ケイリーが変身する

数学において、アーサー・ケイリーにちなんで名付けられたケイリー変換は、関連するものの集合のどれかである。ケイリー（1846）によって最初に記述されたように、ケイリー変換は、歪対称行列と特殊直交行列の間の写像である。この変換は、実解析、複素解析、および四元数解析で使用されるホモグラフィである。ヒルベルト空間の理論では、ケイリー変換は線形演算子間の写像である（ニコルスキー 1988 ）。

実ホモグラフィー

ケイリー変換の簡単な例として、実射影直線上で実行できます。ここでケイリー変換を行うと、{1, 0, −1, ∞} の要素が順番に並べ替えられます。例えば、正の実数を区間 [−1, 1] に写像します。このように、ケイリー変換は、ルジャンドル多項式をルジャンドル有理関数を用いた正の実数上の関数に適用するために使用されます。

実ホモグラフィとして、点は射影座標で記述され、マッピングは

[y,\ 1]=\left[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1\right]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.

複素ホモグラフィー

複素平面の上半分では、ケイリー変換は次のようになります。^[¹^]^[²^]

f(z)={\frac {zi}{z+i}}.

以来 $\{\infty ,1,-1\}$ マッピング先 $\{1,-i,i\}$ 、そしてメビウス変換は複素平面上の一般化された円を入れ替える。 $f$ 実数直線を単位円に写像する。さらに、 $f$ 同相写像であり、 $i$ 0 にされる $f$ 上半平面は単位円盤にマッピングされる。

双曲幾何学のモデルに関して言えば、このケイリー変換はポアンカレ半平面モデルとポアンカレ円盤モデルを関連付けるものである。

電気工学においては、ケイリー変換は、伝送線のインピーダンス整合に用いられるスミスチャートにリアクタンス半平面をマッピングするために用いられてきた。

四元数ホモグラフィー

四元数の4次元空間において $a+b{\vec {i}}+c{\vec {j}}+d{\vec {k}}$ 詩人たち

u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta

単位3球を形成する。

四元数は非可換であるため、その射影直線の要素は同次座標で表されます。 $U[a,b]$ 同次因子が左側から乗算されることを示す。四元数変換は

f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[qu,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(qu),\ 1]。

上述の実数および複素数のホモグラフィは、四元数ホモグラフィの例であり、 $\theta$ ゼロまたは $\pi /2$ それぞれ。明らかに変換には $u\to 0\to -1$ そして、 $-u\to \infty \to 1$ 。

このホモグラフィーを評価すると $q=1$ versor をマッピングします $u$ その軸に沿って：

f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.

しかし $|1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{および}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .$

したがって $f(u,1)=-r{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.$

この形式では、ケイリー変換は回転の有理パラメータ化として記述されています。 $t=\tan \phi /2$ 複素数恒等式^{[ 3 ]において}

e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}

ここで右辺は変換である $ti$ 左側は平面の負の回転を表す $\phi$ ラジアン。

逆

させて $u^{*}=\cos \theta -r\sin \theta =u^{-1}.$ 以来

{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\ \sim \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\ ,

ここで同値性は四元数上の射影線形群にあり、その逆は $f(u,1)$ は

U[p,1]{\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ U[p+1,\ (1-p)u^{*}]\sim U[u(1-p)^{-1}(p+1),\ 1]。

ホモグラフィは全単射なので、 $f^{-1}(u,1)$ ベクトル四元数をバーソルの3次元球面にマッピングします。バーソルは3次元空間の回転を表すため、ホモグラフィは $f^{-1}$ ボールから回転を生み出す $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 。

マトリックスマップ

実数体上のn × n正方行列のうち、I を単位行列として、A を任意の歪対称行列とする( A ^T = − Aとなるように)。

すると、I + Aは可逆であり、ケイリー変換は

Q=(IA)(I+A)^{-1}\,\!

直交行列Qを生成します( Q ^TQ = Iとなる)。上記のQの定義における行列乗算は可換であるため、Q は次のように定義することもできます。 $Q=(I+A)^{-1}(IA)$ 実際、Q は行列式が +1 でなければならないので、特別な直交行列です。

逆に、Q を固有値として −1 を持たない任意の直交行列とすると、

A=(IQ)(I+Q)^{-1}\,\!

は歪対称行列です。（参照：対合） Qの条件は、行列式が −1 の行列を自動的に除外しますが、特定の特殊な直交行列も除外します。

しかし、任意の回転（特殊直交）行列Q は次のように書くことができます。

Q={\bigl (}(IA)(I+A)^{-1}{\bigr )}^{2}

ある歪対称行列Aに対して、より一般的には任意の直交行列Q は次のように書ける。

Q=E(IA)(I+A)^{-1}

ある歪対称行列Aと、 ±1 を要素とするある対角行列Eについて。 ^{[ 4 ]}

わずかに異なる形式も見られ、^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}各方向で異なるマッピングが必要、

{\begin{aligned}Q&=(IA)^{-1}(I+A),\\[5mu]A&=(QI)(Q+I)^{-1}.\end{aligned}}

写像は因子の順序を逆にして書くこともできますが、^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}、A は常に (μ I ± A ) ⁻¹と可換なので、順序の変更は定義に影響しません。

例

2×2 の場合、

{\begin{bmatrix}0&\tan {\frac {\theta }{2}}\\-\tan {\frac {\theta }{2}}&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.

180°回転行列− Iは除外されますが、tan ^θ ⁄ ₂が無限大に近づくときの極限です。

3×3 の場合、

{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\frac {1}{K}}{\begin{bmatrix}w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2(xy-wz)&2(wy+xz)\\2(xy+wz)&w^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(wx+yz)&w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}},

ここで、K = w ² + x ² + y ² + z ²であり、w = 1 である。これは、四元数に対応する回転行列として認識される。

w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z\,\!

（ケイリーが前年に発表した式による）ただし、通常のスケーリングであるw ² + x ² + y ² + z ² = 1 ではなく、 w = 1 となるようにスケーリングされている。したがって、ベクトル ( x , y , z ) は、tan ^θ ⁄ ₂でスケーリングされた回転の単位軸である。ここでも 180° 回転は除外されており、この場合はすべて対称なQである(つまりQ ^T = Q )。

その他の行列

直交行列を「ユニタリ」に、歪対称行列を「歪エルミート」に置き換えることで、マッピングを複素行列に拡張できます。違いは、転置行列（・^{T ）が}共役転置行列（・^H ）に置き換えられる点です。これは、標準的な実内積を標準的な複素内積に置き換えることと一致します。実際、転置行列や共役転置行列以外の随伴行列を選択することで、定義をさらに拡張することも可能です。

形式的には、定義では可逆性のみを要求するので、Q の代わりに、固有値に −1 を含まない任意の行列Mを代入することができる。例えば、

{\begin{bmatrix}0&-a&ab-c\\0&0&-b\\0&0&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}1&2a&2c\\0&1&2b\\0&0&1\end{bmatrix}}.

Aが歪対称（または歪エルミート）であるのは、Qが直交（またはユニタリ）であり、かつ固有値-1を持たない場合に限ることに注意してください。

オペレーターマップ

内積空間の無限次元バージョンはヒルベルト空間であり、もはや行列について語ることはできません。しかし、行列は線形演算子の単なる表現であり、これらを使用できます。したがって、行列マッピングと複素平面マッピングの両方を一般化することで、演算子のケーリー変換を定義できます。^{[ 9 ]}

{\begin{aligned}U&{}=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\\A&{}=\mathbf {i} (I+U)(I-U)^{-1}\end{aligned}}

ここで、Uの定義域dom Uは ( A + i I ) dom Aです。詳細については、自己共役演算子を参照してください。

参考文献

↑ロバート・エヴェリスト・グリーン＆スティーブン・G・クランツ（2006）『1変数複素関数論』 189ページ、大学院数学研究シリーズ第40巻、アメリカ数学会 ISBN 9780821839621
↑エルヴィン・クレイジグ(1983)『高等工学数学』第5版、611ページ、Wiley ISBN 0471862517
↑正接半角の公式を参照
↑ Gallier, Jean (2006). "直交行列のケイリー表現と行列の対角成分を摂動させて可逆行列にする方法について考察". arXiv : math/0606320 .
ガリエが説明したように、これらの結果の最初のものは、ヘルマン・ワイル（1946）の「古典群（第2版）」プリンストン大学出版局の補題2.10.D、p.60の改良版です。
2つ目は、Bellman, Richard (1960). Introduction to Matrix Analysis . SIAM Publications. §6.4 exercise 11, p. 91–92 に掲載された演習問題です。
↑ Golub, Gene H. ; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
↑ F. Chong (1971)「ケイリー変換に関する幾何学的注釈」、John C. Butcher 編『数学のスペクトル：HG Forder に捧げるエッセイ集』84,5 ページ、オークランド大学出版局
↑クーラント、リチャード；ヒルベルト、デイヴィッド（1989）、『数理物理学の方法』第1巻（英語初版）、ニューヨーク：ワイリー・インターサイエンス、536、7ページ、ISBN 978-0-471-50447-4第7章、第7.2節
↑ハワード・イーブス(1966)『初等行列理論』、§ 5.4A ケイリーによる実直交行列の構成、365～367ページ、アリン＆ベーコン
↑ルーディン 1991 年、p. 356-357 §13.17。

スターリング・K・バーベリアン（1974）『関数解析と作用素論講義』、大学院数学テキスト第15巻、278、281ページ、シュプリンガー・フェルラーク社、ISBN 978-0-387-90081-0
Cayley、Arthur (1846)、「Sur quelques propriétés des déterminants gauches」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、32 (2): 119–123、doi : 10.1515/crll.1846.32.119、ISSN 0075-4102 ;アーサー・ケイリー著『アーサー・ケイリー数学論文集』第1巻（1841 ～1853年）、ケンブリッジ大学出版局、 332～336ページに、論文52（332～336ページ）として再録。
Lokenath Debnath & Piotr Mikusiński (1990) Introduction to Hilbert Spaces with Applications、213ページ、Academic Press ISBN 0-12-208435-7
ギルバート・ヘルムバーグ（1969）『ヒルベルト空間におけるスペクトル理論入門』 288ページ、§38：ケイリー変換、応用数学と力学第6巻、ノースホランド
Nikolski、Nikolai Kapitonovich (1988)、「Cayley 変換」、Hazewinkel、Michiel (編)、Encyclopedia of Mathematics、vol. 2、クルーワー、p. 80、土井：10.1007/978-94-009-6000-8、ISBN 978-94-009-6002-2;ロシアのヴィノグラドフ著、イワン・マトヴェービッチ編から翻訳。 (1977)、マテマティチェスカヤ・エンツィクロペディヤ、モスクワ: ソビエツカヤ・エンツィクロペディヤ
Henry Ricardo (2010) 『現代線形代数入門』、504ページ、CRC Press ISBN 978-1-4398-0040-9。
ルディン、ウォルター（ 1991）。関数解析。国際純粋応用数学シリーズ。第 8巻（第2 版）。ニューヨーク州ニューヨーク：マグロウヒル科学・工学・数学。ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277。

[1] ロバート・エヴェリスト・グリーン＆スティーブン・G・クランツ（2006）『1変数複素関数論』 189ページ、大学院数学研究シリーズ第40巻、アメリカ数学会 ISBN 9780821839621

[2] エルヴィン・クレイジグ(1983)『高等工学数学』第5版、611ページ、Wiley ISBN 0471862517

[3] 正接半角の公式を参照

[4] Gallier, Jean (2006). "直交行列のケイリー表現と行列の対角成分を摂動させて可逆行列にする方法について考察". arXiv : math/0606320 .
ガリエが説明したように、これらの結果の最初のものは、ヘルマン・ワイル（1946）の「古典群（第2版）」プリンストン大学出版局の補題2.10.D、p.60の改良版です。
2つ目は、Bellman, Richard (1960). Introduction to Matrix Analysis . SIAM Publications. §6.4 exercise 11, p. 91–92 に掲載された演習問題です。

[5] Golub, Gene H. ; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9

[6] F. Chong (1971)「ケイリー変換に関する幾何学的注釈」、John C. Butcher 編『数学のスペクトル：HG Forder に捧げるエッセイ集』84,5 ページ、オークランド大学出版局

[7] クーラント、リチャード；ヒルベルト、デイヴィッド（1989）、『数理物理学の方法』第1巻（英語初版）、ニューヨーク：ワイリー・インターサイエンス、536、7ページ、ISBN 978-0-471-50447-4第7章、第7.2節

[8] ハワード・イーブス(1966)『初等行列理論』、§ 5.4A ケイリーによる実直交行列の構成、365～367ページ、アリン＆ベーコン

[FOOTNOTERudin1991356-357_§13.17-9] ルーディン 1991 年、p. 356-357 §13.17。

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[ 3 ]において

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[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

ケイリーが変身する

実ホモグラフィー

複素ホモグラフィー

四元数ホモグラフィー

逆

マトリックスマップ

例

その他の行列

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関連項目

参考文献

関連するトピック

数学

アーサー・ケイリー

歪対称行列

特殊直交行列