超多様体

物理学と数学において、超多様体は、超対称性から生まれたアイデアに基づいた多様体概念の一般化です。いくつかの定義が使用されており、そのうちのいくつかを以下に説明します。

物理学の教科書や入門講義では、非公式の定義がよく使われています。超多様体は、ボソン座標とフェルミオン座標の両方を持つ多様体として定義されています。局所的には、それは「平坦な」ユークリッド超空間のように見える座標チャートで構成されています。これらの局所座標は、多くの場合、次のように表されます。

${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$

ここで、x は(実数値)時空座標であり、および はグラスマン値の空間「方向」 です。${\displaystyle \theta \,}$${\displaystyle {\bar {\theta }}}$

グラスマン値座標の物理的解釈は議論の対象であり、超対称性の明示的な実験的探索では肯定的な結果は得られていない。しかし、グラスマン変数の使用により、多くの重要な数学的結果を大幅に簡略化することができる。これには、関数積分の簡潔な定義、 BRST量子化におけるゴーストの適切な処理、量子場の理論における無限大の消去、アティヤ・シンガー指数定理に関するウィッテンの研究、および最近のミラー対称性への応用などが含まれる。

グラスマン値座標の使用により、超数学の分野が生まれました。この分野では、リーマン幾何学の大部分や、リー群とリー代数の理論のほとんど（リー超代数など）を含む幾何学の大部分を超同値に一般化できます。ただし、ド・ラーム・コホモロジーの超多様体への 適切な拡張など、問題が残っています。

超多様体には 3 つの異なる定義が使われている。1 つは、環空間上の層としての定義で、これは「代数幾何学的アプローチ」と呼ばれることもある。^[1]このアプローチは数学的に洗練されているが、さまざまな計算や直感的な理解において問題が生じる可能性がある。2 つ目のアプローチは「具体的なアプローチ」と呼ばれる。^[1]これは、通常の数学から幅広い概念を単純かつ自然に一般化できるためである。このアプローチでは、定義に無限の数の超対称生成子を使用する必要がある。しかし、具体的なアプローチでは、それらのほとんどすべてを同等にする粗い トポロジーを使用する必要があるため、これらの生成子のうち有限の数を除いてすべてに内容がない。驚くべきことに、有限の数の超対称生成子を持つ定義と無限の数の生成子を持つ定義の 2 つは同等である。^{[1] [2]}

3番目のアプローチは、超多様体を超点の基底トポスとして記述するものである。このアプローチは、現在も活発に研究されている。^[3]

超多様体は非可換多様体の特殊なケースですが、その局所構造により、標準的な微分幾何学や局所環空間のツールを使った研究に適しています。

( p , q )次元の超多様体Mは、通常O _Mまたは C ^∞ ( M )と表記される超代数の層を持つ位相空間Mであり、これはq 個の生成元上のグラスマン（外）代数である に局所的に同型である。 ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{p})\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})}$

次元 (1,1) の超多様体M は、超リーマン面と呼ばれることもあります。

歴史的に、このアプローチは、フェリックス・ベレジン、ディミトリー・レイテス、バートラム・コスタントと関連しています。

別の定義では、モデル空間がモデル超空間に置き換えられていることを除いて、滑らかな多様体と似た方法で超多様体を記述します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}}$

これを正しく定義するには、と が何であるかを説明する必要があります。これらは、慣例により、可算無限個の反交換変数によって生成されるグラスマン数の 1 次元空間の偶数および奇数の実数部分空間として与えられます。つまり、1 次元空間は によって与えられ、ここでVは無限次元です。元z はのとき実数と呼ばれます。偶数個のグラスマン生成元のみからなる実数元は c 数空間を形成し 、奇数個のグラスマン生成元のみからなる実数元は a 数空間を形成します。c数は可換ですが、a数は反交換であることに注意してください。空間と は、およびのp倍およびq倍の直積として定義されます。^[4]${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \Lambda (V),}$${\displaystyle z=z^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{q}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$

通常の多様体の場合と同様に、超多様体は微分可能な遷移関数で貼り合わされたチャートの集合として定義されます。 ^[4]チャートによるこの定義では、遷移関数が滑らかな構造とゼロでないヤコビアン を持つことが求められます。これは、個々のチャートがグラスマン代数上のベクトル空間位相よりもかなり粗い位相を使用している場合にのみ実現できます。この位相は、に射影し、その上で自然な位相を使用することで得られます。結果として得られる位相はハウスドルフではありませんが、「射影的にハウスドルフ」と呼ばれることがあります。^[4]${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$

この定義が最初の定義と同等であることは全く明らかではない。しかし、粗い位相幾何学の使用により、ほとんどの「点」が同一になる。つまり、粗い位相幾何学は本質的に同型である^{[1] [2]}。${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})}$

通常の多様体とは異なり、超多様体は点の集合だけで構成されているわけではありません。その代わりに、超多様体Mの構造は「滑らかな関数」の層O _Mに含まれているという二重の観点が取られます。この二重の観点では、単射写像は層の射影に対応し、射影写像は層の射影に対応します。

双対観点への別のアプローチは、点の関数を使用することです。

M が次元 ( p , q )の超多様体である場合、基礎空間Mは、滑らかな関数の層が である微分可能多様体の構造を継承します。ここで、はすべての奇関数によって生成されるイデアルです。したがって、 M はMの基礎空間または本体と呼ばれます。商写像は M → M の入射写像に対応します。したがって、MはMの部分多様体です。 ${\displaystyle O_{M}/I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle O_{M}\to O_{M}/I}$

• M を多様体とする。奇接束ΠT M はM上の微分形式の層 Ω( M )によって与えられる超多様体である。
• より一般的には、E → Mをベクトル束とします。すると、Π Eは層 Γ(ΛE ^* ) によって与えられる超多様体です。実際、Π はベクトル束のカテゴリから超多様体のカテゴリへの関手です。
• リー超群は超多様体の例です。

バチェラーの定理は、すべての超多様体は Π E の形の超多様体と非正準的に同型であることを述べている。「非正準的」という言葉は、超多様体が単に誇張されたベクトル束であると結論付けるのを防ぐ。関数 Π は超多様体の同型類に射影的に写像するが、カテゴリの同値ではない。これは1979 年にマージョリー・バチェラーによって発表された。^[5]

バチェラーの定理の証明は本質的には1 の分割の存在に依存しているため、複素超多様体や実解析超多様体には当てはまりません。

多くの物理的および幾何学的応用において、超多様体はグラスマン奇シンプレクティック構造を備えている。超多様体上のすべての自然な幾何学的対象は次数付けされている。特に、2 形式の束は次数付けを備えている。超多様体上の奇シンプレクティック形式 ω は閉じた奇形式であり、TM上で非退化ペアリングを誘導する。このような超多様体は P 多様体と呼ばれる。その次数付け次元は必然的に ( n , n ) である。なぜなら、奇シンプレクティック形式は奇変数と偶変数のペアリングを誘導するからである。P 多様体用の Darboux 定理のバージョンがあり、これを使用すると、P 多様体に、奇シンプレクティック形式 ω が次のように記述される座標の集合を局所的に装備することができる。

${\displaystyle \omega =\sum _{i}d\xi _{i}\wedge dx_{i},}$

ここで、は偶座標、 は奇座標である。（奇シンプレクティック形式は、超多様体上のグラスマン偶シンプレクティック形式と混同してはならない。対照的に、偶シンプレクティック形式のダルブー版は、 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \xi_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}+\sum _{j}{\frac {\varepsilon _{j}}{2}}(d\xi _{j})^{2},}$

ここで、は偶数座標、は 奇数座標、は +1 または -1 のいずれかです。 ${\displaystyle p_{i},q_{i}}$${\displaystyle \xi_{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{j}}$

奇シンプレクティック2形式ωが与えられたとき、超多様体上の任意の 2つの関数FとGの反括弧として知られるポアソン括弧を次のように定義することができる。

${\displaystyle \{F,G\}={\frac {\partial _{r}F}{\partial z^{i}}}\omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l}G}{\partial z^{j}}}.}$

ここで、 と はそれぞれ右導関数と左導関数であり、z は超多様体の座標です。 この括弧を備えることで、超多様体上の関数の代数は反括弧代数になります。 ${\displaystyle \partial_{r}}$${\displaystyle \partial_{l}}$

反括弧を保存する座標変換は P 変換と呼ばれます。P 変換のベレジニアが 1 に等しい場合は、SP変換と呼ばれます。

奇シンプレクティック形式に対するダルブー定理を使用すると、 P 多様体は P 変換によって接着された超空間の開集合から構成されることが示されます。これらの遷移関数が SP 変換になるように選択できる場合、多様体は SP 多様体と呼ばれます。同様に、SP 多様体を、非退化奇 2 形式 ω と密度関数 ρ を持つ超多様体として定義し、各座標パッチにρ が 1 に等しい ダルブー座標が存在するように定義することもできます。${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n|n}}$

SP多様体上のラプラシアン作用素Δは、関数Hを対応するハミルトンベクトル場の発散の半分に取る作用素として定義することができる。明示的に定義する。

${\displaystyle \Delta H={\frac {1}{2\rho }}{\frac {\partial _{r}}{\partial z^{a}}}\left(\rho \omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l}H}{\partial z^{j}}}\right).}$

ダルブー座標ではこの定義は次のように簡約される。

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial _{r}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial _{l}}{\partial \theta _{a}}}}$

ここでx ^aとθ _aは偶数と奇数の座標であり、

${\displaystyle \omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}.}$

ラプラシアンは奇数でありべき乗である

${\displaystyle \Delta ^{2}=0.}$

ラプラシアンに関して関数Hのコホモロジーを定義することができます。Batalin-Vilkovisky 量子化の幾何学において、 Albert Schwarz は、ラグランジアン部分多様体L上の関数Hの積分は、 Hのコホモロジー類と、周囲超多様体の本体における Lの本体のホモロジー類のみに依存することを証明しました。

次元 ( n , m )の超多様体上の前 SUSY 構造は、奇数のm次元分布です。このような分布には、フロベニウス テンソルが関連付けられます ( Pは奇数なので、歪対称フロベニウス テンソルは対称演算です)。このテンソルが非退化の場合、たとえば が の開軌道上にある場合 、 M はSUSY 多様体と呼ばれます。次元 (1, k )の SUSY 構造は、奇数の接触構造と同じです。 ${\displaystyle P\subset TM}$${\displaystyle S^{2}P\mapsto TM/P}$${\displaystyle GL(P)\times GL(TM/P)}$

• 超空間
• 超対称性
• 超幾何学
• 段階的多様体
• バタリン＝ヴィルコヴィスキーの形式主義

• ジョセフ・バーンスタイン、「超対称性に関する講義（デニス・ゲイツゴリーによるメモ）」、IAS の量子場理論プログラム：秋学期
• A. Schwarz、「バタリン-ビルコヴィスキー量子化の幾何学」、ArXiv hep-th/9205088
• C. Bartocci、U. Bruzzo、D. Hernandez Ruiperez、超多様体の幾何学(Kluwer、1991) ISBN 0-7923-1440-9 
• L. Mangiarotti、G. Sardanashvily、「古典場理論と量子場理論のつながり」（World Scientific、2000）ISBN 981-02-2013-8（arXiv：0910.0092） 

• 超多様体: 多様体アトラスにおける不完全な調査。