一般化された関数

数学において、一般化関数は、実数または複素数上の関数の概念を拡張するオブジェクトです。超関数の理論など、複数の理論が認められています。 一般化関数は、不連続関数を滑らかな関数のように扱う場合や、点電荷などの離散的な物理現象を記述する場合に特に便利です。 特に物理学や工学で広く応用されています。偏微分方程式や群表現の理論の技術的要件が、重要な動機となっています。

いくつかのアプローチに共通する特徴は、日常的な数値関数の演算子の側面に基づいていることです。初期の歴史は演算計算に関するいくつかのアイデアと関連しており、最近の開発の一部は佐藤幹夫の代数解析と密接に関連しています。

19世紀の数学では、一般関数論の側面が、例えばグリーン関数の定義、ラプラス変換、リーマンの三角級数理論などに現れたが、これらは必ずしも積分可能な関数のフーリエ級数ではなかった。これらは当時の 数学的解析の断片的な側面であった。

工学におけるラプラス変換の集中的な使用は、演算子法と呼ばれる記号的方法の発見的使用につながった。発散級数を使用する正当化が与えられたため、これらの方法は純粋数学の観点からは疑問視されていた。これらは、一般化関数法の後の応用の典型である。演算子法に関する影響力のある本は、 1899年のオリバー・ヘヴィサイドの「電磁気理論」である。

ルベーグ積分が導入されたとき、数学の中心となる一般関数の概念が初めて登場しました。ルベーグ理論では、積分可能な関数は、ほぼどこでも同じである他の関数と同等です。つまり、各点におけるその関数の値は（ある意味で）最も重要な特徴ではありません。関数解析では、積分可能な関数の本質的な特徴、つまり、他の関数上の線型関数を定義する方法が明確に定式化されています。これにより、弱導関数の定義が可能になります。

1920年代後半から1930年代にかけて、さらなる基本的なステップが踏まれた。ポール・ディラックはディラックのデルタ関数を大胆に定義した（彼の科学的形式主義の一側面）。これは、密度（電荷密度など）として考えられた測度を真の関数のように扱うというものだった。偏微分方程式理論を研究していたセルゲイ・ソボレフは、偏微分方程式の弱解（つまり、一般化関数ではあるが通常の関数ではない解）を定義するために、一般化関数の最初の厳密な理論を定義した。 ^[1]当時関連理論を提唱していた他の人物には、サロモン・ボフナーとクルト・フリードリヒスがいる。ソボレフの研究はローラン・シュワルツによって拡張された。^[2]

最も決定的な発展はローラン・シュワルツが開発した超関数理論であり、位相ベクトル空間の双対性の原理を体系的に解明した。応用数学におけるその主なライバルは、滑らかな近似の列を使用する軟化理論である（「ジェームズ・ライトヒル」の説明）。^[3]

この理論は非常に成功し、現在でも広く使用されていますが、超関数は通常は乗算できないという大きな欠点があります。ほとんどの古典的な関数空間とは異なり、超関数は代数を形成しません。たとえば、ディラックのデルタ関数を2乗しても意味がありません。1954年頃のシュワルツの研究は、これが本質的な困難であることを示しました。

乗算問題に対するいくつかの解決策が提案されています。1つは、Yu. V. Egorov ^[4]による簡単な定義に基づいています（以下の書籍リストにあるDemidovの本の記事も参照してください）。この定義では、一般化された関数上および関数間での任意の演算が可能です。

乗算を可能にする別の解決策は、量子力学の経路積分定式化によって示唆されている。これは座標変換に対して不変である量子力学のシュレーディンガー理論と同等であることが要求されるため、この特性は経路積分によって共有されなければならない。これは、H. KleinertとA. Chervyakovによって示されたように、一般化関数のすべての積を固定する。^{[5]この結果は、}次元正則化から導出できるものと同等である 。^[6]

一般化関数の代数の構成はいくつか提案されているが、その中にはYu. M. Shirokov ^[7]やE. Rosinger、Y. Egorov、R. Robinsonによるものがある。^{[要出典]最初のケースでは、乗算は一般化関数の何らかの正規化によって決定される。 2番目のケースでは、代数は}超関数の乗算 として構成される。 以下では両方のケースについて説明する。

一般関数の代数は、関数をその滑らかな 部分と特異な部分に投影する適切な手順で構築できます。一般関数との積は次のように表されます 。${\displaystyle F=F(x)}$${\displaystyle F_{\rm {滑らかな}}}$${\displaystyle F_{\rm {単数形}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

このような規則は、主関数の空間と、主関数の空間に作用する演算子の空間の両方に適用される。乗法の結合性が達成され、関数 signum は、その平方がどこでも (座標の原点を含む) 1 であるような方法で定義される。特異部分の積は ( 1 ) の右辺、特に には現れないことに注意する。このような形式主義には、一般化関数 (積なし) の従来の理論が特別なケースとして含まれる。しかし、結果として得られる代数は非可換である。つまり、一般化関数 signum と delta は交換可能である。^[7]この代数の応用はほとんど提案されていない。^{[8] [9]}${\displaystyle \delta (x)^{2}=0}$

シュワルツ分布理論の限界である分布の乗算の問題は、非線形問題では深刻になります。

現在では様々なアプローチが用いられている。最も単純なものは、Yu. V. Egorovによる一般化関数の定義に基づくものである。^[4]結合 微分代数を構築するもう一つのアプローチは、J.-F. Colombeauの構築に基づくものである。Colombeau代数を参照のこと。これらは因子空間である。

${\displaystyle G=M/N}$

「中程度」を「無視できる」関数のネットで割ったもの。ここで「中程度」と「無視できる」は、ファミリーのインデックスに関する成長を指します。

簡単な例は、N、 上の多項式スケールを使用することで得られます。すると、任意の半ノルム代数 (E,P) に対して、因子空間は次のようになります。 ${\displaystyle s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}}$

${\displaystyle G_{s}(E,P)={\frac {\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\exists m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}{\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\forall m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}}.}$

特に、( E ,  P )=( C ,|.|) のとき、(コロンボーの)一般化複素数が得られます(これは「無限に大きい」ことも「無限に小さい」こともあり、非標準数と非常によく似た厳密な算術が可能です)。( E ,  P )=( C∞ ( R ),{ pk })(ここで pk_は半径kの球面上の^k以下の階数のすべての導関数の最大値)のとき、コロンボーの簡略化された代数_が得られます。

この代数は、射影によって D'のすべての分布Tを「含む」。

j ( T ) = (φ _n ∗ T ) _n  +  N、

ここで∗は畳み込み演算であり、

φn ( x )= nφ ( nx )です_。

この注入は、軟化剤φの選択に依存するという意味で非標準的であり、軟化剤はC ^∞で、整数 1 で、そのすべての導関数が 0 で消滅する必要があります。標準注入を得るには、インデックス セットをN  ×  D ( R )に変更し 、 D ( R ) ( q次までの消失モーメントの関数)に基づく便利なフィルターを使用します。

( E , P ) が何らかの位相空間X上の半ノルム代数の(前)層である場合、G _s ( E ,  P ) もこの特性を持ちます。これは、制限の概念が定義されることを意味し、これにより、部分層に関する一般化関数の サポートを定義できます。

• 部分層 {0} の場合、通常のサポート (関数がゼロになる最大の開部分集合の補集合) が得られます。
• 部分層E (標準 (定数) 注入を使用して埋め込まれた) については、特異サポートと呼ばれるもの、つまり大まかに言えば、一般化された関数が滑らかな関数ではない集合の閉包が得られます ( E  =  C ^∞の場合)。

フーリエ変換はコンパクトにサポートされた一般化関数（成分ごと）に対して（適切に）定義されているため、分布の場合と同じ構成を適用して、一般化関数に対してもLars Hörmanderの波面セットを定義できます。

これは特異点の伝播の解析において特に重要な応用があります。

これらには、整域である畳み込み代数の分数体に基づくヤン・ミクシンスキーの畳み込み商理論や、（当初の構想では）解析関数の境界値に基づき、現在では層理論を活用している超関数の理論が含まれます。

Bruhat は、典型的な関数領域である多様体を超える局所コンパクト群のクラス上に、テスト関数のクラス、Schwartz–Bruhat 関数を導入しました。その応用は主に数論、特にアデール代数群で行われています。André Weil は、この言語でTate の論文を書き直し、イデール群上のゼータ分布を特徴付け、またそれをL 関数の明示的な式にも適用しました。

理論が拡張されたさらなる方法は、滑らかなベクトル束の一般化されたセクションとしてです。これはシュワルツパターンに基づいており、テストオブジェクトと双対なオブジェクト、コンパクトなサポートを持つバンドルの滑らかなセクションを構築します。最も開発された理論は、微分形式と双対なデ・ラームカレントの理論です。これらは、微分形式がデ・ラームコホモロジーを生じるのと同じように、本質的にホモロジーです。これらを使用して、非常に一般的なストークスの定理を定式化できます。

• ベッポ・レヴィ空間
• ディラックのデルタ関数
• 一般化固有関数
• 分布（数学）
• ハイパーファンクション
• 指標のラプラシアン
• リグドヒルベルト空間
• 分布の限界
• 一般化された空間

• シュワルツ、L. (1950)。分布理論。 Vol. 1. パリ：ヘルマン。OCLC  889264730。第2巻。OCLC  889391733
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