/z\quad }$（実軸に対する反転と反射）
• ${\displaystyle f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad }$（相似性と回転）
• ${\displaystyle f_{4}(z)=z+a/c\quad }$（翻訳：a / c）

すると、これらの 関数は合成する こと ができ、つまり 、 $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$$${\displaystyle f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.}$$$${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},}$$$${\displaystyle e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.}$$

この分解により、メビウス変換の多くの特性が明らかになります。

メビウス変換は、より単純な変換のシーケンスに相当します。合成により、メビウス変換の多くの特性が明らかになります。

逆メビウス変換の存在とその明示的な式は、より単純な変換の逆関数の合成によって簡単に導き出されます。つまり、各g _iがf _iの逆となるように関数g ₁、g ₂、g ₃、g ₄を定義します。すると、合成によって 逆関数の式が得られます。 $${\displaystyle g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}$$

この分解から、メビウス変換は円反転のすべての重要な特性を引き継ぐことがわかります。たとえば、角度の保存は、円反転が角度を保存することを証明することに帰着します。これは、他の種類の変換が拡大変換と等長変換(平行移動、反射、回転) であり、角度が自明に保存されるためです。

さらに、メビウス変換は、円反転にこの特性があるため、一般化された円を一般化された円にマッピングします。一般化された円は円または線のいずれかであり、後者は無限遠点を通る円と見なされます。メビウス変換は、必ずしも円を円に、線を線にマッピングするわけではないことに注意してください。2 つを混在させることができます。円を別の円にマッピングする場合でも、最初の円の中心を 2 番目の円の中心にマッピングするとは限りません。

複比はメビウス変換の下で不変である。つまり、メビウス変換が4つの異なる点をそれぞれ 4つの異なる点に写像する場合、${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}$$${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.}$$

点の1つが無限遠点である場合、適切な極限をとることによって複比を定義する必要があります。たとえば、の複比は ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\infty }$$${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.}$$

4 つの異なる点の複比は、それらの点を通過する直線または円がある場合にのみ実数になります。これは、メビウス変換が一般化された円を保存することを示す別の方法です。

２点z ₁とz _{2 が一般化円}Cに関して共役であるとは、z ₁とz ₂を通り、 C を２点aとbで切る一般化円Dが与えられ、( z ₁、z ₂ ; a、b ) が調和複比(つまり、それらの複比が −1)にあるときである。この性質は円Dの選択に依存しない。この性質は、直線または円に関して対称であると言われることもある。 ^{[3] [4]}

2 つの点z、z ^{∗ が}直線に関して共役であるとは、それらが直線に関して対称である場合です。2 つの点が円に関して共役であるとは、2 つの点がこの円に関して 反転によって交換される場合です。

点z ^{∗ は}、点z _{0における}e ^iθに基づくベクトルによって決定される直線Lのとき、 zと共役である。これは次のように明示的に表される。 $${\displaystyle z^{*}=e^{2i\theta }\,{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.}$$

点z ^{∗ は、} C がz _{0 を中心とする半径}rの円であるとき、zと共役である。これは次のように明示的に表される。 $${\displaystyle z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}}+z_{0}.}$$

メビウス変換は一般化された円と複比を保存するので、共役も保存されます。

複素射影直線CP ¹に対するPGL(2, C )の自然な作用は、リーマン球面に対するメビウス群の自然な作用と全く同じである。

ここで、射影直線CP ¹とリーマン球面は次のように識別されます。 $${\displaystyle [z_{1}:z_{2}]\ \thicksim {\frac {z_{1}}{z_{2}}}.}$$

ここで、[ z ₁ : z ₂ ]はCP ¹上の同次座標であり、点[1:0]はリーマン球面の点∞に対応します。同次座標を使用すると、 ∞を扱う場合分けが必要なくなるため、メビウス変換を含む多くの計算を簡略化できます。

任意の可逆複素2×2行列は 射影直線上で 次の ように作用する。$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle z=[z_{1}:z_{2}]\mapsto w=[w_{1}:w_{2}],}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}az_{1}+bz_{2}\\cz_{1}+dz_{2}\end{pmatrix}}.}$$

その結果は $${\displaystyle w=[w_{1}:w_{2}]=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]}$$

これは、上記の識別を用いると、リーマン球面上の次の点に対応する。

$${\displaystyle w=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]\thicksim {\frac {az_{1}+bz_{2}}{cz_{1}+dz_{2}}}={\frac {a{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+b}{c{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+d}}.}$$

上記の行列は、その行列式 ad − bcがゼロでない場合に限り逆行列となるため、メビウス変換群の作用と複素射影直線上のPGL(2, C )の作用との同一視が導かれる。この同一視において、上記の行列はメビウス変換に対応する。${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.}$

この識別は群同型です。なぜなら、を非ゼロのスカラーで乗算してもPGL(2, C )の要素は変化せず、この乗算はすべての行列要素を で乗算することから構成されるため、対応するメビウス変換は変化しないからです。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda ,}$

任意の体 Kに対して、同様に射影線型自己同型の群PGL(2, K )を分数線型変換の群と同一視することができます。これは、例えば実数直線のホモグラフィの研究や光学におけるその応用などで広く使用されています。

行列式の平方根で割ると、行列式 1 の行列が得られます。これにより、 を核として、特殊線型群SL(2, C )からPGL(2, C )への射影群準同型が誘導されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \pm I}$

これにより、メビウス群が半単純かつ非コンパクトな3次元複素リー群（または6次元実リー群）であり、 SL(2, C ) がPSL(2, C )の二重被覆であることを示すことができます。SL(2, C )は単連結であるため、メビウス群の普遍被覆であり、メビウス群の 基本群はZ ₂です。

リーマン球面上の3 つの異なる点の集合と 2 番目の異なる点の集合⁠ ⁠が与えられた場合、 ⁠ ⁠に対してとなるメビウス変換が 1 つだけ存在します。 (言い換えると、メビウス群のリーマン球面への作用は、鋭く 3 推移的です。) 与えられた点の集合から決定する方法はいくつかあります。 ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z_{j})=w_{j}}$${\displaystyle j=1,2,3}$${\displaystyle f(z)}$

行列 のメビウス変換が それぞれ⁠ ⁠に マッピングされることは簡単に確認できます 。 の 1 つがである場合、 の適切な式は、まずすべての要素を で割り、次に極限⁠ ⁠を取ることで上記の式から得られます。 $${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}}$$$${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}={\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle z_{1},z_{2}{\text{ and }}z_{3}}$${\displaystyle 0,1,\ {\text{and}}\ \infty }$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle z_{j}\to \infty }$

が同様に定義されて にマッピングされると、にマッピングされる行列は次のようになります。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{2}}$${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$${\displaystyle 0,1,\ {\text{and}}\ \infty ,}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle z_{1,2,3}}$${\displaystyle w_{1,2,3}}$$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{2}^{-1}{\mathfrak {H}}_{1}.}$$

の安定群（順序付けられていない集合として）は、非調和群として知られる部分群です。 ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$

この方程式は 、 -平面 の標準的な双曲線 の方程式と同等です。したがって、3 つ組を別の 3 つ組にマッピングするメビウス変換を構築する問題は、点⁠ ⁠を通る双曲線の係数を見つけることと同等です。明示的な方程式は、最初の行に沿って ラプラス展開 によって行列式を評価することによって見つけることができ、その結果、表す行列⁠ ⁠の 係数に対する明示的な式が得られます。構築された行列の行列式は⁠ ⁠に等しく、それぞれが 1 対 1 で異なる場合はゼロにならないため、メビウス変換は明確に定義されます。点またはのいずれかが⁠ ⁠である場合、最初に 4 つの行列式すべてをこの変数で割り、次に変数が⁠ ⁠に近づくにつれて極限をとります。 $${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}$$ $${\displaystyle cwz-az+dw-b=0}$$${\displaystyle (z,w)}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(z)}$${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})}$${\displaystyle (w_{1},w_{2},w_{3})}$${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle (z_{i},w_{i})}$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}zw&z&w&1\\z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}&1\end{vmatrix}}\,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=z_{1}w_{1}(w_{2}-w_{3})+z_{2}w_{2}(w_{3}-w_{1})+z_{3}w_{3}(w_{1}-w_{2}),\\[5mu]b&=z_{1}w_{1}(z_{2}w_{3}-z_{3}w_{2})+z_{2}w_{2}(z_{3}w_{1}-z_{1}w_{3})+z_{3}w_{3}(z_{1}w_{2}-z_{2}w_{1}),\\[5mu]c&=w_{1}(z_{3}-z_{2})+w_{2}(z_{1}-z_{3})+w_{3}(z_{2}-z_{1}),\\[5mu]d&=z_{1}w_{1}(z_{2}-z_{3})+z_{2}w_{2}(z_{3}-z_{1})+z_{3}w_{3}(z_{1}-z_{2})\end{aligned}}}$$${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle (z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{1}-w_{2})(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{3})}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle w_{j}}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle w_{j}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty }$

メビウス変換の係数が⁠ ⁠の実数であることが求められる場合、メビウス群のサブグループPSL(2, R )が得られます。これは、上半平面H = { x + i y  : y > 0}をそれ自身に写すメビウス変換の群であり、すべての双正則（または同等に、全単射、等角、方向保存）写像H → Hの群に等しくなります。適切な測定基準が導入されると、上半平面は双曲面H ²のモデル、つまりポアンカレ半平面モデルになり、PSL(2, R )はこのモデルにおける H ²のすべての方向保存等長写像の群です。${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle ad-bc=1}$

開円板D = { z  : | z | < 1}をそれ自身に 写すすべてのメビウス変換の部分群は、 ∈ R、b ∈ C、| b | < 1 となる形式のすべての変換から構成されます。これは、すべての双正則写像 (または同値: 全単射、角度保存、方向保存) D → Dの群に等しいです。適切な計量を導入することで、開円板は双曲面の別のモデルであるポアンカレ円板モデルに変わり、この群はこのモデルにおけるH ²のすべての方向保存等長写像の群です。 $${\displaystyle f(z)=e^{i\phi }{\frac {z+b}{{\bar {b}}z+1}}}$$${\displaystyle \phi }$

上記の両方の部分群はH ²の等長群として機能するため、同型です。具体的な同型は、 開単位円板を上半平面に全単射に写像する 変換との 共役によって与えられます。$${\displaystyle f(z)={\frac {z+i}{iz+1}}}$$

あるいは、半径r、中心がr  iの開いた円板を考えます。この円板のポアンカレ円板モデルは、 r が∞に近づくにつれて上半平面モデルと同一になります。

メビウス群の最大コンパクト部分群は(Tóth 2002) ^[5]で与えられ 、同型写像の下では射影特殊ユニタリ群PSU(2, C )に対応し、これは3 次元の回転の特殊直交群SO(3) に同型であり、リーマン球面の回転として解釈できます。すべての有限部分群はこの最大コンパクト群に共役であり、したがってこれらは3 次元の点群である多面体群に正確に対応する。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}:=\left\{z\mapsto {\frac {uz-{\bar {v}}}{vz+{\bar {u}}}}:|u|^{2}+|v|^{2}=1\right\},}$$${\displaystyle {\mathcal {M}}\cong \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )}$

メビウス変換の二十面体群は、フェリックス・クラインによって五次方程式の解析解を与えるために使われました（クライン 1913）。現代的な解説はトース 2002 で提供されています。^[6]

メビウス変換の係数a、b、c、dがad − bc = 1を満たす整数であることを要求すると、モジュラー群PSL(2, Z )が得られます。これはPSL(2, R )の離散部分群であり、複素平面の格子、楕円関数、楕円曲線の研究で重要です。 PSL(2, R )の離散部分群はフックス群として知られ、リーマン面の研究で重要です。

以下の説明では、表現する行列が⁠ ⁠となるように正規化されていると常に仮定します。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=ad-bc=1}$

非恒等メビウス変換は、一般に放物型、楕円型、双曲型、斜航型の 4 種類に分類され、双曲型は斜航型のサブクラスになります。この分類には代数的および幾何学的な意味があります。幾何学的には、以下の図に示すように、異なる種類は複素平面の異なる変換をもたらします。

4つのタイプはトレース を見ることで区別できます。トレースは共役に対して不変です。つまり、 で あり、共役クラスのすべてのメンバーは同じトレースを持ちます。すべてのメビウス変換は、その表す行列が行列式1を持つように記述できます（適切なスカラーを要素に掛けることによって）。 を持つ2つのメビウス変換（どちらも恒等変換と等しくない）が共役である場合、次の式に限ります。${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=a+d}$$${\displaystyle \operatorname {tr} \,{\mathfrak {GHG}}^{-1}=\operatorname {tr} \,{\mathfrak {H}},}$$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle {\mathfrak {H}},{\mathfrak {H}}'}$${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=\det {\mathfrak {H}}'=1}$${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=\operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}'.}$

行列式が 1 の行列によって定義される非恒等メビウス変換は、の場合に 放物型であるといわれます (したがって、トレースはプラスまたはマイナス 2 になります。 は符号までしか決定されないため、特定の変換ではどちらも発生します)。実際、 の選択肢の 1 つは、恒等行列と同じ特性多項式X ² − 2 X + 1を持つため、ユニポレントです。メビウス変換が放物型であるのは、拡張複素平面内に正確に 1 つの固定点を持つ場合であり、これは、 が複素平面での変換を記述する に共役な行列によって定義できる場合のみです。${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$$${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4}$$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$

における与えられた不動点を持つすべての放物型メビウス変換の集合は、恒等変換とともに、行列群に同型な 部分群を形成します。これは、ボレル部分群の単能根基 の例です（メビウス群、または行列群の場合はSL(2, C )の例です。この概念は、任意の簡約リー群に対して定義されます）。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$$${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\mid b\in \mathbb {C} \right\};}$$

すべての非放物型変換には 2 つの固定点があり、 と共役な行列によって定義されます 。この行列は、 λ が0、1、または -1 以外の 複素数であるときに、変換の特性定数または乗数と呼ばれる複素数k = λ ²の乗算による拡大/回転に対応します。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}}$$

変換が楕円型であるとは、行列式1の 行列で表すことができ、${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$$${\displaystyle 0\leq \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}<4.}$$

変換が楕円変換となるのは、| λ | = 1かつλ ≠ ±1の場合のみです。 と書くと、楕円変換は α が実数である とき と共役になります。 ${\displaystyle \lambda =e^{i\alpha }}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}$$

特性定数k を持つ任意 の に対して、 の特性定数はk ⁿです。したがって、有限位数のメビウス変換はすべて楕円変換であり、つまり、λが1 の根、または同等に、αがπの有理倍であるものと同じです。分数倍数の最も単純な可能性はα = π /2であり、これは の唯一のケースでもあり、 とも表記されます。${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}}$${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=0}$円変換。これは幾何学的には、2 つの固定点の周りの 180° 回転に相当します。このクラスは、行列形式で次のように表されます。 {0, 1, ∞} を固定する 3 つの代表があり、これらはこれらの 3 つの点の対称群における 3 つの転置です。これは 1 を固定し∞(点 1 と -1 の周りの 180° 回転)、∞∞ の周りの 180° 回転)、これは 0 を固定し、1 を∞(点 0 と 2 の周りの 180° 回転)。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle 1/z,}$${\displaystyle 1-z}$${\displaystyle z/(z-1)}$

変換が双曲的であるとは、そのトレースが実数で ある行列で表現できる場合である。${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$$${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}>4.}$$

変換が双曲的となるのは、λが実数であり、λ ≠ ±1 の場合のみです。

が[0, 4]内にない場合、変換は斜航的であると言われます。変換が斜航的であるのは、 の場合のみです。 ${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}}$${\displaystyle |\lambda |\neq 1}$

歴史的には、航程線または等角線による航行は一定の方位の経路を指します。結果として得られる経路は対数螺旋であり、形状は航程メビウス変換が行う複素平面の変換に似ています。以下の幾何学的図形を参照してください。

実数では（係数が実数でなければならない場合）、非双曲的斜航変換は存在せず、実円錐曲線の場合と同様に、楕円型、放物型、双曲型に分類されます。この用語は、トレースの絶対値の半分、|tr|/2 を変換の離心率と見なすことに起因しています。2 で割ると次元が修正されるため、恒等式の離心率は 1 になります（このため、トレースの代わりにtr/ n が使用されることがあります）。また、絶対値は、PSL で作業しているためにトレースが係数 ±1 までしか定義されていないことを修正します。あるいは、上で行ったように、トレースの半分の二乗を離心率の二乗の代理として使用することもできます。これらの分類（ただし、二乗と絶対値が異なるため、正確な離心率の値は一致しません）は、実トレースでは一致しますが、複素トレースでは一致しません。SL(2, R ) (2 重被覆)の要素の分類にも同じ用語が使用され、他の場所でも類似の分類が使用されています。斜航変換は本質的に複雑な現象であり、複雑な離心率に対応します。

次の図は、球面から平面への立体変換後、非放物線の場合のメビウス変換の 2 つの固定点を示しています。

特性定数は、その対数で表すことができます。 このように表すと、実数ρ は拡大係数になります。これは、固定点γ _{1 がどれだけ反発的であるか、および}γ _{2 が}どれだけ引力的であるかを示します。実数αは回転係数で、変換によって平面がγ _{1 を}中心に反時計回りに、また γ _{2 を}中心に時計回りにどの程度回転するかを示します。 $${\displaystyle e^{\rho +\alpha i}=k.}$$

ρ = 0の場合、固定点は引力でも反発力でもなく無差別であり、変換は楕円変換であると言われます。これらの変換は、2 つの固定点の周りを円を描くようにすべての点を移動する傾向があります。固定点の 1 つが無限遠にある場合、これは点の周りをアフィン回転することと同じです。

楕円メビウス変換によって生成された1 パラメータ部分群を取ると、部分群内のすべての変換が同じ2 つの点を固定する連続変換が得られます。他のすべての点は、リーマン球面上の 2 つの固定点の間に入れ子になっている円の族に沿って流れます。一般に、2 つの固定点は任意の 2 つの異なる点になります。

これには重要な物理的解釈があります。ある観測者が一定の角速度で何らかの軸の周りを回転していると想像してください。すると、2 つの固定点を天球の北極と南極とすることができます。夜空の外観は、固定点 0、∞、および観測者の一定の角速度に対応する数αを共有する楕円変換の 1 パラメータ サブグループによって記述されるのとまったく同じ方法で連続的に変換されます。

以下は、楕円メビウス変換がリーマン球面（平面への立体投影後）に与える影響を示す図です。

これらの図は、単一のメビウス変換の効果を示しています。この変換によって生成される 1 パラメータ サブグループは、図に示されている円弧の族に沿って点を 連続的に移動させます。

αがゼロ（または 2 πの倍数）の場合、変換は双曲型であると言われます。これらの変換は、1 つの固定点から別の固定点に向かって円軌道に沿って点を移動する傾向があります。

任意の双曲型メビウス変換によって生成される1 パラメータ部分群を取ると、部分群内のすべての変換が同じ2 点を固定する連続変換が得られます。他のすべての点は、最初の固定点から離れて 2 番目の固定点に向かう特定の円弧の族に沿って流れます。一般に、2 つの固定点は、リーマン球面上の任意の 2 つの異なる点になります。

これにも重要な物理的解釈があります。観測者が天球上で北極の方向に加速している（加速度の大きさは一定）と想像してください。すると、夜空の外観は、加速度ベクトルの大きさに対応する実数ρを持つ、固定点 0、∞ を共有する双曲変換の 1 パラメータ部分群によって記述されるのとまったく同じように変換されます。星は、南極から北極に向かって経度に沿って動いているように見えます。（球から平面への立体投影では、経度は円弧として表示されます。）

以下は、双曲型メビウス変換がリーマン球面（平面への立体投影後）に与える影響を示す図です。

これらの図は、円形のフローラインが 2 つの固定点間の一定の角度を成すため、固定点にある正電荷と負電荷のフィールドラインに似ています。

ρとα の両方がゼロでない場合、変換は斜航的であると言われます。これらの変換は、すべての点を S 字型の経路で 1 つの固定点から別の固定点に移動する傾向があります。

「航路」という言葉は、ギリシャ語の「λοξος (loxos)、斜め+ δρόμος (dromos)、進路」に由来しています。一定の方位で航行する場合、たとえば北東の方向を維持すると、最終的には対数螺旋で北極の周りを航行することになります。メルカトル図法では、北極と南極が無限に投影されるため、このような進路は直線になります。経線に対する航路の角度 (つまり、その傾き、螺旋の「​​きつさ」) がkの引数です。もちろん、メビウス変換では、2 つの固定点を北極と南極だけでなくどこにでも持つことができます。ただし、すべての航路変換は、そのような航路に沿ってすべての点を移動する変換と共役になります。

任意の斜航メビウス変換によって生成される1 パラメータ部分群を取ると、部分群内のすべての変換が同じ2 点を固定する連続変換が得られます。他のすべての点は、最初の固定点から離れ、2 番目の固定点に向かう特定の曲線族に沿って流れます。双曲の場合とは異なり、これらの曲線は円弧ではなく、球面から平面への立体投影では、1 つの固定点の周りを反時計回りに無限にねじれ、もう 1 つの固定点の周りを時計回りに無限にねじれる螺旋曲線として表示される特定の曲線です。一般に、2 つの固定点は、リーマン球面上の任意の 2 つの異なる点です。

2 つの固定点が 0、∞ の場合の物理的な解釈は、おそらく推測できるでしょう。つまり、ある軸の周りを回転 (一定の角速度で) し、同じ軸に沿って移動している観測者には、実際の線速度と角速度の大きさによってそれぞれ決定される固定点 0、∞、およびρ、αを持つ航程変換の 1 パラメータ サブグループに従って夜空の外観が変化するのが表示されます。

これらの画像は、リーマン球面上に立体的に投影されたメビウス変換を示しています。特に、球面に投影すると、無限遠の固定点の特殊なケースは、任意の場所の固定点がある場合と変わらないように見えることに注意してください。

変換が不動点γ ₁、γ ₂、および特性定数k を持つ場合、となります。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}'={\mathfrak {H}}^{n}}$${\displaystyle \gamma _{1}'=\gamma _{1},\gamma _{2}'=\gamma _{2},k'=k^{n}}$

これを使用して、変換を 反復したり、ステップに分割してアニメーション化したりできます。

これらの画像は、さまざまな特性定数による変換で連続的に反復される 3 つの点 (赤、青、黒) を示しています。

これらの画像は、円を双曲変換、楕円変換、斜航変換で変換すると何が起こるかを示しています。楕円変換と斜航変換の画像では、 αの値は1/10 です。

高次元では、メビウス変換は⁠ ⁠の同相写像、つまり⁠ ⁠の1 点コンパクト化であり、球面上の反転と超平面上の反射の有限合成です。^[7]共形幾何学におけるリウヴィルの定理は、少なくとも 3 次元では、すべての共形変換はメビウス変換であるとしています。すべてのメビウス変換は、 、、は直交行列、は 0 または 2 の 形に表すことができます。 メビウス変換の群は、メビウス群とも呼ばれます。^[8]${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n}}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle f(x)=b+{\frac {\alpha A(x-a)}{|x-a|^{\varepsilon }}},}$$${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \varepsilon }$

方向保存メビウス変換はメビウス群の恒等式の連結成分を形成する。次元n = 2では、方向保存メビウス変換はまさにここで扱うリーマン球面の写像である。方向反転メビウス変換は複素共役によってこれらから得られる。^[9]

メビウス変換の定義域、すなわち⁠ ⁠は、 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n}}}}$n次元球面と同相である。これら 2 つの空間間の標準的な同型はケーリー変換であり、それ自体が⁠ ⁠のメビウス変換である。この同一視は、メビウス変換を の共形同型として考えることもできるということを意味する。n球面は、メビウス群の作用とともに、（クラインのエアランゲン プログラムの意味で）メビウス幾何学と呼ばれる幾何学的構造である。^[10]${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n+1}}}}$${\displaystyle S^{n}}$

メビウス群とローレンツ群の同型性は、複数の著者によって指摘されている。双曲幾何学とメビウス幾何学に関連する自己同型関数に関するフェリックス・クライン(1893, 1897) ^{[11]の以前の研究に基づいて、}グスタフ・ヘルグロッツ(1909) ^{[12] は、}単位球面をそれ自体に変換する双曲運動(すなわち、双曲空間の等長自己同型) がローレンツ変換に対応することを示し、これによりヘルグロッツは 1 パラメータのローレンツ変換を斜航群、楕円群、双曲群、放物群に分類することができた。他の著者としては、エミール・アルティン（1957）^{[13] 、} HSMコクセター（1965）^[14]、ロジャー・ペンローズ、ヴォルフガング・リンドラー（1984）^[15]、トリスタン・ニーダム（1997）^[16]、WMオリビア（2002）^{[17]などがいます。}

ミンコフスキー空間は、実数の4倍体（x ₀、x ₁、x ₂、x ₃）の空間からなる4次元の実座標空間R ⁴と、2次形式 $${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$$

特殊相対論の用語を借りると、Q > 0の点は時間的 であると見なされます。さらに、x ₀ > 0の場合、その点は未来を指すと呼ばれます。 Q < 0の点は空間的 と呼ばれます。ヌルコーン S は、 Q = 0の点で構成されます。未来ヌルコーン N ^{+ は、}ヌルコーン上でx ₀ > 0の点です。すると天球は、初期点がR ⁴の原点であるN ⁺内の光線の集合と同一視されます。正の行列式を持ち、二次形式Q を保存し、時間方向を保存するR ⁴上の線型変換の集合は、制限ローレンツ群SO ⁺ (1, 3)を形成します。

天球の幾何学に関連して、変換群SO ⁺ (1, 3)は球面のメビウス変換の群PSL(2, C )と同一視される。各( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ⁴に、エルミート行列を関連付ける。 $${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}.}$$

行列Xの行列式はQ ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ )に等しい。特殊線型群はこのような行列の空間に次のように作用する。

であり、 SL(2, C ) のこの作用は、det A = 1なので、 Xの行列式を保存します。 Xの行列式は二次形式Qと同一視されるため、SL(2, C ) はローレンツ変換として作用します。次元の観点から、SL(2, C ) はSO(1, 3)の単位元近傍を覆います。SL(2, C ) は連結であるため、制限ローレンツ群SO ⁺ (1, 3)全体を覆います。 さらに、作用 ( 1 ) の核は部分群 {± I } であるため、商群に移行すると群同型が得られます。

ここで、 ( x ₀、x ₁、x ₂、x ₃ )がゼロの場合に注目すると、行列Xの行列式はゼロになり、したがって複素2ベクトルξとその複素共役の外積として分割されます。

2成分ベクトルξは、( 1 )と互換性のある方法でSL(2, C )によって作用される。SL (2, C )のエルミート行列表現の核は{± I }であることが明らかである。

PSL(2, C )の天球への作用は、立体射影を使って幾何学的に記述することもできる。まず、 x ₀ = 1で与えられるR ⁴の超平面を考える。 天球は、超平面と将来のヌル円錐N ⁺の交差する球S ⁺と同一視できる。この球の北極(1, 0, 0, 1)から平面x ₃ = 0への立体射影は、座標(1, x ₁ , x ₂ , x ₃ )の 点から 点 $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}$$$${\displaystyle \left(1,{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{3}}},0\right).}$$

複素座標を 導入すると、逆立体投影により、 S ⁺上の 点( x ₁、x ₂、x ₃ )に対して次の式が得られます。 $${\displaystyle \zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}},}$$

SO ⁺ (1, 3)のN ⁺の点への作用は超平面S ^{+ を}保存しませんが、 S ⁺の点に作用し、結果が再びS ^{+になるように再スケーリングすると、球面への}SO ⁺ (1, 3)の作用が得られ、これが複素変数ζへの作用になります。実際、この作用は分数線形変換によるものですが、天球のこの表現からは簡単にはわかりません。逆に、ζ変数の任意の分数線形変換は、適切な（一意に決定される）再スケーリングの後に、おそらく N ⁺上の一意のローレンツ変換になります。

立体射影をより不変的に記述し、作用をより明確に理解できるようにするには、変数ζ = z : w を複素射影直線CP ¹の同次座標のペアの比として考える。立体射影は、 C ² − {0}からN ⁺への変換につながり、これは実スケーリングに関して次数 2 の同次である。

これは、スケールを限定すると（ ４ ）と一致する。（ ５ ）の成分は、外積から得られるものと全く同じである。 ${\displaystyle z{\bar {z}}+w{\bar {w}}=1.}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {z}}&{\bar {w}}\end{bmatrix}}.}$$

まとめると、制限ローレンツ群 SO ⁺ (1,3) の作用は、メビウス群PSL(2, C )の作用と一致する。これが次の定義の根拠となる。次元n ≥ 2では、メビウス群Möb( n ) は、球面S ⁿのそれ自身への向きを保存するすべての共形等長 変換の群である。共形球面をミンコフスキー空間R ^1,n+1内のヌル円錐の未来を指す光線の空間として実現することにより、時間の方向を保存する、正の行列式を持つローレンツ変換の制限ローレンツ群 SO ⁺ (1, n +1) と Möb( n )の同型が存在する。

コクセターは代わりに同等の二次形式⁠ ⁠${\displaystyle Q(x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}$から始めました。

彼は、ローレンツ群を { x | Q( x ) = −1} が安定な変換と同一視した。次に、x を同次座標と解釈し、ヌル円錐 { x | Q( x ) = 0} を点 { x | Q( x ) < 0}の双曲空間のケーリー絶対値と解釈した。次に、コクセターは、 ローレンツ不変な二次曲面が球面⁠ ⁠に対応するように変数を導入した 。コクセターは、フェリックス・クラインもこの対応について書いていて、 (0, 0, 1)から複素平面への立体射影を適用していると述べている。コクセターは、反転平面の円は双曲空間の平面を表し、一般的なホモグラフィーは 2 つまたは 4 つの円の反転の積であり、これは 2 つまたは 4 つの平面の反転の積である一般的な双曲変位に対応するという事実を利用した。 $${\displaystyle \xi ={\frac {x_{1}}{x_{4}}},\ \eta ={\frac {x_{2}}{x_{4}}},\ \zeta ={\frac {x_{3}}{x_{4}}}}$$${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1}$${\textstyle z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}.}$

上で見たように、メビウス群PSL(2, C )は、原点、空間の向き、および時間の方向を保存する等長変換のグループとしてミンコフスキー空間に作用します。正の光円錐内のQ = 1 の点 (これは双曲 3 次元空間 H ³のモデルを形成します) に限定すると、メビウス群はH ³に対して、方向を保存する等長変換のグループとして作用することがわかります。実際、メビウス群は双曲 3 次元空間の方向を保存する等長変換のグループに等しいです。ポアンカレ球モデルを使用して、 R ³の単位球をH ³と同一視すると、リーマン球をH ³の「共形境界」と考えることができます。 H ³の方向を保存する等長変換はすべて、リーマン球上のメビウス変換を生じ、その逆も同様です。

特定の

一般的な

• Lawson, MV (1998). 「メビウス逆モノイド」. Journal of Algebra . 200 (2): 428. doi : 10.1006/jabr.1997.7242 .

• 「準等角写像」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 等角地図ギャラリー
• Weisstein、Eric W.「線形分数変換」。MathWorld。