ジェットバンドル

微分位相幾何学において、ジェットバンドルは、与えられた滑らかなファイバーバンドルから新しい滑らかな ファイバーバンドルを作成する特定の構成です。これにより、ファイバーバンドルのセクションに不変形式で微分方程式を記述できるようになります。ジェットは、テイラー展開の座標フリーバージョンと見なすこともできます。

歴史的には、ジェットバンドルはシャルル・エールスマンの功績によるものとされており、新しく導入された形式変数に微分形式条件を課すことによって高次の導関数を幾何学的に扱うエリー・カルタンの方法 (延長) を発展させたものでした。ジェットバンドルはスプレーと呼ばれることもありますが、スプレーは通常、対応するバンドルに誘導される関連するベクトル場(たとえば、フィンスラー多様体上の測地線スプレー) をより具体的に指します。

1980年代初頭以来、ジェットバンドルは、写像の微分、特に変分法に関連する現象を記述する簡潔な方法として登場しました。^{[1]その結果、ジェットバンドルは現在、幾何}学的共変場理論の正しい領域として認識されており、このアプローチを使用して場の一般相対論的定式化に関する多くの研究が行われています。

M が m次元多様体であり、 ( E , π, M ) がファイバーバンドルであるとします。p ∈ Mに対して、 Γ(p) は、定義域にp が含まれるすべての局所断面の集合を表します。⁠ ⁠ を${\displaystyle I=(I(1),I(2),...,I(m))}$マルチインデックス(必ずしも昇順ではない非負の整数のm組)とすると、次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}}$

局所断面σ, η ∈ Γ(p)がpにおいて同じrジェットを持つように定義する。

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.}$

2つの写像が同じrジェットを持つという関係は同値関係である。rジェットはこの関係のもとでの同値類であり、代表σを持つrジェットは と表記される。整数rはジェットの 次数とも呼ばれ、 pはそのソース、σ( p )はそのターゲットである。 ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma }$

πのr番目のジェット多様体は集合

${\displaystyle J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.}$

射影π _rとπ _{r ,0をそれぞれ}ソース射影とターゲット射影と呼び、次の ように定義する。

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}}$

1 ≤ k ≤ rの場合、kジェット射影は次式で定義される 関数π _{r,kである。}

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}}$

この定義から、π _r = π o π _{r ,0 で}あり、0 ≤ m ≤ kであればπ _r,m = π _k,m o π _r,kであることは明らかです。π r _{,r を}J  ^r ( π )上の恒等写像と見なし、 J ⁰ ( π ) をEと同一視するのが慣例です。  

関数π _r,k、π _{r ,0 、}およびπ _{r は}、滑らかな 全射 水没です。

E上の座標系はJ  ^r ( π )上の座標系を生成する。 ( U , u ) をE上の適応座標チャートとし、u = ( x ⁱ , u ^α ) とする。J r  ( π )上の誘導座標チャート ( U ^r , u ^r )は次^のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma (p)\in U\right\}\\u^​​{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{i}\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}}$

微分座標と呼ばれる関数： ${\displaystyle n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)}$

${\displaystyle {\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}}$

E上の適応チャートのアトラス ( U、u )が与えられた場合、対応するチャートのコレクション ( U  ^r、u  ^r ) はJ  ^r ( π ) 上の有限次元C ^∞アトラスです。

それぞれのアトラスは多様体を定義するので、3 つ組、および はすべてファイバー多様体を定義します。特に、 がファイバー束である場合、3 つ組 は π のr番目のジェット束を定義します。 ${\displaystyle J^{r}(\pi )}$${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,k},J^{k}(\pi ))}$${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,0},E)}$${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$${\displaystyle (E,\pi ,M)}$${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$

W ⊂ Mが開部分多様体で あれば、

${\displaystyle J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,}$

p ∈ Mの場合、ファイバーはと表されます。 ${\displaystyle \pi _{r}^{-1}(p)\,}$${\displaystyle J_{p}^{r}(\pi )}$

σ をW ⊂ M の領域を持つ π の局所断面とする。σのr番目のジェット延長は、次のように定義される 写像である。${\displaystyle j^{r}\sigma :W\rightarrow J^{r}(\pi )}$

${\displaystyle (j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,}$

なので、は断面である ことに注意してください。局所座標では、 は次のように与えられます 。${\displaystyle \pi _{r}\circ j^{r}\sigma =\mathbb {id} _{W}}$${\displaystyle j^{r}\sigma }$${\displaystyle j^{r}\sigma }$

${\displaystyle \left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,}$

私たち は と 同一視します。 ${\displaystyle j^{0}\sigma }$${\displaystyle \sigma }$

セクションの層の独立した動機付けによる構成が与えられます。${\displaystyle \Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)}$

対角写像 を考えます。ここで、滑らかな多様体は、各開 に対して によって局所的に環化された空間です。を の理想層とします。同様に、 を、すべての に対してで消える滑らかな芽の層とします。から への商層の引き戻しは、k-ジェット層の層です。^[2]${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$${\displaystyle 0<n\leq k}$ ${\displaystyle {\Delta _{n}}^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1}\right)}$${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Delta _{n}}$

層の標準的な包含によって与えられる注入のシーケンスの直接の極限は、無限ジェット層を生じます。直接の極限構成により、それがフィルターリングであることに注意してください。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{\infty }(TM)}$

π が自明バンドル( M × R , pr ₁ , M )である場合、最初のジェットバンドルとT*M × Rの間には標準微分同相写像が存在します。この微分同相写像を構築するには、 の各 σ に対して と書きます。 ${\displaystyle J^{1}(\pi )}$${\displaystyle \Gamma _{M}(\pi )}$${\displaystyle {\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,}$

そして、p ∈ Mのときはいつでも

${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma =\left\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\right\}.\,}$

その結果、マッピング

${\displaystyle {\begin{cases}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R} \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\sigma }}_{p},{\bar {\sigma }}(p)\right)\end{cases}}}$

は明確に定義されており、明らかに単射です。これを座標で書き出すと、微分同相写像であることがわかります。なぜなら、(x ⁱ , u)がM × R上の座標であり、u = id _Rが恒等座標である場合、J ¹ (π)上の微分座標u _iはT*M上の座標∂ _iに対応するからです。

同様に、π が自明バンドル ( R × M , pr ₁ , R ) である場合、とR × TMの間に標準微分同相写像が存在する。 ${\displaystyle J^{1}(\pi )}$

空間J ^r (π) は、自然な超関数、つまり接バンドル TJ ^r (π) の部分バンドルを持ち、これはカルタン超関数と呼ばれます。カルタン超関数は、ホロ​​ノミック断面のグラフ、つまりπ の切断 φに対してj ^r φ の形式の切断のすべての接平面によって張られます。

カルタン超関数の消滅は、J ^r (π)上 の接触形式と呼ばれる微分 1 形式の空間です。J r (π) 上の微分 1 形式の空間はで表され、接触形式の空間は で表されます。1 形式は、すべての延長に沿った引き戻しがゼロである場合^に接触形式です。言い換えると、 が接触形式である場合、そしてその場合のみ、 ${\displaystyle \Lambda ^{1}J^{r}(\pi )}$${\displaystyle \Lambda _{C}^{r}\pi }$${\displaystyle \theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi }$

${\displaystyle \left(j^{r+1}\sigma \right)^{*}\theta =0}$

M上の π のすべてのローカル セクション σ に対して。

カルタン分布はジェット空間上の主要な幾何学的構造であり、偏微分方程式の幾何学的理論で重要な役割を果たします。カルタン分布は完全に非積分です。特に、カルタン分布は反転しません。カルタン分布の次元はジェット空間の次数とともに大きくなります。ただし、無限ジェットの空間J ^∞では、カルタン分布は反転し有限次元になります。その次元は基本多様体Mの次元と一致します。

(E, π, M)の場合を考えます。ここでE ≃ R ²かつM ≃ Rです。すると、(J ¹ (π), π, M) は最初のジェット束を定義し、 (x, u, u ₁ )で座標付けされます。ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=x(p)=x\\u\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}=\sigma '(x)\end{aligned}}}$

_{Γ p} (π) 上のすべてのp ∈ Mおよび σに対して成り立つ。J 1 (π)上の一般的な 1 形式は次^の形を取る。

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1})du+c(x,u,u_{1})du_{1}\,}$

_{Γ p} (π) のセクション σ には最初の延長があります

${\displaystyle j^{1}\sigma =(u,u_{1})=\left(\sigma (p),\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}\right).}$

したがって、(j ¹ σ)*θは次のように計算できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=[a(x,\sigma (x),\sigma '(x))+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)]dx\end{aligned}}}$

これは、 c = 0 かつa = − bσ′(x)の場合にのみ、すべての断面 σ に対して消えます。したがって、 θ = b(x, u, u ₁ )θ _{0 は、必ず基本接触形式 θ 0} = du − u ₁ dxの倍数でなければなりません。追加の座標u ₂を持つ第2ジェット空間J ² (π)に進むと、

${\displaystyle u_{2}(j_{p}^{2}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial x^{2}}}\right|_{p}=\sigma ''(x)\,}$

一般的な1-形式は次のような構造を持つ。

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u_{1},u_{2})du+c(x,u,u_{1},u_{2})du_{1}+e(x,u,u_{1},u_{2})du_{2}\,}$

これは、次の場合にのみ連絡フォームとなります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{2}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{2}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma (x))+{}\\&\qquad \qquad c(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma '(x))+e(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma ''(x))\\&=adx+b\sigma '(x)dx+c\sigma ''(x)dx+e\sigma '''(x)dx\\&=[a+b\sigma '(x)+c\sigma ''(x)+e\sigma '''(x)]dx\\&=0\end{aligned}}}$

これはe = 0 かつa = − bσ′(x) − cσ′(x)であることを意味する。したがって、θ が接触形式となるのは、

${\displaystyle \theta =b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{0}+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{1},}$

ここで、θ ₁ = du ₁ − u ₂ dxは次の基本接触形式です（ここでは、θ _{0の形式を}J ² (π)への引き戻しと同一視していることに注意してください）。 ${\displaystyle \left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}}$

一般に、x, u ∈ Rが与えられれば、 J ^r+1 (π)上の接触形式は、基本接触形式の 線型結合として表すことができる。

${\displaystyle \theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots ,r-1\,}$

どこ

${\displaystyle u_{k}\left(j^{k}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{k}\sigma }{\partial x^{k}}}\right|_{p}.}$

同様の議論により、すべての連絡フォームの完全な特徴付けが実現します。

局所座標では、 J ^r+1 (π)上のすべての接触1形式は線形結合として表される。

${\displaystyle \theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{I}\theta _{I}^{\alpha }}$

基本接触形式の 滑らかな係数を持つ${\displaystyle P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })}$

${\displaystyle \theta _{I}^{\alpha }=du_{I}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,}$

|I| は接触形式の位数として知られています。J r+1 (π) 上の接触形式の位数は最大で r であることに注意してください。^接触形式は、 π の切断の延長である π _r+1の局所切断の特徴付けを提供します。${\displaystyle \theta _{i}^{\alpha }}$

ψ ∈ Γ _W ( π _r+1 ) とすると、ψ = j ^r+1 σ ここで、次の場合にのみσ ∈ Γ _{W (π) となります。}${\displaystyle \psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,}$

によって座標付けられた全空間E上の一般的なベクトル場は、 ${\displaystyle (x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,}$

${\displaystyle V\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,}$

ベクトル場は水平と呼ばれ、 = 0 の場合、すべての垂直係数が消えることを意味します。 ${\displaystyle \phi ^{\alpha }}$

ベクトル場は垂直と呼ばれ、 ρ ⁱ = 0の場合、すべての水平係数が消えることを意味します。

(x, u)を固定すると、

${\displaystyle V_{(x,u)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}$

座標(x, u, ρ ⁱ , φ ^α )を持ち、 Eの(x, u)上のTEのファイバーT _xu Eの要素をTEの接線ベクトルと呼ぶ。断面

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}}$

はE上のベクトル場と 呼ばれ、

${\displaystyle V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}$

そしてΓ(TE)におけるψ 。

ジェット束J ^r (π)は で座標付けられる。(x, u, w)を固定して、 ${\displaystyle (x,u,w)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha }\right)\,}$

${\displaystyle V_{(x,u,w)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}}$

座標を持つ

${\displaystyle \left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),}$

TJ ^r (π)の(x, u, w) ∈ J ^r (π)上のファイバー内の要素をTJ ^r (π)の接ベクトルと呼ぶ。ここで、 ${\displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi )}$

${\displaystyle v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\ldots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}$

はJ ^r (π)上の実数値関数である。

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}}$

はJ ^r (π)上のベクトル場であり、${\displaystyle \Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).}$

(E, π, M)をファイバー束とする。π上のr次偏微分方程式は、ジェット多様体J ^r (π)の閉じた 埋め込み部分多様体Sである。解は、 Mのすべてのpに対して を満たす局所断面 σ ∈ Γ _W (π) である。 ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in S}$

1 次偏微分方程式の例を考えてみましょう。

π をグローバル座標 ( x ¹ , x ² , u ¹ ) を持つ自明なバンドル ( R ² × R , pr ₁ , R ² ) とします。すると、写像F  : J ¹ (π) → R は次のように定義されます。

${\displaystyle F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}}$

微分方程式を生じる

${\displaystyle S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \ :\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)=0\right\}}$

次のように書くことができる

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x^{1}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x^{2}}}-2x^{2}\sigma =0.}$

特に

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}}$

最初の延長は

${\displaystyle j^{1}\sigma \left(p_{1},p_{2}\right)=\left(p^{1},p^{2},p^{1}\left(p^{2}\right)^{2},\left(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)}$

そして、この微分方程式の解である。なぜなら、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}}$

そしてすべての^p∈R2に対しても同様です。 ${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma \in S}$

局所微分同相写像ψ  : J ^r ( π ) → J ^r ( π ) は、接触イデアルを保存する場合、次数rの接触変換を定義します。つまり、θ がJ ^r ( π ) 上の任意の接触形式である場合、ψ*θも接触形式になります。

ジェット空間J ^r (π)上のベクトル場V ^rによって生成される流れは、任意の接触形式 θ のリー微分が接触イデアルを保存する 場合にのみ、接触変換の 1 パラメータ グループを形成します。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )}$

まず、1次のケースから始めましょう。J ¹ ( π )上の一般ベクトル場V ¹を考えます。これは、

${\displaystyle V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.}$

ここで、基本接触形式に適用し、関数の外微分を座標に関して展開して、次の式を得ます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}}$${\displaystyle \theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(\theta _{0}^{\alpha }\right)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i}\right)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha }\right)dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i}\right)\\&=d\left(V^{1}u^{\alpha }\right)-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\left(V^{1}x^{i}\right)\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial x^{m}}}dx^{m}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u_{m}^{k}}}du_{m}^{k}\right]\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}\right]\\&=\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}-u_{l}^{\alpha }\left({\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}\right)-\chi _{i}^{\alpha }\right]dx^{i}+\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}}$

したがって、V ^{1 は}、式中のdx ⁱとの係数がゼロになる場合にのみ接触変換を決定します。後者の要件は、接触条件を意味します。${\displaystyle du_{i}^{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0}$

前者の要件は、 V ¹の1次導関数項の係数の明示的な式を提供します。

${\displaystyle \chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }\left({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l}\right)}$

どこ

${\displaystyle {\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}}$

全導関数D _iのゼロ次切断を表します。

したがって、接触条件は、任意の点または接触ベクトル場の延長を一意に規定します。つまり、がこれらの式を満たす場合、V ^{r は、} VのJ ^r (π)上のベクトル場へのr番目の延長と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}}$

これらの結果は、特定の例に適用すると最もよく理解されます。そこで、次の点を検討してみましょう。

(E, π, M)の場合を考えます。ここでE ≅ R ²かつM ≃ Rです。すると、(J ¹ (π), π, E) は最初のジェット束を定義し、 (x, u, u ₁ )で座標付けされます。ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}}$

Γ _p ( π ) 上のすべてのp ∈ Mとσに対して成り立つ。J 1 (π)上の接触形式は^次の形式を持つ。

${\displaystyle \theta =du-u_{1}dx}$

E上のベクトルV が次の形をしているとする。

${\displaystyle V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}}$

そして、このベクトル場のJ ¹ (π)への最初の延長は

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}}$

この延長されたベクトル場に関して接触形式のリー微分をとると、次の式が得られる。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta )&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1}\right)dx-u_{1}\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx\right)\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}\theta \end{aligned}}}$

したがって、接触理想を維持するためには、

${\displaystyle 1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.}$

そして、VのJ ¹ (π)上のベクトル場への最初の延長は、

${\displaystyle V^{1}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}.}$

また、 VのJ ² (π)上のベクトル場への2番目の延長を計算してみましょう。J 2 (π)上の座標はです。したがって、延長されたベクトルは次の形式になります ^。${\displaystyle \{x,u,u_{1},u_{2}\}}$

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

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${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}}$

接触の理想を維持するためには、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta )&=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&=0\end{aligned}}}$

ここで、θ はu ₂に依存しません。したがって、この式からρの式を取り出しますが、これは必然的にV ¹で得た結果と同じになります。したがって、この問題はベクトル場V ¹をJ ² (π)に延長することに似ています。つまり、延長されたベクトル場に関して接触形式のリー微分をr回再帰的に適用することで、ベクトル場のr次延長を生成できます。したがって、

${\displaystyle \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}}$

など

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}}$

したがって、第2接触形式のV ²に関するリー微分は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&={\mathcal {L}}_{V^{2}}(du_{1}-u_{2}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{2}}du_{1}-\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}u_{2}\right)dx-u_{2}\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}dx\right)\\&=d(V^{2}u_{1})-V^{2}u_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\&=d(1+u_{1}u_{1})-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du&=\theta +u_{1}dx\\&=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=[3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})]dx+u_{2}\theta +2u_{1}\theta _{1}\end{aligned}}}$

したがって、接触理想を保つためには、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})}$

${\displaystyle 3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad \phi (x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{2}.}$

そして、VのJ ² (π) 上のベクトル場への2番目の延長は、

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

Vの最初の延長は、V ²の2番目の導関数項を省略するか、J ¹ (π)に投影することで回復できることに注意してください。

射影列の逆極限は無限ジェット空間J ^∞ (π)を生じます。点は、kのすべての値に対して σ と同じpのkジェットを持つ π の切断の同値類です。自然な射影 π _{∞ は}pに写像されます。 ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$

座標の観点から考えると、J ^∞ (π) は無限次元の幾何学的オブジェクトのように見えます。実際、微分可能チャートに頼らずにJ ^∞ (π)に微分可能構造を導入する最も簡単な方法は、可換代数 上の微分積分によって与えられます。多様体の射影の列の双対は、可換代数の注入の列です。 を単に で表すことにしましょう。次に、の直接極限を取ります。これは可換代数であり、幾何学的オブジェクトJ ^∞ (π)上の滑らかな関数代数であると想定できます。は直接極限として生まれたため、追加の構造、つまりフィルターされた可換代数を持つことに注目してください。 ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$${\displaystyle \pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)}$${\displaystyle C^{\infty }(J^{k}(\pi ))}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

大まかに言えば、具体的な要素は常に何らかの に属するため、通常の意味では 有限次元多様体J ^k (π)上の滑らかな関数になります。${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$

k次の偏微分方程式系E ⊆ J ^k (π)が与えられたとき、 E上で消失するJ ^∞ (π)上の滑らかな関数の集合I(E)は代数におけるイデアルであり、したがって直接極限においてもイデアルです。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

I(E) を、そのすべての要素に適用された全導関数のすべての可能な合成を追加することによって拡張します。このようにして、全導関数を取る操作の下で閉じられた新しいイデアルIが得られます。Iによって切り取られたJ ^∞ (π)の部分多様体E _(∞)は、Eの無限延長と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

幾何学的には、E _(∞)はEの形式解の多様体です。 E _(∞)の点は、任意の高次の接線順序を持つ点でkジェットのグラフがEに接するセクション σ によって表されることが容易にわかります。 ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$${\displaystyle j_{p}^{k}(\sigma )}$

解析的には、 E がφ = 0 で与えられる場合、形式的な解は、点pにおける断面 σ のテイラー係数の集合として理解することができ、これにより点pにおけるのテイラー級数がゼロになる。 ${\displaystyle \varphi \circ j^{k}(\sigma )}$

最も重要なのは、 Iの閉包特性は、 E _{(∞) が}J ^∞ (π)上の無限次接触構造 に接することを意味するため、E _(∞)に制限することで微分が得られ、関連するヴィノグラドフ (C スペクトル) 列を調べることができることです。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})}$

この記事では束の局所断面のジェットを定義したが、関数f: M → Nのジェットを定義することも可能である。ここでMとNは多様体である。この場合、 fのジェットはちょうど断面のジェットに対応する。

gr _f : M → M × N

gr _f (p) = (p, f(p))

( gr _{f は}関数fのグラフとして知られています) の自明なバンドル ( M × N、 π ₁、M ) のグラフです。しかし、この制限は理論を簡素化しません。π の大域的自明性は π ₁の大域的自明性を意味しないからです。

• ジェットグループ
• ジェット（数学）
• ラグランジアンシステム
• 変分双複体

• Ehresmann, C.、「無限の構造と擬似群の理論入門」。 Geometrie Differentielle、 Colloq。インター。国立センターde la Recherche Scientifique、ストラスブール、1953 年、97-127。
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J.,微分幾何学における自然演算。Springer -Verlag: ベルリン・ハイデルベルク、1993年 。ISBN 3-540-56235-4、ISBN 0-387-56235-4。  
• サンダース、DJ、「ジェットバンドルの幾何学」、ケンブリッジ大学出版局、1989年、ISBN 0-521-36948-7 
• Krasil'shchik, IS、Vinogradov, AM、[et al.]、「数理物理学の微分方程式の対称性と保存則」、Amer. Math. Soc.、プロビデンス、RI、1999、ISBN 0-8218-0958-X。 
• Olver, PJ、「等価性、不変量、対称性」、ケンブリッジ大学出版局、1995 年、ISBN 0-521-47811-1