コーシー応力テンソル

連続体力学では、コーシー応力テンソル（記号⁠${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$（オーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられた）応力テンソル（真応力テンソル^{[ 1 ]}または単に応力テンソルとも呼ばれる）は、変形状態、配置、または構成における材料内部の点における応力状態を完全に定義します。2階テンソルは9つの成分から構成されます。$\displaystyle \sigma _{ij}}$そして、単位長さの方向ベクトルeを、 eに垂直な面上の牽引ベクトルT ^{( e )}に関連付けます。

$\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} )}=\mathbf {e} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{または}}\quad T_{j}^{(\mathbf {e} )}=\sum _{i}\sigma _{ij}e_{i}.}$^{[ a ]}

応力テンソルと牽引ベクトルのSI単位はどちらもニュートン毎平方メートル（N/m² ^）またはパスカル（Pa）であり、これは応力スカラーに対応します。単位ベクトルは無次元です。

コーシー応力テンソルは、座標系の変換に対してテンソル変換法則に従います。2次元座標変換の図解表現として、応力のモール円があります。

コーシー応力テンソルは、微小変形を受ける物質の応力解析に用いられ、線形弾性理論における中心的な概念である。大きな変形、すなわち有限変形の場合には、ピオラ・キルヒホフ応力テンソル、ビオ応力テンソル、キルヒホフ応力テンソルなど、他の応力尺度が必要となる。

線形運動量保存の原理によれば、連続体が静的平衡状態にある場合、物体内のあらゆる物質点におけるコーシー応力テンソルの成分は平衡方程式（加速度ゼロの場合のコーシーの運動方程式）を満たすことが証明できます。同時に、角運動量保存の原理によれば、平衡状態では任意の点に関するモーメントの総和がゼロである必要があり、これは応力テンソルが対称であり、元の9つの独立した応力成分ではなく、6つの独立した応力成分しか持たないという結論につながります。しかし、偶力応力、すなわち単位体積あたりのモーメントが存在する場合、応力テンソルは非対称になります。これは、クヌーセン数が1に近い場合にも当てはまります。$\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$⁠、または連続体は非ニュートン流体であり、ポリマーなどの回転不変でない流体につながる可能性があります。

応力テンソルには、選択された座標系や応力テンソルが作用する面積要素に依存しない不変量がいくつか存在する。これらは応力テンソルの3つの固有値であり、主応力と呼ばれる。

オイラー・コーシー応力原理によれば、物体を分割する任意の面上では、物体の一方の部分が他方の部分に及ぼす作用は、物体を分割する面上の分布力と偶力の系と等価（等価）であり、^{[ 2 ]}これは場によって表される。$\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$表面上で定義される牽引ベクトルと呼ばれるもの${\displaystyle S}$そして、表面の法線単位ベクトルに連続的に依存すると仮定される。${\displaystyle \mathbf {n} }$⁠ . ^{[ 3 ] [ 4 ] : p.66–96}

オイラー・コーシー応力原理を定式化するために、表面を考える。${\displaystyle S}$内部の物質点を通過する${\displaystyle P}$図2.1aまたは2.1bに示すように、連続体を2つのセグメントに分割する（切断面図、または表面で囲まれた連続体内部の任意の体積を示す図のどちらを使用してもよい）。${\displaystyle S}$⁠ )

ニュートンとオイラーの古典力学によれば、物体の運動は外部から加えられる力の作用によって生じるが、その力は表面力の2種類に分類される。${\displaystyle \mathbf {F} }$および体力​${\displaystyle \mathbf {b} }$⁠ . ^{[ 5 ]}したがって、総力は$\displaystyle {\mathcal {F}}}$身体全体または身体の一部に適用される場合、次のように表現できます。

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }$

本稿では、コーシー応力テンソルに関連する表面力のみを取り上げる。

物体が外部表面力または接触力 を受けるとき${\displaystyle \mathbf {F} }$オイラーの運動方程式に従って、内部接触力とモーメントは、物体内の点から点へ、また分割面を介して一方のセグメントから他方のセグメントへと伝達される。${\displaystyle S}$⁠、連続体の一方の部分が他方の部分と機械的に接触するため（図2.1aおよび2.1b）。面積要素上で${\displaystyle \Delta S}$含む${\displaystyle P}$法線ベクトル 付き${\displaystyle \mathbf {n} }$⁠、力の分布は接触力に等しい${\displaystyle \Delta \mathbf {F} }$点で作用する${\displaystyle P}$表面モーメント${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$特に、接触力は次のように与えられる。

${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S,}$

どこ$\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$は平均表面トラクションです。

コーシーのストレス原理は^{[ 6 ] : 47-102}で次のように主張している。${\displaystyle \Delta S}$比率をゼロにする傾向がある${\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}$になる${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$そしてカップル応力ベクトル${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$消滅する。連続体力学の特定の分野では、偶力応力は消滅しないと仮定される。しかし、連続体力学の古典的な分野では、偶力応力や物体モーメントを考慮しない非極性材料を扱う。

結果として得られるベクトル${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$は表面牽引力として定義され、^{[ 7 ]}応力ベクトル、^{[ 8 ]}牽引力、^{[ 4 ]}または牽引ベクトル^{[ 6 ]}とも呼ばれ、次式で与えられる。$\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}$その時点で${\displaystyle P}$法線ベクトルを持つ平面に関連付けられている${\displaystyle \mathbf {n} }$⁠ :

${\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}$

この式は、応力ベクトルが、物体内のその位置と、応力が作用する平面の向きに依存することを意味する。

これは、内部接触力の平衡作用が接触力密度またはコーシー牽引場を生成することを意味する^{[ 5 ]。}${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$これは、特定の時点における特定の形状の物体全体にわたる内部接触力の分布を表す。${\displaystyle t}$⁠ 。位置だけでなく、${\displaystyle \mathbf {x} }$特定の物質点だけでなく、法線ベクトルによって定義される表面要素の局所的な向きにも関係する。${\displaystyle \mathbf {n} }$⁠ . ^{[ 9 ]}

検討対象の平面の向きによっては、応力ベクトルは必ずしもその平面に垂直、つまり平行であるとは限らない。${\displaystyle \mathbf {n} }$⁠、そして2つの成分に分解できます（図2.1c）。

• 平面に垂直な方向の応力と呼ばれるもの。

  ${\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}$

どこ${\displaystyle df_{\mathrm {n} }}$は力の法線成分です${\displaystyle d\mathbf {F} }$差分領域へ${\displaystyle dS}$

• そしてもう一方の、この平面に平行なせん断応力

  ${\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}$

どこ${\displaystyle df_{\mathrm {s} }}$は力の接線成分です${\displaystyle d\mathbf {F} }$差分表面積へ${\displaystyle dS}$せん断応力は、互いに直交する2つのベクトルにさらに分解できます。

物体内の点における応力状態は、その点を通過するすべての平面（無限個）に関連付けられたすべての応力ベクトルT ^{( n )によって定義されます。 [ 13 ]}しかし、コーシーの基本定理[ ^{11 ]}またはコーシーの応力定理^{[ 1 ]}によれば、互いに直交する 3 つの平面上の応力ベクトルを知るだけで、座標変換方程式によってその点を通過する他の任意^の平面上の応力ベクトルを見つけることができます。

コーシーの応力定理は、 nに依存しない、コーシー応力テンソルと呼ばれる2 階テンソル場σ ( x , t ) が存在し、 Tはnの線形関数であると述べている。

$\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{または}}\quad T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

この方程式は、法線単位ベクトルnを持つ平面に関連付けられた連続体内の任意の点Pにおける応力ベクトルT ^{( n )}は、座標軸に垂直な平面上の応力ベクトルの関数として、すなわち応力テンソルσの成分σ _ijの関数として表現できることを意味します。

この式を証明するために、座標平面上に3つの面を持ち、法線単位ベクトルnで指定される任意の方向に微小面積d Aを持つ四面体を考えます（図2.2）。この四面体は、単位法線nを持つ任意の平面に沿って微小要素をスライスすることによって形成されます。この平面上の応力ベクトルはT ^{( n )で表されます。_四}面体の面に作用する応力ベクトルはT ^{( e1 )}、T ^{( e2 )}、T ^{( e3 )}で表され、定義により応力テンソルσの_成分σijです。この四面体は、コーシー四面体と呼ばれることもあります_^。力_^の平衡、すなわちオイラーの第一運動法則（ニュートンの第二運動法則）は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,}$

ここで、右辺は正四面体によって囲まれた質量とその加速度の積を表します。ρは密度、aは加速度、hは平面nを底面とした場合の正四面体の高さです。軸に垂直な正四面体の面の面積は、d Aを各面に投影することによって（内積を用いて）求めることができます。

${\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,}$

そして、d Aを消去するために方程式に代入します。

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}\right)\mathbf {a} .}$

四面体が一点に縮む極限の場合を考えると、h は0 にならなければならない (直感的には、平面nはnに沿ってOに向かって平行移動される)。その結果、方程式の右辺は 0 に近づくので、

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.}$

デカルト座標系の座標軸に垂直な平面を持つ材料要素（ページ上部の図を参照）を仮定すると、各要素平面に関連付けられた応力ベクトル、すなわちT ^{( e ₁ )}、T ^{( e ₂ )}、およびT ^{( e ₃ )}は、法線成分と 2 つのせん断成分、すなわち3 つの座標軸の方向の成分に分解できます。法線単位ベクトルがx ₁軸の方向に配向している表面の特定の場合、法線応力をσ ₁₁、2 つのせん断応力をσ ₁₂およびσ ₁₃とします。

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3},}$

インデックス表記では、これは

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j}=\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.}$

応力ベクトルの9つの成分σ _ijは、コーシー応力テンソルと呼ばれる2階デカルトテンソルの成分であり、ある点における応力状態を完全に定義するために使用でき、次のように表されます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right],}$

ここで、σ ₁₁、σ ₂₂、σ ₃₃は法線応力、σ ₁₂、σ ₁₃、σ ₂₁、σ ₂₃、σ ₃₁、σ ₃₂はせん断応力です。最初の添え字iは、応力が X i_軸に垂直な平面に作用することを示し、2 番目の添え字j は、応力が作用する方向を示します (たとえば、σ _{12 は、応力が第 1 軸 (} X ₁ )に垂直な平面に作用し、第 2 軸 ( X ₂ ) に沿って作用することを意味します)。応力成分は、座標軸の正の方向に作用し、かつ、作用する平面の外向き法線ベクトルが正の座標方向を指す場合に正となります。

したがって、応力テンソルの成分を使用すると

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\&=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}\\&=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\right)n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

または同等に、

${\displaystyle T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

あるいは、行列形式では、次のようになります。

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf {n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}$

コーシー応力テンソルのフォークト表記では、応力テンソルの対称性を利用して、応力を次の形式の6次元ベクトルとして表現します。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{13}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}.}$

フォークト表記法は、固体力学における応力-ひずみ関係の表現や、数値構造力学ソフトウェアにおける計算効率の向上に広く用いられている。

応力テンソルの変換規則

応力テンソルは反変な2階テンソルであることが示されており、これは座標系の変更によってどのように変換されるかを表しています。x _i系からx _i '系へ変換すると、元の系の成分σ _ijは、テンソル変換規則に従って新しい系の成分σ _ij ' に変換されます (図 2.4)。

${\displaystyle \sigma '_{ij}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{\textsf {T}},}$

ここで、Aは成分a _ijを持つ回転行列です。行列形式では、次のようになります。

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].}$

行列演算を展開し、応力テンソルの対称性を用いて項を簡略化すると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}'={}&a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23},\\\sigma _{22}'={}&a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23},\\\sigma _{33}'={}&a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23},\\\sigma _{12}'={}&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\\\sigma _{23}'={}&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\\\sigma _{13}'={}&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}}$

応力に関するモール円は、この応力の変化をグラフィカルに表現したものである。

応力が加わった物体のあらゆる点には、主平面と呼ばれる少なくとも３つの平面があり、それぞれの法線ベクトルは${\displaystyle \mathbf {n} }$主方向と呼ばれる方向では、対応する応力ベクトルは平面に垂直、つまり法線ベクトルと平行または同じ方向になります。${\displaystyle \mathbf {n} }$⁠、そして通常のせん断応力がない場所⁠${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$これらの主平面に垂直な３つの応力は主応力と呼ばれます。

コンポーネント${\displaystyle \sigma _{ij}}$応力テンソルの値は、検討対象の点における座標系の向きに依存します。しかし、応力テンソル自体は物理量であり、そのため、それを表現するために選択された座標系に依存しません。すべてのテンソルには、座標系に依存しない特定の不変量があります。たとえば、ベクトルはランク 1 の単純なテンソルです。3 次元では、3 つの成分を持ちます。これらの成分の値は、ベクトルを表現するために選択された座標系に依存しますが、ベクトルの大きさは物理量 (スカラー) であり、ベクトルを表現するために選択されたデカルト座標系(それが法線である限り) に依存しません。同様に、すべての 2 階テンソル (応力テンソルやひずみテンソルなど) には、3 つの独立した不変量が関連付けられています。そのような不変量の 1 つのセットは、応力テンソルの主応力であり、これは応力テンソルの固有値です。それらの方向ベクトルは、主方向または固有ベクトルです。

法線単位ベクトルに平行な応力ベクトル${\displaystyle \mathbf {n} }$次のように与えられます。

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} ,}$

どこ${\displaystyle \lambda }$は比例定数であり、この特定の場合、次の値に対応します。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$法線応力ベクトルまたは主応力の。

知っておくと${\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}}$そして​${\displaystyle {1}}$⁠、私たちは

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\\\end{aligned}}}$

これは同次系、つまりゼロに等しい3つの線形方程式であり、${\displaystyle n_{j}}$は未知数です。 の非自明な（ゼロでない）解を得るには、${\displaystyle n_{j}}$⁠、係数の行列式はゼロに等しくなければならない、つまりシステムは特異である。したがって、

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\lambda \\\end{vmatrix}}=0}$

行列式を展開すると、特性方程式が得られる。

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}={\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\\[4pt]I_{2}&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right)={\frac {1}{2}}\left[\left({\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\right)^{2}-{\text{tr}}\left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\right]\\[4pt]I_{3}&=\det(\sigma _{ij})=\det({\boldsymbol {\sigma }})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}}$

特性方程式は3つの実根を持つ。${\displaystyle \lambda _{i}}$（つまり、虚数成分がゼロ）応力テンソルが対称であるため。 ${\displaystyle \sigma _{1}=\max \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$、${\displaystyle \sigma _{3}=\min \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$そして​${\displaystyle \sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}}$⁠、は主応力であり、固有値の関数である。${\displaystyle \lambda _{i}}$固有値は特性多項式の根です。主応力は与えられた応力テンソルに対して一意です。したがって、特性方程式から係数は${\displaystyle I_{1}}$、${\displaystyle I_{2}}$そして${\displaystyle I_{3}}$それぞれ第1、第2、第3応力不変量と呼ばれるこれらの値は、座標系の向きに関係なく常に同じ値を持つ。

各固有値に対して、非自明な解が存在する。${\displaystyle n_{j}}$方程式において${\displaystyle \left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0}$これらの解は、主応力が作用する平面を定義する主方向または固有ベクトルです。主応力と主方向は、ある点における応力を特徴づけるものであり、その向きには依存しません。

主方向に沿って軸が配置された座標系では、法線応力は主応力であり、応力テンソルは対角行列で表される。

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

主応力を組み合わせることで応力不変量が得られます。${\displaystyle I_{1}}$⁠、 ⁠${\displaystyle I_{2}}$⁠、そして⁠${\displaystyle I_{3}}$⁠。第１および第３の不変量は、それぞれ応力テンソルのトレースと行列式である。したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\end{aligned}}}$

主座標系はその単純さゆえに、特定の点における弾性媒体の状態を考慮する際にしばしば有用である。主応力は、部品の x 方向および y 方向の応力、または軸方向および曲げ応力を評価するために、次の式で表されることが多い。^{[ 14 ]： p.58–59}主法線応力は、フォン ミーゼス応力、ひいては安全率および安全余裕を計算するために使用できる。

${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}.}$

平方根の中の式の部分だけを使うと、プラスとマイナスそれぞれの最大せん断応力と最小せん断応力に等しくなります。これは次のように表されます。

${\displaystyle \tau _{\max },\tau _{\min }=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}.}$

最大せん断応力または最大主せん断応力は、最大主応力と最小主応力の差の半分に等しく、最大主応力と最小主応力の方向間の角度を二等分する平面に作用します。つまり、最大せん断応力の平面は、${\displaystyle 45^{\circ }}$主応力面から。最大せん断応力は次のように表される。

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|.}$

仮定すると${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$それから

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|}$

応力テンソルがゼロでない場合、最大せん断応力の平面に作用する法線応力成分はゼロではなく、次の値になります。

${\displaystyle \sigma _{\text{n}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right).}$

応力テンソル${\displaystyle \sigma _{ij}}$これは、他の2つの応力テンソルの和として表すことができる。

1. 平均静水圧応力テンソル、体積応力テンソル、または平均法線応力テンソル、${\displaystyle \pi \delta _{ij}}$⁠、これはストレスを受けた物体の体積を変化させる傾向がある。
2. 応力偏差テンソルと呼ばれる偏差成分、${\displaystyle s_{ij}}$⁠、それはそれを歪める傾向がある。

それで

${\displaystyle \sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},}$

どこ${\displaystyle \pi }$平均応力は次式で与えられる。

${\displaystyle \pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}={\frac {1}{3}}I_{1}.}$

圧力（​${\displaystyle p}$⁠ ) は一般に、応力テンソルのトレースのマイナス 3分の 1 から速度の発散が寄与する応力を引いたものとして定義されます。

${\displaystyle p=\zeta \,\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\zeta \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\sum _{k}\zeta \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi ,}$

どこ${\displaystyle \zeta }$は比例定数（すなわち体積粘度）である。${\displaystyle \nabla \cdot }$は発散演算子です。${\displaystyle x_{k}}$はk番目のデカルト座標です。${\displaystyle {\vec {u}}}$流速と​${\displaystyle u_{k}}$は のk番目のデカルト成分です。${\displaystyle {\vec {u}}}$⁠ .

偏差応力テンソルは、コーシー応力テンソルから静水圧応力テンソルを差し引くことによって得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk}}{3}}\delta _{ij},\,\\\left[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}-\pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \end{matrix}}\right].\end{aligned}}}$

主方向を座標軸とみなすと、法線ベクトルが各主軸と等しい角度をなす平面（つまり、方向余弦が等しい平面）${\displaystyle \vert 1/{\sqrt {3}}\vert }$）は八面体平面と呼ばれます。八面体平面は全部で8つあります（図6）。これらの平面上の応力テンソルの法線成分とせん断成分は、八面体法線応力と呼ばれます。${\displaystyle \sigma _{\text{oct}}}$および八面体せん断応力${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$それぞれ⁠。原点を通る八面体平面はπ平面として知られています（ πは上記のセクションでπで表される平均応力と混同しないでください）。π平面上では、 ⁠${\displaystyle \textstyle s_{ij}={\frac {1}{3}}I}$⁠ .

主軸上の点O（図6）の応力テンソルが

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

八面体平面上の応力ベクトルは次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\text{oct}}^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}$

八面体平面に関連する点Oにおける応力ベクトルの法線成分は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{oct}}&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3}\\&={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\frac {1}{3}}I_{1}\end{aligned}}}$

これは平均法線応力または静水圧応力です。この値は8つの八面体平面すべてで同じです。八面体平面上のせん断応力は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{oct}}&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\text{oct}}^{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{3}}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}\right)-{\frac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\\&={\frac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}$

• コーシー運動量方程式
• 臨界面解析
• 応力エネルギーテンソル